离散时间信号与系统的频域分析

第2章时域离散信号和系统的

频域分析对于离散时间系统——时域分析方法采用差分方程描述频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具本章主要内容：

本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析信号和系统的频域特性。

2.1序列的傅里叶变换的定义及性质

2.2序列的Z变换

2.3系统函数与频率响应2.1

序列的傅立叶变换的定义及性质一、序列的傅里叶变换的定义众所周知，连续时间信号x(t)的傅里叶变换定义为：而X(jΩ)的傅里叶反变换定义为

DTFT定义DTFT:Discrete-timeFouriertransform为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信号的傅里叶变换引出：

在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域频率。X(ejω)一般为复数。并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。

只有当序列x(n)绝对可和式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。逆变换表示

在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域频率。X(ejω)一般为复数。并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。

序列DTFT存在条件：二、常用序列的傅里叶变换

1.单位脉冲序列

其傅里叶变换为？含义是什么

单位脉冲信号包含了所有频率分量，而且这些分量的幅度和相位都相同。

这就是用单位脉冲响应能够表征线性时不变系统的原因。2.矩形序列其傅里叶变换为

图2.1R4(n)的幅度与相位曲线设N=5，幅度与相位随ω变化曲线

3.实指数序列其傅里叶变换为

设a=0.6，幅度与相位随ω变化曲线如图。离散时间信傅里叶变换的两个特点：（1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。（2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值|X(ejω)|在0≤ω≤2π区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。例题：利用定义求序列的离散傅立叶变换二、序列的傅里叶变换的性质

1.线性设则式中a，b为常数。

2.时移与频移设时移特性频移特性

3.周期性

序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。

4.对称性质

设一复序列，如果满足则称序列为共轭对称序列。共轭反对称序列比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。

1）任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和）可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和。

2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）

若x(n)为实序列，则推论

对于实序列的DTFT，要画出X(ejω)的幅频特性，只需要X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π]的部分。

5.时域卷积定理

6.频域卷积定理（复卷积定理）

7.帕斯瓦尔（Parseval）定理信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。三、MATLAB实现

例2-1

，，求离散时间傅里叶变换并探讨其周期性。解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定义在一个2

周期上。以下程序是在[-2，2]之间的两个周期中的401个频点上作计算以观察周期性。n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);%用矩阵-向量乘法求DTFTmagX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);对

是周期的，但不是共轭对称的。

例2-2

解：

不仅对对称，而且是共轭对称的。因此，对实序列，我们只需画出它们从（0）间的傅里叶变换的模和相角响应。求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；主要应用于数字信号处理的分析与设计，如语音信号处理等问题。z变换的历史可是追溯到18世纪；2.2序列的Z变换

序列的傅里叶变换——频域分析；推广：序列的Z变换——复频域分析。1．z变换的引出抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换对取拉氏变换z变换的定义所有的信号都能进行z变换吗？2．收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列x(n)，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。3．两种判定法1)．比值判定法若有一个正项级数，则：

<1：收敛

=1：可能收敛也可能发散

>1：发散即令正项级数的一般项的n次根的极限等于，则<1：收敛=1：可能收敛也可能发散

>1：发散2)．根值判定法4．讨论几种情况1)．有限长序列的收敛域2)．右边序列的收敛域3)．左边序列的收敛域4)．双边序列的收敛域1)．有限长序列的收敛域所以，收敛域为的z平面。

例:

2)．右边序列的收敛域右边序列收敛域为ROC：例:若该序列收敛，则要求即收敛域为：

3)．左边序列的收敛域左边序列收敛域为ROC:例收敛域为：4)．双边序列的收敛域双边序列的收敛域：总结:★x(n)的收敛域（ROC）为z平面以原点为中心的圆环；★ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；左边序列的收敛域在最内的极点之内；右边序列的收敛域在最外的极点之外★有限长序列的ROC为整个z平面（可能除去z=0和z=）；★右边序列的ROC为的圆外；★左边序列的ROC为的圆内；

★双边序列的ROC为的圆环。三、Z反变换

已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，Z反变换表示为：

c是X(z)收敛域中一个逆时针方向环绕原点的围线。

推导在的收敛域内，选择一条包围坐标原点的逆时针方向的围线C,沿C进行积分：积分与求和互换

推导推导1)．用留数定理求围线积分围线积分等于围线C内所有极点的留数之和单阶极点k重极点右边序列左边序列围线积分等于围线C外所有极点的留数之和留数辅助定理避免求高阶极点的留数例解：二．部分分式展开法1．z变换式的一般形式

