高中数学高考二轮复习 江苏省2023年高考数学三轮专题复习素材倒数第7天

倒数第7天数列、不等式[保温特训]1．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为________．解析S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝10，∴a6＝2，∴S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝22.答案222．在等比数列{an}中，a3＝6，前3项和S3＝18，则公比q的值为________．解析依题意知：S3＝a1＋a2＋a3＝eq\f(6,q2)＋eq\f(6,q)＋6＝18，即2q2＋q－1＝0，解得q＝1，或q＝－eq\f(1,2).答案1或－eq\f(1,2)3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则a1－a2－a3－a4－a5＝________.解析该等差数列的公差d＝eq\f(a3－a1,3－1)＝－2，所以a1－a2－a3－a4－a5＝a1－2(a3＋a4)＝1－2(－3－5)＝17.答案174．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)＝________.解析通过8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，所以eq\f(S5,S2)＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f(33,－3)＝－11.答案－115．已知函数f(x)对应关系如下表所示，数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝f(an)，则a2012＝________.x123f(x)321解析写出几项：a1＝3，a2＝f(a1)＝f(3)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝3，a4＝f(a3)＝f(3)＝1，…，找规律得该数列奇数项都是3，偶数项都是1，所以a2012＝1.答案16．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，且满足16＜ak＋ak＋1＜22，则正整数k＝________.解析由an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1＝－6，n＝1，,Sn－Sn－1＝2n－8，n≥2，))所以an＝2n－8，所以ak＋ak＋1＝2k－8＋2(k＋1)－8＝4k－14，即16＜4k－14＜22，解得eq\f(15,2)＜k＜9，又k∈N*，所以k＝8.答案87．设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则eq\f(S2012,2012)的值为________．解析解不等式x2－x＜2nx(n∈N*)得，0＜x＜2n＋1，其中整数的个数an＝2n，其前n项和为Sn＝n(n＋1)，故eq\f(S2012,2012)＝eq\f(20122012＋1,2012)＝2013.答案20138．已知等差数列{an}满足：a1＝－8，a2＝－6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析由题意可知，数列{an}的公差d＝a2－a1＝2，所以通项an＝a1＋(n－1)d＝2n－10，所以a4＝－2，a5＝0，设所加的数是x，则x－8，x－2，x成等比数列，即(x－2)2＝x(x－8)，解得x＝－1.答案－19．如果数列a1，eq\f(a2,a1)，eq\f(a3,a2)，…，eq\f(an,an－1)，…是首项为1，公比为－eq\r(2)的等比数列，则a5等于________．解析由题意可得eq\f(an,an－1)＝(－eq\r(2))n－1(n≥2)，所以eq\f(a2,a1)＝－eq\r(2)，eq\f(a3,a2)＝(－eq\r(2))2，eq\f(a4,a3)＝(－eq\r(2))3，eq\f(a5,a4)＝(－eq\r(2))4，将上面的4个式子两边分别相乘得eq\f(a5,a1)＝(－eq\r(2))1＋2＋3＋4＝32，又a1＝1，所以a5＝32.答案3210．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a4，a16成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则eq\f(S14－S4,S7－S6)的值为________．解析∵等差数列{an}满足a1，a4，a16成等比数列，∴(a1＋3d)2＝a1(a1＋15d)，d≠0，解得a1＝d，则an＝nd，∴eq\f(S11－S4,S7－S6)＝eq\f(a5＋a6＋…＋a11,a7)＝eq\f(7a8,a7)＝eq\f(56d,7d)＝8.答案811．若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤1，,x＋y≥2，,y－x≤2，))目标函数z＝kx＋2y仅在点(1,1)处取得最小值，则k的取值范围是________．解析作出不等式组对应的平面区域如图，目标函数为y＝－eq\f(k,2)x＋eq\f(1,2)z，仅在(1,1)差取得最小值时，有－1＜－eq\f(k,2)＜2，解得－4＜k＜2.答案(－4,2)12．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．解析由指数函数图象可得f(a)＞－1，所以g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，解得2－eq\r(2)＜b＜2＋eq\r(2).答案(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))13．设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sinθ)＜m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．解析因为f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)≤0对x∈[1，＋∞)恒成立，所以原函数在x∈[1，＋∞)递减，而1≤3＋2sinθ≤5，所以m＞[f(3＋2sinθ]max＝f(1)＝4.答案(4，＋∞)14．已知二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域是[0，＋∞)，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,c)的最小值是________．解析由条件得4ac＝16，且a＞0，c＞0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(9,c)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(9,c))＝3，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(9,c)时，即a＝eq\f(2,3)，c＝6时等号成立．答案3[知识排查]1．等差数列中的重要性质，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；等比数列中的重要性质：若m＋n＝p＋q，则aman＝ap·aq.2．已知数列的前n项和Sn求an时，易忽视n＝1的情况，直接用Sn－Sn－1表示an；应注意an，Sn的关系中是分段的，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))3．易忽视等比数列的性质，导致增解、漏解现象，如忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同而造成增解；在等比数列求和问题中忽视公比为1的情况导致漏解，在等比数列中，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))4．数列求通项有几种常用方法？数列求和有几种常用的方法？5．用基本不等式求最值(或值域)时，易忽略验证“一正二定三相等”这一条件．6．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，同时要注意“同号可倒”，即a>b>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；a<b<0⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b).7．在解含参数的不等式时，怎样进行讨论？(特别是指数和对数的底数)讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是…….8．常用放缩技巧：eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,nn＋1)<eq\f(1,n2)<eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n).9．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如eq\f(y－2,x＋2)是指已知区域内的点与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等．10．解决不等式恒成立问题的常规求