高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．5圆锥曲线的统一定义 第2章

圆锥曲线的统一定义1．了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点)2．理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理圆锥曲线的统一定义阅读教材P56“思考”以上的部分，完成下列问题．1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．2．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±eq\f(a2,c)，eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的准线方程为y＝±eq\f(a2,c).双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±eq\f(a2,c)，双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为y＝±eq\f(a2,c).1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线．()(2)椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的准线方程是x＝±eq\f(4\r(3),3).()(3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．()(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直．()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．双曲线eq\f(x2,15)－y2＝1的准线方程为________．【解析】易知a2＝15，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝16，即c＝4，则双曲线的准线方程为x＝±eq\f(15,4).【答案】x＝±eq\f(15,4)3．焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x＝±eq\f(5,2)的椭圆的标准方程为______.【导学号：09390050】【解析】由题意知c＝2，则eq\f(a2,c)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(5,2)，故a2＝5，所以b2＝a2－c2＝1，则椭圆的方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1.【答案】eq\f(x2,5)＋y2＝14．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右准线为x＝eq\f(1,2)，则右焦点的坐标为________．【解析】据题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝2，,\f(a2,c)＝\f(1,2)，))解得a＝1，c＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．【答案】(2,0)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]已知焦点和准线求圆锥曲线的方程已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：(1)e＝eq\f(1,2)；(2)e＝1；(3)e＝eq\f(3,2).【精彩点拨】【自主解答】(1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由eq\f(a2,c)＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得c＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,16)，所求方程为eq\f(x2,\f(1,4))＋eq\f(y2,\f(3,16))＝1.(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，eq\f(p,2)＝1，可得y2＝－4x.(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，eq\f(a2,c)＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，解得c＝eq\f(9,4)，a＝eq\f(3,2)，b2＝eq\f(45,16).所求方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(45,16))＝1.1．本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式．2．已知焦点、准线及离心率，也可直接由eq\f(MF,d)＝e求出M点的轨迹方程．[再练一题]1．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵|AF|＝3，∴y0＋eq\f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq\r(17)，∴xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))2＝17，∴xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.用圆锥曲线的统一定义求轨迹已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为eq\f(\r(3),3)，求动点P的轨迹．【精彩点拨】此题解法有两种：一是定义法，二是直译法．【自主解答】法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c＝3，eq\f(a2,c)＝9，则a2＝27，a＝3eq\r(3)，∴e＝eq\f(3,3\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，与已知条件相符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.b2＝18，其方程为eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.法二：由题意得eq\f(\r(x2＋y－32),|9－y|)＝eq\f(\r(3),3).整理得eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．解决此类题目有两种方法：1是直接列方程，代入后化简整理即得方程.2是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.[再练一题]2．方程eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为________.【导学号：09390051】【解析】由eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|，得eq\f(\r([x－－1]2＋y2),\f(|x＋y－1|,\r(2)))＝eq\r(2).可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为eq\r(2)>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．【答案】双曲线圆锥曲线统一定义的应用已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．(1)求MA＋MB的最大值和最小值；(2)求MB＋eq\f(5,4)MA的最小值及此时点M的坐标．【精彩点拨】(1)利用椭圆的定义进行转化求解．(2)注意e＝eq\f(4,5)，则eq\f(5,4)MA＝eq\f(MA,e)＝d(d为点M到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求解．【自主解答】(1)如图所示，由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭圆的左焦点．