2．求z反变换的步骤

3．极点决定部分分式形式例解：右边序列左边序列例解：当序列为因果序列时，例解：3

幂级数展开法（长除法）z变换式一般是z的有理函数，可表示为：直接用长除法进行逆变换（是一个z的幂级数）

1．右边序列的逆z变换例2．左边序列的逆z变换例Z的升幂排列离散时间序列的z变换的Matlab实现xk=sym('Heaviside(n)');xz1=ztrans(xk);

xz1=simplify(xz1)xk=sym('a^n*Heaviside(n)');xz2=ztrans(xk);xz2=simplify(xz2)xk=sym('a^n*cos(n*pi/2)');xz3=ztrans(xk);xz3=simplify(xz3)xz1=z/(z-1)xz2=-z/(-z+a)xz3=z^2/(z^2+a^2)

在MATLAB中，可用residuez函数计算出有理函数的留数部分和直接（或多项式）项。其分子、分母都按z-1的递增顺序排列。

用语句[R,p,C]=residuez(b,a)可求得X(z)的留数、极点和直接项，分子、分母多项式A(z)和B(z)分别由矢量a，b给定。例2-12

将展开成部分分式形式。解首先将按的升幂排列：MATLAB程序如下：运行结果：R=[0.5000-0.5000]，p=[1.00000.3333]，C=[]b=[0,1];a=[3,-4,1];[R,p,C]=residuez(b,a)类似的，可将其变成有理方程。MATLAB程序为[b,a]=residuez(R,p,C)运行结果：b=[-0.00000.3333]，a=[1.0000-1.33330.3333]可得到原来的有理函数形式五、Z变换的性质

1.线性若则相加后序列Z变换的收敛域一般为两个相加序列收敛域的重叠部分。如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，则收敛域可能扩大。例2-13

已知，求其Z变换。解2.移位特性

若，则位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。

证明：例2-14

求序列的Z变换。解:零点与极点相互抵消，收敛域扩大。3.Z域尺度变换（乘以指数序列）

若，则4.序列的线性加权（Z域求导数或X(z)的微分）

若，则5.时域卷积

若，，，则例2-15求。解：2.3系统函数与频率响应2.3.1系统函数的定义

设x(n)、y(n)和h(n)分别是线性时不变系统的输入、输出和单位取样响应，X(z)、Y(z)和H(z)分别表示相应的Z变换。Z变换为

定义线性时不变系统的输出Z变换与输入Z变换之比为系统函数

它是单位脉冲响应h(n)的Z变换。在单位圆上（即|z|=1的系统函数就是系统的频率响应。

2.3.2系统函数和差分方程

一个线性时不变系统，可用常系数线性差分方程来描述。考虑一个N阶差分方程对上式两边求Z变换则

系统函数H(z)的分子、分母均为z-1的多项式，它的系数也正是差分方程的系数。

对上式进行因式分解

{cr}、{dk}由差分方程的系数ak、br决定。因此，除了比例常数A以外，系统函数可以由它的零、极点来唯一确定，特别是极点的位置将对H(z)的性质起着重要影响。

根据系统函数求差分方程例2-17解：2.3.3系统函数的收敛域与系统的稳定性系统函数由Z变换收敛域的定义当时，上式变成系统稳定的充要条件（时域条件）。

这说明，如果系统函数的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的。

因果系统其单位脉冲响应h(n)一定满足h(n)=0（n<0），那么其系统函数的收敛域一定包含∞。

单位脉冲响应系统函数因果性h(n)=0，n<0收敛域包括∞稳定性收敛域包括单位圆因果稳定系统的收敛域例2-18

已知，分析其因果性和稳定性。解：的极点为讨论：（1）当收敛域为但收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。时，对应的系统是因果系统，单位脉冲响应（2）当收敛域为不稳定系统。单位脉冲响应时，对应的系统是非因果且（3）当收敛域为但收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。时，对应的系统非因果，收敛的双边序列

非因果但稳定系统单位脉冲响应的近似实现2.3.4频率响应

1.系统频率响应的意义

线性时不变系统的基本特性：

对于一个正弦输入的稳态响应也是一个正弦，其频率与输入相同，其幅度和相位取决于系统。

正是由于线性时不变系统具有这种特性，使得信号的正弦或复指数表示法在线性系统分析中起着非常重要的作用。

对于离散时间线性时不变系统，是否也具有上述特性？讨论：

假设输入序列其中称为系统的频率响应

输出序列仍是与输入序列同频率的复指数序列。

它描述了复指数序列通过线性时不变系统后，复振幅（包括幅度和相位）的变化。例已知离散时间系统的框图如右图，求系统频率响应特性。解：系统的差分方程设系统为零状态的，方程两边取z变换系统函数系统的频率响应特性幅频特性相频特性曲线频率响应特性曲线图(1)幅频特性曲线图(2)相频曲线例2-19设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定若系统是因果的，试求：（1）该系统的单位脉冲响应；（2）当输入时的系统频率响应。解（1）对差分方程两端分别进行Z变换可得则系统函数为收敛域为对系统函数进行Z反变换，可得单位脉冲响应为（2）系统的频率响应系统是线性时不变且因果稳定的。当输入时，可得输出响应为2.频率响应的几何确定法

