新高考数学二轮复习专题讲测练专题03 平面向量小题全归类（精讲精练）（解析版）

专题03平面向量小题全归类【命题规律】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等．【核心考点目录】核心考点一：平面向量基本定理及其应用核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用核心考点三：平面向量的数量积核心考点四：平面向量的模与夹角核心考点五：等和线问题核心考点六：极化恒等式核心考点七：矩形大法核心考点八：平面向量范围与最值问题【真题回归】1．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．6【答案】C【解析】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故选：C2．在SKIPIF1<0中，点D在边AB上，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为点D在边AB上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B．3．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故选：D4．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是AC中点，SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为___________，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为____________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】方法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．方法二：如图所示，建立坐标系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【方法技巧与总结】1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有：（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【核心考点】核心考点一：平面向量基本定理及其应用【规律方法】1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．【典型例题】例1．如图，在SKIPIF1<0中，点D是边AB上一点且SKIPIF1<0，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是SKIPIF1<0的平分线，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为BF是SKIPIF1<0的平分线，所以存在一个实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E是边BC的中点，所以SKIPIF1<0，又点A，E，F共线，所以SKIPIF1<0①．（三点共线的应用：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数），若A，B，C三点共线，则SKIPIF1<0）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点C，F，D共线，所以SKIPIF1<0②，联立①②，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C．例2．如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【解析】方法1：在平行四边形SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（平面向量基本定理的应用）又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：B.方法2：如图，以A为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由②得SKIPIF1<0，将其代入①得SKIPIF1<0，故选：B.例3．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0共线，即SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不共线，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：D.例4．如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0显然SKIPIF1<0得SKIPIF1<0显然SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0根据向量的性质可知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故选：C例5．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D满足SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又E为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A例6．（多选题）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设SKIPIF1<0三点共线，O为线外一点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0前系数和为1，证：SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故A错；SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴F为BE的中点，SKIPIF1<0，故B对；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C对；取AB中点G，BC中点H，如下图，则SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D对．故选：BCD．例7．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为，SKIPIF1<0三点共线，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为，SKIPIF1<0不共线，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例8．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形SKIPIF1<0按上述操作作图后，得如图所示的图形，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，以A为原点，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，设正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0边长为SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用【规律方法】1、平面向量共线定理：已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线；反之亦然．2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【典型例题】例9．已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0的中点，过点SKIPIF1<0的直线交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B.例10．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例12．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为，SKIPIF1<0三点共线，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为，SKIPIF1<0不共线，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例13．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上异于端点的一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．【答案】8【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0例14．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）如图，点G为SKIPIF1<0的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则m＋n＝______．【答案】1【解析】延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因为点G为△ABC的重心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0.故答案为：1核心考点三：平面向量的数量积【规律方法】1、向量的数量积：设两个非零向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量积，记作SKIPIF1<0．2、数量积的几何意义：数量积SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的方向上的投影SKIPIF1<0的乘积．3、设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由此得到：（1）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，则A，B两点间的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）设两个非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）若SKIPIF1<0都是非零向量，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，则SKIPIF1<0【典型例题】例15．已知A，B，C，D在同一平面上，其中SKIPIF1<0，若点B，C，D均在面积为SKIPIF1<0的圆上，则SKIPIF1<0（

）A．36 B．SKIPIF1<0 C．18 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依题意可知：圆的半径为SKIPIF1<0，设圆心为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为圆的直径，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.例16．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．10 D．20【答案】C【解析】记SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，如图，因为点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.例17．已知菱形SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是菱形SKIPIF1<0内一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【解析】在菱形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等边三角形，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中线，同理可得点SKIPIF1<0的中线过点SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，故SKIPIF1<0，在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.例18．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0垂直平分线SKIPIF1<0上任一异于SKIPIF1<0的点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．7 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为直角三角形，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0垂直平分线SKIPIF1<0上任一异于SKIPIF1<0的点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C例19．已知SKIPIF1<0的外接圆的圆心为SKIPIF1<0，半径为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0又是外接圆圆心，则SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的外接圆半径为1，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故选：B.核心考点四：平面向量的模与夹角【规律方法】(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为SKIPIF1<0．(2)求非零向量SKIPIF1<0的夹角一般利用公式SKIPIF1<0先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．【典型例题】例20．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角等于（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【解析】SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角等于150°，故选：D.例21．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且对任意实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0要想不等式SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D例22．已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由向量的平方等于模长的平方可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，故选：D.例23．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：D例24．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：C．例25．已知SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】C【解析】由题意知SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C.核心考点五：等和线问题【规律方法】等和线平面内一组基底SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上或者在平行于SKIPIF1<0的直线上，则SKIPIF1<0（定值），反之也成立，我们把直线SKIPIF1<0以及与直线SKIPIF1<0平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；②当等和线在SKIPIF1<0点和直线SKIPIF1<0之间时，SKIPIF1<0；③当直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0和等和线之间时，SKIPIF1<0；④当等和线过SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0；⑤若两等和线关于SKIPIF1<0点对称，则定值SKIPIF1<0互为相反数；【典型例题】例26．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，且满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号．故选：B．例27．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上任一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵BC//EF，∴设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：A．例28．在SKIPIF1<0中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：C．例29．如图，已知点SKIPIF1<0在由射线SKIPIF1<0、线段SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量加法的平行四边形法则，SKIPIF1<0为平行四边形的对角线，该四边形应是以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的反向延长线为两邻边，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，要使SKIPIF1<0点落在指定区域内，即SKIPIF1<0点应落在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故选：D．核心考点六：极化恒等式【规律方法】极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：SKIPIF1<0证明：不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②①②两式相加得：SKIPIF1<0（2）极化恒等式：上面两式相减，得：SKIPIF1<0————极化恒等式①平行四边形模式：SKIPIF1<0几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的SKIPIF1<0．②三角形模式：SKIPIF1<0（M为BD的中点）AABCM【典型例题】例30．边长为SKIPIF1<0的正方形内有一内切圆，SKIPIF1<0是内切圆的一条弦，点SKIPIF1<0为正方形四条边上的动点，当弦SKIPIF1<0的长度最大时，SKIPIF1<0的取值范围是_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如下图所示：设正方形SKIPIF1<0的内切圆为圆SKIPIF1<0，当弦SKIPIF1<0的长度最大时，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的一条直径，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0的某边的中点时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与正方形SKIPIF1<0的顶点重合时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．例31．如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为________________．

【答案】SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0例32．设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=SKIPIF1<0AB，且对于边AB上任一点P，恒有SKIPIF1<0，则三角形ABC形状为___________．【答案】等腰三角形【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设O为AB的中点，SKIPIF1<0即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形．故答案为：等腰三角形．例33．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】圆SKIPIF1<0的圆心的为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线方程为SKIPIF1<0，圆的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF