离散时间信号与系统的时域分析

1第1章离散时间信号与系统的时域分析2本章主要学习时域离散信号的表示方法；典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性;系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法;模拟信号数字处理方法。1.2

离散时间信号

离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n的函数，表示为x(n)。离散时间信号也常用图形描述。4一、常用的典型序列1．单位脉冲(采样，冲激)序列（a）单位脉冲序列；（b）单位冲激信号3．矩形序列52．单位阶跃序列u(n)矩形序列(N=4)64．实指数序列75．正弦型序列

式中ω是正弦序列数字域的频率。它反映了序列变化快慢的速率，或相邻两个样点的弧度数。

对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。模拟正弦信号：数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为

ω：数字域频率；Ω：模拟域频率

T：采样周期；fs：采样频率数字域频率相当于模拟域频率对采样频率的归一化值。8式中，ω为数字域频率。若σ=0，可得96．复指数序列欧拉公式复正弦序列

如果对所有n存在一个最小整数N，满足则称x(n)为周期序列，记，最小周期为N。例：因此，x(n)是周期为8的周期序列。107.周期序列

要使x(n+N)=x(n)，即N，k为整数，且k的取值保证N是最小的正整数。11下面讨论一般正弦序列的周期性

（1）当为整数时，取k=1，x(n)即是周期为的周期序列。

（2）当为有理数时（P、Q为互素的整数），则正弦序列是以P为周期的周期序列。

（3）当为无理数时，任何整数k

都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。分三种情况讨论

（1）当为整数时，取k=1，x(n)即是周期为的周期序列。

（2）当为有理数时（P、Q为互素的整数），则正弦序列是以P为周期的周期序列。

（3）当为无理数时，任何整数k

都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。

（1）当为整数时，取k=1，x(n)即是周期为的周期序列。

（2）当为有理数时（P、Q为互素的整数），则正弦序列是以P为周期的周期序列。

（3）当为无理数时，任何整数k

都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例1-2判断下列函数的周期性，并画出相应的波形。

①②③14二、序列运算1.乘法和加法152．移位及翻转

表示序列右移（延时）；表示序列左移（超前）。是以n=0的纵轴为对称轴左右翻转得到。序列的移位图序列的翻转

163.尺度变换

表示序列每m点(或每隔m-1点)取一点，称为序列的压缩或抽取。表示把原序列两相邻值之间插入零值，称为序列的伸展或内插零值。

任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和。即例如三、任意序列的单位脉冲序列表示181.3离散时间系统

系统——将输入序列x(n)变换成输出序列y(n)的一种运算，以T[]表示，则一个离散时间系统可用下图来表示记为y(n)=T[x(n)]

T[]y(n)x(n)191.LinearSystems

线性系统满足叠加性和均匀性。

设T[x1(n)]=y1(n)，T[x2(n)]=y2(n)

如果T[ax1(n)+bx2(n)]=T[ax1(n)]+T[bx2(n)]

=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)成立，则此系统为线性系统，否则为非线性系统。20

例1-3：判别系统y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b是否为线性系统？

解:设T[x1(n)]=ax1(n)+bT[x2(n)]=ax2(n)+b

因为T[cx1(n)+dx2(n)]=a[cx1(n)+dx2(n)]+b而

cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)≠T[cx1(n)+dx2(n)]故此系统不是线性系统。线性系统z(n)x(n)y(n)y0(n)增量线性系统

212.Time-InvariantSystems

系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关。或者说，系统的参数不随时间变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。

设y(n)=T[x(n)]，则y(n-k)=T[x(n-k)]成立22系统时不变说明的示意图23

例1-5判别y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解：因为因此该系统不是时不变系统。3.线性时不变系统

同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变系统。（1）输入与输出之间的关系

输入为单位脉冲序列时系统的输出称为单位脉冲响应。

由h(n)可以确定任意输入时的系统输出，从而推出线性时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式。T[·]25对LTI系统，讨论对任意输入的系统输出任意输入序列：系统输出：T[·]