一个N阶的系统函数H(z)完全可以用它在z平面上的零、极点确定。

例求下图所示一阶离散系统的频率响应。差分方程系统函数频响特性幅度响应相位响应结论：

（1）原点处的极点和零点对频率响应的幅度无影响，它们只是在相位中引入一个线性分量；

（2）极点主要影响频响的峰值，极点越靠近单位圆，峰值就越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响就出现∞，这相当于该频率处出现无耗谐振；

（3）零点主要影响频响的谷值，零点越靠近单位圆，谷值越小，当处于单位圆上时，幅度为0。例2-21

已知

利用几何法分析系统的幅频特性。解:极点：z=0（N阶极点）零点：令则N个零点等间隔分布在单位圆上。取N=8时，极零点分布和幅频特性如图例2-22

利用几何法分析矩形序列的幅频特性解：

零点极点（N-1阶），设N=8，z=1处的极点和零点相互抵消。利用滤波器分析设计工具——FDATool例2-23

设一个因果系统的差分方程为为实数求系统的频率响应。解将差分方程等式两端取Z变换，可求得单位脉冲响应为该系统的频率响应为幅度响应为相位响应为h(n)无限长例2-24

设系统的差分方程为试求其频率响应。解这是M-1个单元延时及M个抽头相加所组成的电路，称之为横向滤波器。令将所给差分方程等式两端取Z变换，可得系统函数为零点满足，即极点（M-1阶极点）其中第一个零点和单极点相抵消。当输入为时，系统只延时（M-1）位就不存在了故只有M个值，即M=6及条件下h(n)有限长2.3.5IIR和FIR系统1.无限长单位冲激响应(IIR)系统

如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长，即n→∞时，h(n)仍有值，这样的系统称作无限长单位脉冲响应系统，简称IIR（InfiniteImpulseResponse）系统。

一个线性时不变系统的系统函数可以表示为

只要有一个不为零，则序列就是无限长的。该系统的差分方程为

在任何时刻系统的输出响应不仅与此时刻和此时刻以前时刻的输入有关，而且与此时刻以前的输出有关。在由差分方程确定输出时，需要进行迭代运算。因而通常将这种差分方程称为递归方程，这种方程所描述的系统也称为递归系统。

2．有限长单位冲激响应（FIR）系统

如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)是有限长序列，这样的系统称作为有限长单位脉冲响应系统，简称FIR（FiniteImpulseResponse）系统。

ak全为零，则序列就是有限长的。

描述该系统的系统函数和差分方程分别为

在任何时刻系统的输出只与此时刻和此时刻以前的输入有关。在由差分方程确定输出时，不需要进行迭代运算。因而通常将这种差分方程称为非递归方程，这种方程所描述的系统也称为非递归系统。2.3.6MATLAB实现1.零极点图

在MATLAB中，可以用DSP工具箱中的zplane(b,a)函数或pzplotz(b,a)函数，由给定的分子行向量和分母行向量绘制成系统的零极点图，符号“o”表示零点，符号“”表示极点，图中还给出了用作参考的单位圆。

例2-25已知某系统的系统函数为求其零、极点并绘出零、极点图。

解MATLAB实现程序：

b=[0.30.10.30.10.2];a=[1-1.21.5-0.80.3];

r1=roots(a)%求极点

r2=roots(b)%求零点

zplane(b,a)MATLAB

运行结果为：r1=[0.1976+0.8796i0.1976-0.8796i0.4024+0.4552i0.4024-0.4552i]r2=[0.3236+0.8660i0.3236-0.8660i-0.4903+0.7345i-0.4903-0.7345i]2.系统的频率响应

可以用freqz函数来求系统的频率响应。用法为：

[H,w]=freqz(b,a,N)在上半单位圆（0）的等间隔的N个点上计算频率响应。

[H,w]=freqz(b,a,N,’whole’)在整个单位圆（02）等间隔的N个点上计算。

[H]=freqz(b,a,w)计算在矢量w中指定的频率处的频率响应。例2-26

已知因果系统，绘出的幅度和相位特性曲线。解：由差分方程可以得到

MATLAB实现程序：

b=[1,0];a=[1,-0.9];

[H,w]=freqz(b,a,100,'whole');

magH=abs(H);phaH=angle(H);

subplot(2,1,1),plot(w/pi,magH);grid

subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi);gridMATLABMATLAB3.差分方程求解——滤波

在MATLAB中，可用一个filter函数来求在给定输入和差分方程系数时的差分方程的数值解。子程序调用的简单形式为：

y=filter(b,a,x)其中b，a是由差分方程或系统函数