高中数学人教B版1本册总复习总复习 第1章章末综合测评

章末综合测评第一章(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边长度为21cm，则其余两边的长度之和为()【解析】设其余两边的长度分别为xcm，ycm，则eq\f(21,7k)＝eq\f(x,5k)＝eq\f(y,3k)，解得x＝15cm，y＝9cm.故x＋y＝24cm.【答案】A2.如图1所示，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，eq\f(AE,AC)＝eq\f(2,3)，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为()图1\f(1,3) \f(2,3)\f(4,5) \f(4,9)【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝(AE∶AC)2＝4∶9.则△ADE与四边形DBCE的面积的比为4∶(9－4)＝4∶5.【答案】C3.如图2所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：图2①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正确的个数为()【解析】∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确.由①知，eq\f(DC,AB)＝eq\f(OC,OA).S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确.∵S△ADC＝S△BCD，∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正确.故①③④正确.【答案】C4.如图3所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降时，长臂端点升高()【导学号：61650022】图3A.11.25m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1m，OB＝16m，高CE＝，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝∶DF，解得DF＝8m.【答案】C5.如图4，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是()图4A.β＝αB.β＝180°－2αC.β＝eq\f(1,2)(90°－α)D.β＝eq\f(1,2)(180°－α)【解析】如右图所示，分别连接AO1，BO1.根据圆内接四边形的性质定理，可得∠AO1B＋∠ADB＝180°，∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.∵∠ACB＝eq\f(1,2)∠AO1B，∴β＝eq\f(1,2)(180°－α)，故选D.【答案】D6.已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为()【解析】如图，连接AC，CB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB.即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.【答案】B7.如图5所示，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA交⊙O于D，PB交⊙O于C，连结BD、AC交于E，下列关系式中不成立的是()图5A.∠ADB＝∠ACB＝90°B.∠AED＝∠PC.∠P＝eq\f(1,2)∠AEBD.∠PAC＝∠DBP【解析】由直径AB所对的圆周角是直角和A正确.由P，D，E，C四点共圆知B正确.又易知∠PAC＝∠DBP＝90°－∠P，∴D正确.【答案】C8.如图6，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E，若AB＝6，BC＝4，则AE＝()图6\f(10,3) \f(2,3) \f(4,3)【解析】∵MN为⊙O的切线，∴∠BCM＝∠A.∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，∴∠A＝∠EBC.又∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC.∴eq\f(AB,BE)＝eq\f(BC,EC).∵AB＝AC，∴BE＝BC.∴eq\f(6,4)＝eq\f(4,EC).∴EC＝eq\f(8,3)，∴AE＝6－eq\f(8,3)＝eq\f(10,3).【答案】A9.如图7，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD.如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()图7° °° °【解析】∵AB、AC为⊙O的切线，∴∠CAO＝∠BAO，又∵OB＝BD，∴∠OAB＝∠DAB，∵∠DAC＝78°，∴∠OAD＝eq\f(2,3)×78°＝52°，∴∠ADO＝64°.【答案】B10.如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC＝()图8 【解析】∵AT为⊙O的切线，∴AT2＝AD·AC，∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴BC＝eq\f(DE·AC,AE)＝eq\f(2×9,3)＝6.【答案】C11.在Rt△ABC中，∠A＝90°，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径为()\r(ab) \f(a＋b,ab)\f(ab,a＋b) \f(a＋b,2)【解析】如图所示，分别连接OE、OF，则四边形OEAF是正方形，不妨设⊙O的半径为r，则由切线长定理，可得AE＝AF＝r，∵BE＝AB－AE，CF＝AC－AF，∴BE＝a－r，CF＝b－r，∵△BEO与△OFC相似，∴eq\f(BE,OF)＝eq\f(OE,CF)，∴eq\f(a－r,r)＝eq\f(r,b－r)，解得r＝eq\f(ab,a＋b).【答案】C12.如图9所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝()图9 \r(5)【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13.如图10，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________.图10【解析】∵MN是△ABC的中位线，∴△MON∽△COA，且eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2)，∴S△MON∶S△COA＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).【答案】1∶4、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，且AD∶DB＝1∶2，AE＝，AC＝，若AM交DE于N，交BC于M，则AN∶NM＝________.【解析】如图，∵eq\f(AD,DB)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).又eq\f(AE,AC)＝eq\f,＝eq\f(1,3)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.∴eq\f(AN,AM)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AN,AN＋MN)＝eq\f(1,3)，化简得eq\f(AN,NM)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)15.(湖南高考)如图11，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________.图11【解析】如图，连AE，易知AE∥BD，∴eq\f(BD,AE)＝eq\f(DF,AF)，易知△ABO是等边三角形，可得BD＝1，AD＝AF＋FD＝eq\r(3).∴AF＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)16.如图12，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝6，PD＝2eq\r(3)，则∠DFP＝________.图12【解析】如图，连接OD.∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD，PD2＝PE·PF，∴PE＝2.∴OP＝4，∴sin∠POD＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).∴∠POD＝60°，∴∠DFP＝30°.【答案】30°三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知如图13，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长.图13【解】∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，∴∠APQ＝∠BCP.∴Rt△APQ∽Rt△BCP，∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，∴eq\f(AP,BC)＝eq\f(AQ,BP)，即AQ＝eq\f(AP·BP,BC)＝eq\f(1×3,4)＝eq\f(3,4).∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\r(\f(9,16)＋1)＝eq\f(5,4).18.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图14，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图14(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.19.(本小题满分12分)如图15所示，在△ABC中，D为BC边上的中点，延长AD到点E，使AD＝2DE，延长AB交CE的延长线于点P.求证：AP＝3AB.图15【证明】如图所示，过点E作EF∥BC交AP于点F，则△ABD∽△AFE.∵AD＝2DE，∴AD∶AE＝2∶3.∴AB∶AF＝BD∶EF＝AD∶AE＝2∶3.∵BD＝DC，∴BC∶EF＝4∶3.∵EF∥BC，∴△PEF∽△PCB.∴PF∶PB＝EF∶BC＝3∶4.∴PF∶FB＝3∶1，∵AB∶AF＝2∶3，∴AB∶BF＝2∶1.∴PF∶FB∶AB＝3∶1∶2.∴AP∶AB＝6∶2＝3∶1.即AP＝3AB.20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)如图16，⊙O中eq\o(AB,\s\up10(︵))的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.图16(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.【导学号：61650023】解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为eq\o(AP,\s\up10(︵))＝eq\o(BP,\s\up10(︵))，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.21.(本小题满分12分)如图17所示，PA为⊙O的切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值.图17【解】如图所示，连接CE.∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB·PC.又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB.∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，∴AD·AE＝AB·AC＝90.22.(本小题满分12分)(辽宁高考)如图18，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长