任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和

——离散卷积或线性卷积26线性时不变系统卷积运算有明确的物理意义，就是在一般意义上描述了线性时不变离散时间系统对输入序列的作用或处理作用。

一个LTI系统可以用单位脉冲响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该系统单位脉冲响应h(n)的卷积。

27（2）线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：（1）换元：x(m)和h(m)

（2）翻转（折叠）：先在哑变量坐标轴m上画出x(m)和h(m)，将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成h(-m)。

（3）移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当m为正数时，右移m；当m为负数时，左移m。

（4）相乘：将h(n-m)和x(m)的对应取样值相乘。

（5）相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。例1-6

设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用图解法。

例1-7设x(n)=3δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)，

h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解：采用列表法。

n=?3211126112711271123112130在Matlab中，卷积可通过调用函数y=conv(x,h)来实现。卷积的性质：

1）两个长度分别为N和M的序列，线性卷积后的序列长度为N+M-1。证明：设x1(n)是长度为N的有限长序列（0≤n≤N-1），x2(n)是长度为M的有限长序列（0≤n≤M-1）。

x1(m)的非零区间为0≤m≤N-1，x2(n-m)的非零区间为0≤n-m≤M-1，两个不等式相加有0≤n≤N+M-2，所以，y(n)是一个长度为N+M-1的有限长序列。312）线性卷积服从交换律、结合律和分配律324.因果系统

如果系统n0时刻的输出，只取决于n0时刻以及n0时刻以前的输入序列，而和n0时刻以后的输入序列无关，则称为因果系统。

在数学上因果系统满足方程：y(n)=f[x(n)，x(n-1)，x(n-2)，……]

一个线性时不变系统为因果系统的充分必要条件是:

因果系统的因果性是指系统物理上的可实现性。33非因果系统的延时实现345.稳定系统

稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统。即如果|x(n)|≤M（M为正常数），有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。一个线性时不变系统稳定的充分和必要条件是其单位取样响应h(n)绝对可和，即35例1-8

设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。

解：（1）因果性

由于n<0时，h(n)=0，系统是因果系统。（2）稳定性因此系统稳定的条件是:

36例1-9

判别系统y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)的因果稳定性。

解：（1）因果性

因为y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)只与x(n)的当前值有关，而与x(n+1)，x(n+2)……等未来值无关，故系统是因果的。

（2）稳定性

当|x(n)|<M时有T[x(n)]|<M|cos(ωn+φ)|，由于|cos(ωn+φ)|≤1是有界的，所以y(n)=T[x(n)]也是有界的，故系统是稳定的。37

系统的线性、时不变性、因果性和稳定性是系统的四个互不相关的性质。381.4

离散时间系统的时域描述––––差分方程一、常系数线性差分方程的一般表达式或其中ak，br都是常数。39说明：

1）差分方程的阶数是用方程y(n-k)项中的k取值最大与最小之差确定的。

2）

该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。

40差分方程的特点

采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现

容易得到系统的运算结构

便于求解系统的瞬态响应但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。实际上用来描述系统多数还是由系统函数。41二、差分方程的求解

常系数差分方程的求解方法有迭代法，时域经典法，卷积法和变换域法。

时域经典法类似于解微分方程，过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。迭代法(递推法)比较简单，且适合于计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解答）。卷积法适用于系统起始状态为零时的求解。变换域方法类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用Z变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。

例1-10：若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求初始条件分别为h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0时的单位脉冲响应h(n)。

解：（1）令x(n)=δ(n)，根据初始条件可递推如下

y(0)=ay(-1)+δ(0)=1

y(1)=ay(0)+δ(1)=a

y(2)=ay(1)+δ(2)=a2……

y(n)=ay(n-1)=an因此，h(n)=y(n)=anu(n)43

例1-10：若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求初始条件分别为h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0时的单位脉冲响应h(n)。

解：将差分方程改写成y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)]根据初始条件可递推如下

y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1……

y(n)=ay(n-1)=-an因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)44以上结果说明：（1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统（2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条

件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且

只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不

变系统。

在以下的讨论中，除非另外声明，我们都假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数是指因果系统。三、Matlab实现y=filter(b,a,x)例1-11解：MATLAB程序a=[1,-1,0.9];b=[1];x=impseq(0,-20,120);%输入n=[-20:120];h=filter(b,a,x);%系统输出stem(n,h,'.');1.5模拟信号数字处理方法（采样）前置预滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器模拟滤波器模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟ya(t)采样采样恢复

所谓“采样”，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称为采样信号，以表示。采样的原理框图47一、采样的基本概念采样器连续信号采样脉冲采样信号48

（a）实际采样（b）理想采样图1-22两种采样方式49二、理想采样及其频谱

1.时域分析数学模型采样脉冲：理想采样输出:502.频域分析

映射时域相乘频域卷积（模拟系统）

1)冲激函数序列δT(t)的频谱考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函数序列δT(t)可用傅里叶级数表示为:其中51因此，上式表明冲激函数序列具有梳状谱的结构，即它的各次谐波都具有相等的幅度1/T。因为，所以幅度谱频谱522）理想采样信号的频谱上式表明：

（1）频谱产生周期延拓。即采样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为Ωs。

（2）频谱的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。53三、时域采样定理

如果信号xa(t)是带限信号，且最高频率不超过Ωs/2，即那么采样频谱中，基带频谱以及各次谐波频谱彼此是不重叠的。

用一个带宽为Ωs/2的理想低通滤波器，可以不失真的还原出原来的连续信号。

但是，如果信号最高频谱超过Ωs/2，那么在采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠起来，这就是频谱混叠现象。其中，Ωs/2或fs/2，称作折叠频率。54图1-24采样信号的频谱图55图1-26单音（余弦）信号采样中的频谱混叠情况示意图

56

设

√没有混叠时，恢复出的输出为

√有混叠时，则是结论：为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率必须大于两倍信号最高频率，这就是奈奎斯特采样定理。57许多人在在看电影或电视时，汽车轮子细节会模糊看不清楚，这就是混叠的直接结果。也就是拍摄时扫描的速度（帧频）不够快，没有正确记录轮子的旋转情况。

作业：设一般电影拍摄的帧频为16张/秒，对直径为0.6m的普通轮子，在此记录速度下，为了清楚的记录轮子的旋转情况，车速不能大于km/h？应用举例59关于带通信号的采样

对于带通信号，信号的频率范围为f1<f<f2，而不是0<f<f1，则没有必要以两倍的最高频率或2f2

进行采样。此时，最小采样极限取决于信号的带宽f2－f1

以及带宽在频谱中的位置，取样频率至少必须是带宽的两倍，但可以更高些，关键是要保证没有频谱混叠。

这种对带限信号的取样并未遵循奈奎斯特条件，称为欠采样（Undersampling）。

例如，一个GSM蜂窝电话在900MHZ频段上占30kHz带宽，通过欠取样，只用比60kHz略高一点的采样频率，而非1.8GHz，就可以恢复信号。60

相对应的有过采样（Oversampling）——用远高于奈奎斯特取样频率的频率去取样，降低对抗混叠滤波器的要求。经过粗略的模拟滤波和取样后，使离散数字信号经过一个具有良好滚降特性的数字抗混叠滤波器，使之在f1Hz处锐利截止，然后再通过甩点（Decimation）降低码率。

过采样的倍数有4、8、16、32倍，甚至高达256。

例如高质量的声音带宽为20kHz，但现在的许多ADC变换器的采样频率为256kHz，甚至更高，提高ADC

转换后的信噪比。61四、采样的恢复（内插）

1.频域分析622.时域分析