高中数学北师大版第二章函数 函数的单调性习题课

函数的单调性习题课时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)<f(2x－3)的x的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(3，＋∞)答案：D解析：依题意，得不等式f(x)<f(2x－3)等价于x<2x－3，由此解得x>3，即满足f(x)<f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞)．故选D.2．已知函数f(x)＝x2－6x＋8在[1，a)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3]B．[0,3]C．[3，＋∞)D．(1,3]答案：D解析：∵f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]．又f(x)＝x2－6x＋8在[1，a)上单调递减，∴a≤3.又a>1，∴1<a≤3.故选D.3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋6，x∈[1，2],x＋7，x∈[－1，1))，则f(x)的最大值和最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．10,7答案：A解析：作出分段函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋6，x∈[1，2],x＋7，x∈[－1，1))的图象(图略)，由图象可知f(x)max＝f(2)＝22＋6＝10，f(x)min＝f(－1)＝－1＋7＝6.故选A.4．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则下列不等式一定成立的是()A．f(a2＋a)<f(1)B．f(a2－1)>f(a)C．f(a2＋a)<f(－1)D．f(a2＋1)>f(a)答案：C解析：∵a2＋a与1、a2－1与a的大小不能确定，∴A，B选项中的不等式不一定成立．∵a2＋a－(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴a2＋a>－1.又f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(a2＋a)<f(－1)．D选项中，a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，应有f(a2＋1)<f(a)，故D选项中不等式不成立．故选C.5．函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且f(x)在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，则函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上()A．是增函数，且最小值为－5B．是增函数，且最大值为－5C．是减函数，且最小值为－5D．是减函数，且最大值为－5答案：B解析：作出满足题意的图象(图略)，可知函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为－5.故选B.6．函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上是递增的，则a的范围是()A．(0，eq\f(1,2))B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(eq\f(1,2)，＋∞)D．(－2，＋∞)答案：C解析：设－2<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1＋1,x1＋2)－eq\f(ax2＋1,x2＋2)＝eq\f(ax1＋1x2＋2－ax2＋1x1＋2,x1＋2x2＋2)＝eq\f(2ax1－x2＋x2－x1,x1＋2x2＋2)＝eq\f(x1－x22a－1,x1＋2x2＋2)∵－2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴eq\f(x1－x2,x1＋2x2＋2)<0，∵f(x)在(－2，＋∞)上是递增的∴f(x1)－f(x2)<0，即2a－1>0，∴a>eq\f(1,2).二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R(x1≠x2)都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______________．答案：f(－3)>f(－π)解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．8．设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的最小值为________．答案：－2解析：由题意，可得－eq\f(a－2,2)≤2，解得a≥－2，所以实数a的最小值为－2.9．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原像；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中真命题是_______．(写出所有真命题的编号)答案：②③三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．讨论当x>0时，f(x)＝x－eq\f(a,x)(a>0)的单调区间，并求当a＝3时，f(x)在[3,6]上的值域．解：设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(eq\f(a,x2)－eq\f(a,x1))＝(x1－x2)(1＋eq\f(a,x1x2))∵x2>x1>0，a>0∴1＋eq\f(a,x1x2)>0，x1－x2<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(x)在[3,6]是递增的．f(3)≤f(x)≤f(6)即f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(11,2)))∴f(x)在[3,6]上值域[2，eq\f(11,2)]11．已知函数f(x)＝eq\r(x＋1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是递增的；(3)求函数f(x)的最小值．解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．(2)证明：设－1<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，f(x1)－f(x2)＝eq\r(x1＋1)－eq\r(x2＋1)＝eq\f(\r(x1＋1)＋\r(x2＋1)\r(x1＋1)－\r(x2＋1),\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1＋1－x2＋1,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1－x2,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1)).∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，eq\r(x1＋1)>0，eq\r(x2＋1)>0.∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，∴函数f(x)在定义域上是递增的．(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是递增的，∴f(x)≥f(－1)＝0，即函数f(x)的最小值是0.12．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.(1)求f(8)的值；(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集．解：(1)由题意，得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝3f(2)(2)原不等式可化为f(x)>3＋f(x－2)，∵f(8)＝3，∴3＋f(x－2)＝f(8)＋f(x－2)＝f(8(x－2))，∴f(x