因为MA＋MF＝2a＝10，所以MA＋MB＝10－MF＋MB.因为|MB－MF|≤BF＝eq\r(－4－22＋0－22)＝2eq\r(10)，所以－2eq\r(10)≤MB－MF≤2eq\r(10).故10－2eq\r(10)≤MA＋MB≤10＋2eq\r(10)，即MA＋MB的最大值为10＋2eq\r(10)，最小值为10－2eq\r(10).(2)由题意得，椭圆的右准线l的方程为x＝eq\f(25,4).由图可知，点M到右准线的距离为MM′，由圆锥曲线的统一定义，得eq\f(MA,MM′)＝e＝eq\f(4,5)，所以eq\f(5,4)MA＝MM′.所以MB＋eq\f(5,4)MA＝MB＋MM′.由图可知，当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′最小，即BM′＝eq\f(25,4)－2＝eq\f(17,4).当y＝2时，有eq\f(x2,25)＋eq\f(22,9)＝1，解得x＝eq\f(5\r(5),3)(舍去负值)，即点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(5),3)，2)).故MB＋eq\f(5,4)MA的最小值为eq\f(17,4)，此时点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(5),3)，2)).1．解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义．2．圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程．[再练一题]3．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1和点A(4,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求PA＋eq\f(1,2)PF的最小值．【解】由双曲线的方程，知a＝2，b＝2eq\r(3)，∴c＝4，离心率e＝eq\f(c,a)＝2，右准线的方程为x＝1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲线的定义，有eq\f(PF,d)＝2，即eq\f(1,2)PF＝d，如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D，则PA＋eq\f(1,2)PF＝PA＋d＝PA＋PD，所以当P，A，D三点共线时，PA＋PD的值最小，为4－1＝3.[探究共研型]圆锥曲线的统一定义探究1圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二定义有哪些区别？【提示】椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．探究2在圆锥曲线的统一定义中，定点F和直线l是如何对应的？【提示】在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点是左焦点，则定直线是左准线，若定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线只有一个焦点对应一条准线．也就是说，定点F和定直线是“相对应”的．探究3利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？【提示】根据定义eq\f(PF,d)＝e，则PF＝ed(e为离心率)．(1)椭圆的焦半径设P(x0，y0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.(2)双曲线的焦半径设P(x0，y0)是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1＝|ex0＋a|，PF2＝|ex0－a|.(3)抛物线的焦半径设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px的一点，F是焦点，则PF＝x0＋eq\f(p,2).椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线为x＝8，离心率e＝eq\f(1,2).(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长．【精彩点拨】(1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求解．【自主解答】(1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得eq\f(\r(x－22＋y2),|8－x|)＝eq\f(1,2)，两边同时平方，得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，化简得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)设椭圆的另一个焦点为F2(－2,0)，过F2且倾斜角为45°的直线方程为y＝x＋2，与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1联立消去y，得7x2＋16x－32＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(16,7)，AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2＝2a＋e(x1＋x2)＝2×4＋eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(48,7).[再练一题]4．过双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右焦点F，且倾斜角为45°的直线与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长．【解】易知F(5,0)，则直线的方程y＝x－5.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－5，,\f(x2,16)－\f(y2,9)＝1，))得7x2－160x＋544＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(160,7).由圆锥曲线的统一定义，知AF＝e·d＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(a2,c)))＝eq\f(c,a)x1－a，同理BF＝eq\f(c,a)x2－a，∴AB＝AF＋BF＝eq\f(c,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))－2a＝eq\f(5,4)×eq\f(160,7)－8＝eq\f(144,7).即AB的长为eq\f(144,7).[构建·体系]1．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P(x，y)满足eq\f(\r(x＋22＋y2),|x＋3|)＝eq\f(\r(6),3)，则PA＋PB＝________.【解析】∵点P到A(－2,0)的距离与它到直线x＝－3的距离之比为eq\f(\r(6),3)，∴点P的轨迹是椭圆，且eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，c＝2，∴a＝eq\r(6)，故PA＋PB＝2a＝2eq\r(6).【答案】2eq\r(6)2．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为________．【解析】由椭圆的方程，知a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，即c＝eq\r(3)，故椭圆的左准线方程为x＝－eq\f(4\r(3),3)，故所求抛物线的方程为y2＝eq\f(16\r(3),3)x.【答案】y2＝eq\f(16\r(3),3)x3．到点F(2,0)与直线x＝eq\f(1,2)的距离的比等于2的曲线方程为________.【导学号：09390052】【解析】由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c＝2，eq\f(a2,c)＝eq\f(1,2)，即a2＝1，故b2＝3，则双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.【答案】x2－eq\f(y2,3)＝14．椭圆eq