高中数学北师大版1第二章空间向量与立体几何空间向量的运算 第2章

§2空间向量的运算1．会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点)2．会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题．(难点)3．能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积．(重点)[基础·初探]教材整理1空间向量的运算阅读教材P29～P30的部分，完成下列问题．空间向量的运算定义(或法则)运算律空间向量的加减法加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量eq\o(OA,\s\up12(→))和eq\o(OB,\s\up12(→))，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量eq\o(OC,\s\up12(→))就是a与b的和，记作a＋b，如图所示①结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；②交换律：a＋b＝b＋a减法与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：①|λa|＝|λ||a|②当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0①λa＝aλ(λ∈R)②λ(a＋b)＝λa＋λb(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．空间向量的数量积空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b①交换律：a·b＝b·a②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)与数量积有关的结论①|a|＝eq\r(a·a)②a⊥b⇔a·b＝0③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0.()【解析】(1)实数与向量之间不能进行加、减法运算．(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0，注意0与0的区别．【答案】(1)×(2)×2．如图2­2­1所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))－eq\o(BB1,\s\up12(→))＝()图2­2­1\o(AB1,\s\up12(→)) B．eq\o(DC,\s\up12(→))\o(AD,\s\up12(→)) D．eq\o(BA,\s\up12(→))【解析】eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))－eq\o(BB1,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1B1,\s\up12(→))＋eq\o(B1B,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1B,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→)).【答案】B3．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，则eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))为________．【解析】eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→)).【答案】eq\o(AD,\s\up12(→))4．若空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，求a·a＋a·b＝_____.【解】由空间向量数量积的性质a·a＝|a|2＝1，由空间向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，从而a·a＋a·b＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).教材整理2共线向量定理阅读教材P29“定理”的部分，完成下列问题．空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)若向量a，b共线，则一定存在实数λ，使得a＝λb.()【解析】当a≠0，b＝0，实数λ不存在．【答案】×教材整理3单位向量阅读教材P31“例2”以上的部分，完成下列问题．对于任意一个非零向量a，我们把eq\f(a,|a|)叫作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同方向．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间的线性运算(1)已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(CB,\s\up12(→))＝b，eq\o(AD,\s\up12(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up12(→))等于()A．a＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c【自主解答】eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝－eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝－a＋b＋c【答案】C(2)化简(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝________.【自主解答】法一：(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.法二：(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DB,\s\up12(→)))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.【答案】0(3)如图2­2­2所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为eq\o(AC1,\s\up12(→))的共有()图2­2­2①(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(CC1,\s\up12(→))；②(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))；③(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BB1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))；④(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1B1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→)).A．1个 B．2个C．3个 D．4个【自主解答】①(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(CC1,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋CC1＝eq\o(AC1,\s\up12(→))；②(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AD1,\s\up12(→))＋eq\o(D1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AC1,\s\up12(→))；③(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BB1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AC1,\s\up12(→))；④(eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1B1,\s\up12(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝eq\o(AC1,\s\up12(→)).【答案】D1．在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算．2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质．空间向量的共线定理的应用如图2­2­3四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up12(→))与eq\o(MN,\s\up12(→))是否共线？图2­2­3【精彩点拨】要判断eq\o(CE,\s\up12(→))与eq\o(MN,\s\up12(→))是否共线，由共线向量定理可判断是否存在实数λ使eq\o(CE,\s\up12(→))＝λeq\o(MN,\s\up12(→)).若存在，则eq\o(CE,\s\up12(→))与eq\o(MN,\s\up12(→))共线；否则，eq\o(CE,\s\up12(→))与eq\o(MN,\s\up12(→))不共线．【自主解答】∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→)).又eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MC,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))＋eq\o(EB,\s\up12(→))＋eq\o(BN,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))－eq\o(AF,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CE,\s\up12(→))－eq\o(AF,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up12(→)).∴eq\o(CE,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋2eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FB,\s\up12(→))＝2(eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＋eq\o(FN,\s\up12(→)))＝2eq\o(MN,\s\up12(→))，即eq\o(CE,\s\up12(→))＝2eq\o(MN,\s\up12(→)).∴eq\o(CE,\s\up12(→))∥eq\o(MN,\s\up12(→))，即eq\o(CE,\s\up12(→))与eq\o(MN,\s\up12(→))共线．1．判定向量a与b共线就是要找到实数λ，使得a＝λb成立．要充分运用空间向量的运算法则，同时结合空间图形，化简得a＝λb，从而判定a与b共线．2．向量共线定理是证明三点共线，线线平行问题的重要依据，有关空间和平面几何中的线线平行问题均可转化为向量的共线问题．[再练一题]1．如图2­2­4，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，eq\o(CG,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up12(→)).求证：四边形EFGH是梯形．【导学号：32550024】图2­2­4【证明】∵E、H分别是AB、AD的中点，∴eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AH,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(EH,\s\up12(→))＝eq\o(AH,\s\up12(→))－eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\f(3,2)eq\o(CG,\s\up12(→))－eq\f(3,2)eq\o(CF,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up12(→))，∴eq\o(EH,\s\up12(→))∥eq\o(FG,\s\up12(→))且|eq\o(EH,\s\up12(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up12(→))|≠|eq\o(FG,\s\up12(→))|.又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．[探究共研型]空间向量的数量积的特征探究1如何正确地理解空间向量的数量积？【提示】(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定；θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.(3)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.探究2在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？【提示】要准确区分两向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积之间的差异．注意以下几点：(1)数量积的运算不满足约去律，即a·b＝b·c推不出a＝c.(2)数量积的运算不满足结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．(3)数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若a·b＝k，不能得到a＝eq\f(k,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或b＝\f(k,a))).例如当非零向量a，b垂直时，a·b＝0，但a＝eq\f(0,b)显然是没有意义的．探究3如何灵活地应用空间向量的数量积公式？【提示】空间向量的数量积的应用主要有以下三个方面：(1)利用|a|＝eq\r(a2)，求线段的长；(2)利用cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求两直线所成的角；(3)利用a⊥b⇔a·b＝0，证明两直线垂直．如图2­2­5所示，已知正四面体O­ABC的棱长为1.图2­2­5求(1)eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→)))．【精彩点拨】在正四面体中，所有棱的长度都相等，每一个面都是正三角形，所以从同一顶点出发的任意两条棱所对应向量间的夹角等于60°或120°(与方向有关)．【自主解答】如图所示．(1)eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝|eq\o(OA,\s\up12(→))|·|eq\o(OB,\s\up12(→))|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).(2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→)))＝(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))＝(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))·(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))－2eq\o(OC,\s\up12(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.数量积的定义式、数量积的运算律、模与向量的数量积关系是重要的基础知识点．正四面体中从同一顶点出发的任意两条棱的夹角有两种情况，应注意向量的方向．[再练一题]2．本例条件不变，求|eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))|.【解】|eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))|＝eq\r(\o(OA,\s\up12(→))＋\o(OB,\s\up12(→))＋\o(OC,\s\up12(→))2)＝eq\r(\a\vs4\al(\o(OA,\s\up12(→)))2＋\o(OB,\s\up12(→))2＋eq\o(OC,\s\up12(→))2＋2eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＋2eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OC,\s\up12(→))＋2eq\o(OB,\s\up12(→))·eq\o(OC,\s\up12(→)))＝eq\r(12＋12＋12＋2×1×1×cos60°×3)＝eq\r(6).[构建·体系]1．直三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up12(→))＝a，eq\o(CB,\s\up12(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up12(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up12(→))等于()A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c【解析】eq\o(A1B,\s\up12(→))＝eq\o(A1C1,\s\up12(→))＋eq\o(C1C,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝－a＋b－c.【答案】D2．下列命题中正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行B．向量a，b，c共面即它们所在直线共面C．空间任意两个向量共面D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb【解析】a∥b，b∥c则a∥c，a与c所在直线可能平行也可能重合，故选项A错误，选项B中它们所在直线可能不共面；当b＝0，a≠0时，不存在λ使得a＝λb，故选项D错误，故选C.【答案】C3．如图2­2­6已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(C1B,\s\up12(→))＝()图2­2­6A．－2 B．2C．－1 D．1【解析】eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(C1B,\s\up12(→))＝eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(D1A,\s\up12(→))＝(eq\r(2))2cos〈eq\o(AB1,\s\up12(→))，eq\o(D1A,\s\up12(→))〉＝2cos(180°－60°)＝2cos120°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1.故选C.【答案】C4．设a，b