高中数学人教A版2第一章导数及其应用 第一章变化率问题

第一章导数及其应用变化率与导数1.1.1变化率问题A级基础巩固一、选择题1．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝时，Δy的值为()A．B．0.41C．D．解析：Δy＝(2＋2＋1－(22＋1)＝.答案：B2．物体的运动规律是s＝s(t)，物体在t至t＋Δt这段时间内的平均速度是()\o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（t）,t) \o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（Δt）,Δt)\o(v,\s\up13(－))＝eq\f(Δs,Δt) \o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（t＋Δt）,Δt)解析：eq\o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)＝eq\f(Δs,Δt).答案：C3．一运动物体的运动路程s(t)与时间x的函数关系为s(t)＝－t2＋2t，则s(t)从2到2＋Δt的平均速度为()A．2－Δt B．－2－ΔtC．2＋Δt D．(Δt)2－2Δt解析：因为s(2)＝－22＋2×2＝0，所以s(2＋Δt)＝－(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＝－2Δt－(Δt)2，所以eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,2＋Δt－2)＝－2－Δt.答案：B4．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积的增加量ΔS等于()A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2解析：ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.答案：B5．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4＋2(Δx)2C．4＋2Δx D．4x解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2×(Δx)2＋4×Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.答案：C二、填空题6．在x＝2附近，Δx＝eq\f(1,4)时，函数y＝eq\f(1,x)的平均变化率为________．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝－eq\f(1,4＋2Δx)＝－eq\f(2,9).答案：－eq\f(2,9)7．已知曲线y＝eq\f(1,x)－1上两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy))，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．解析：因为Δx＝1，所以2＋Δx＝3，Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝－eq\f(1,6).所以kAB＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,6).答案：－eq\f(1,6)8．函数y＝eq\f(1,x2)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．解析：因为Δy＝eq\f(1,（x0＋Δx）2)－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，所以y＝eq\f(1,x2)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率0为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,（x0＋Δx）2)－\f(1,xeq\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2x0＋Δx,（x0＋Δx）2xeq\o\al(2,0)).答案：－eq\f(2x0＋Δx,（x0＋Δx）2xeq\o\al(2,0))三、解答题9．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈[1，2]时，平均增长率的大小．解：设f(x)＝2x在x∈[1，2]时的平均增长率为k1，则k1＝eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝2.设g(x)＝3x在x∈[1，2]时的平均增长率为k2，则k2＝eq\f(g（2）－g（1）,2－1)＝6.因为k1<k2，故当x∈[1，2]时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率．10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．解：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．B级能力提升1．在x＝1附近，取Δx＝，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①解析：Δx＝时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4.答案：B2．设C是成本，q是产量，且C(q)＝3q2＋10，若q＝q0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC＝C(q0＋10)－C(q0)＝3(q0＋10)2＋10－(3qeq\o\al(2,0)＋10)＝3(qeq\o\al(2,0)＋20q0＋100)－3qeq\o\al(2,0)＝60q0＋300.答案：60q0＋3003．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯10s内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD(2)84m/min＝1.4m/s，在[0，10]内自变量的增量为x2－x1＝×10－×0＝14，f