32立体几何中的向量方法(一)

第一课时：§3.2立体几何中的向量方法（一）授课要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．授课重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课过程：一、复习引入1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思虑方法是：⑴怎样把已知的几何条件（如线段、角度等）转变成向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；⑶怎样对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？通法解析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？角问题；⑵利用性质a⊥ba·b＝０可以解决线段或直线的垂直问题；⑶利用性质a·a＝｜a｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．二、例题讲解1.出示例1：已知空间四边形OABC中，OABC，OBAC．求证：OCAB．证明：OC·AB＝OC·(OBOA)＝OC·OB－OC·OA．∵OABC，OBAC，∴OA·BC0，OB·AC0，OA·(OCOB)0，OB·(OCOA)0．∴OA·OCOA·OB，OB·OCOB·OA．∴OC·OB＝OC·OA，OC·AB＝0．∴OCAB2.出示例2：如图，已知线段AB在平面α内，线段AC，线段BD⊥AB，线段DD'，DBD'30，若是AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．解：由AC，可知ACAB．由DBD'30可知，＜CA,BD＞＝120，∴|CD|2＝(CAABBD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝b2a2b22b2cos120＝a2b2．∴CDa2b2．3.出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角．解：∵MN＝1(CC'BC)，CD'＝CC'CD，2∴MN·CD'＝1(CC'BC)·(CC'CD)＝1(|CC'|2＋CC'CD＋BC·CC'＋22BC·CD)．∵CC'CD，CC'BC，BCCD，∴CC'CD0，BC·CC'0，BC·CD0，∴MN·CD'＝1|CC'|2＝1．求得cos＜MN,CD'＞1，∴＜MN,CD'＞＝60.222小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转变成向量表示式，并用已知向量表示未知向量，尔后经过向量的运算去计算或证明．三、牢固练习作业：课本P116练习1、2题.第二课时：§3.2立体几何中的向量方法（二）授课要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．授课重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课过程：一、复习引入谈论：将立体几何问题转变成向量问题的路子？1）经过一组基向量研究的向量法，它利用向量的看法及其运算解决问题；2）经过空间直角坐标系研究的坐标法，它经过坐标把向量转变成数及其运算来解决问题.二、例题讲解1.出示例1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE．证明：不如设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA＝i，DC＝，DD1＝．以、、为坐标向量建立空间直角坐标系D－，则jkijkxyz11∵AD＝(-1,0,0)，D1F＝(0,,-1)，∴AD·D1F＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴D1FAD．22又AE＝(0,1,1)，∴AE·D1F＝(0,1,1)·(0,1,-1)＝0，∴D1FAE．222又ADAEA，∴D1F平面ADE．说明：⑴“不如设”是我们在解题中常用的小技巧，平时可用于设定某些与题目要求没关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判断直线与直线或直线与平面的地址关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以采用任意一点和一个单位正交基底，但详尽设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特色，把它们放在合适的地址，才能方便计算和证明．出示例2：课本P116例3解析：怎样转变成向量问题？进行怎样的向量运算？出示例3：课本P118例4解析：怎样转变成向量问题？进行怎样的向量运算？出示例4：证：若是两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．改写为：已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD．证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD＝(x,y,z)．∵BD⊥α，∴BD⊥i，BD⊥j，BD·i＝(x,y,z)·(1,0,0)＝x＝0，BD·j＝(x,y,z)·(0,1,0)＝y＝0,∴BD＝(0,0,z)．∴BD＝zk．即BD//k．由已知O、B为两个不同样的点，∴OA//BD．5.法向量定义：若是表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．若是a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．6.小结：向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题→（2）进行向量运算→（3）回到图形问题.三、牢固练习作业：课本P120、习题A组1、2题.第三课时：§3.2立体几何中的向量方法（三）授课要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．授课重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课过程：一、复习引入1.法向量定义：若是直线l平面,取直线l的方向向量为a，则向量a叫作平面α的法向量（normalvectors）.利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.2.谈论：怎样利用法向量求线面角？→面面角？直线AB与平面α所成的角，可看作是向量AB所在直线与平面α的法向量n所在直线夹角的余角，从而求线面角转变成求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cos,ab，我们可以获得以下向量法的公式：ababsinABncosAB,n.ABn谈论：怎样利用向量求空间距离？两异面直线的距离，转变成与两异面直线都订交的线段在公垂向量上的投影长.点到平面的距离，转变成过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.二、例题讲解：1.出示例1：长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，E、F分别是A1D1、AB的中点，O是BC1与B1C的交点.求直线OF与平面DEF所成角的正弦.解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA、DC、DD1为坐标轴，建立以下列图的空间直角坐标系.则D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0).设平面DEF的法向量为n(x,y,z)，nDE而DE(1,0,2)，DF(2,2,0).则，nDFnDE0x2z0,解得x:y:z2:2:1∴，即2x2ynDF00∵nOF|n||OF|cos，而OF(1,2,1