2022-2023学年人教A版选择性必修第三册 第七章 第6课时　二项分布 学案

第6课时二项分布课程要求素养要求.掌握二项分布，通过具体实例，了解伯努利试验，能利用〃重伯努利试验的特征推导二项分布的分布列..能根据服从二项分布的随机变量的实际意义猜想出均值，并能由定义计算二项分布的均值，知道二项分布方差的表达式；并能解决简单的实际问题..数学抽象：能抽象〃重伯努利试验的特征，建立二项分布模型..逻辑推理：能用归纳和类比，由特殊到一般地得出二项分布的分布列、均值与方差的性质等..数学运算：能求二项分布的分布列、均值与方差..数学建模：通过二项分布的分布列、均值与方差对于一些简单的实际问题，进行决策分析.牌知识梳理|•伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验..n重伯努利试验将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征：(I)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验结果相互独立..二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=&pk(l-p)nr,k=0,I,2,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p)..二项分布的均值和方差如果X〜B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(l-p).0预习自测1.某电子管正品率为*次品率为点现对该批电子管进行测试，设第4次首次测到正品，则P©=3)=(C)A.A.A.3-4X2A.3-4X2A—/1-4*cI-4X2\JZ1G.c3-4Xc1-4X23k13解析：自=3说明前2次没有测到正品，第3次刚好测到正品，故概率为PR=3)=qyX]..若随机变量X〜B(3,I),则P(X=2)=(C)A.1B.1c2D1i9-2解析：P(X=2)=dXq)2X(3)3-2=9..若X〜B(80,1),则D(X)=(C)A.20B.40C.15D.30I3解析：因为X〜B(80,R,因此D(X)=80XwX1=15.故选C..已知随机变量X服从二项分布，即X〜B(n,p),且E(X)=2,D(X)=I.6,则二项分布的参数n,p的值为(D)A.n=4,p=0.5B.n=6,p=0.3C.n=8,p=0.25D.n=10,p=0.2解析：随机变量X服从二项分布，即X〜B(n,p),且E(X)=2,D(X)=1.6,可得np=2,np(l-p)=l.6,解得p=0.2,n=10,故选D..某处有供水龙头5个，调查显示每个水龙头被打开的可能性均为七，3个水龙头同时被打开的概率为0.0081.解析：对5个水龙头的处理可视为做5次独立试脸，每次试脸有2种可能结果，打开或不打开，相应的概率为0.1或1-0.1=0.9.根据题意得3个水龙头同时被打开的^率为6X0.13X0.92=0.0081.卜探究点，1卜探究点，1n重伯努利试验概率的求法[例I]某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.分析：用字母表示事件，确定伯努利试脸，求概率.解析：(1)至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，记''至少3人同时上网”为事件A,则P(A)=以X(1)3X@)3+以X(1)4X(1)2+&X(1)5X打以X的x(2)由⑴知至少3人同时上网的概率大于0.3,事件B:至少4人同时上网，其概率为P(B)=dX(1)4Xg)2+&x(1)5X；+以XgpX(1)°

=£>0.3,事件C:至少5人同时上网，其概率为P(C)=aX(1)5Xg+以Xg)6X(5)0=^J<0.3.所以至少5人同时上网的概率小于0.3.【规律方法】解决此类问题的关键是正确设出伯努利试验中的事件A,接着分析随机变量是否满足伯努利试验概型的条件，若是,利用公式P(G=k)=&pk(l-p)Lk计算便可.【变式训练1】在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛，已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8.那么在本次运动会上，求：(I)该运动员恰好打破3项世界纪录的概率；(2)该运动员至少能打破3项世界纪录的概率；(3)该运动员参加完第5项比赛时，恰好打破4项世界纪录的概率.解析：记每打破一项世界纪录为事件A,则P(A)=0.8,5次比赛相当于5次独立重复试验.(1)该运动员恰好打破3项世界纪录的榛率P=CgX0.83义0.22=0.2048.(2)设该运动员打破世界纪录的项目数为却则所求事件的概率P=P623)=P6=3)+P化=4)+P©=5)=不X0.83X0.22+或X0.84X0.2+&XO.85=0.94208.(3)参加完第5项比赛时，恰好打破4项世界纪录，即第5项比赛打破世界纪录，前4项比赛中有3项打破世界纪录，因此所求事件的概率P=dX0.83X0.2X0.8=0.32768.卜探究点，二项分布问题卜探究点，二项分布问题【例2】某社区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记自为3人中参加过培训的人数，求g的分布列、均值和方差.分析：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式求解；(2)应用二项分布求解.解析：(1)任选1名下肉人员，记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B.由题意知，A与B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率为P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.6)(!-0.75)=0.1.所以该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数自服从二项分布，即自〜B(3,0.9),P(^=k)=diXO.9kXO.l3~k,k=0,1,2,3,

所以自的分布列如表所示.所以自的分布列如表所示.10123P0.0010.0270.2430.729所以自的分布列如表所示.所以自的分布列如表所示.因为自〜B(3,0.9),所以E©=3X0.9=27,D©=3X0.9X0.1=0.27.【规律方法】二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值概率的过程,因此我们应熟练掌握二项分布.利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n重伯努利试验，随机变量是不是在这n重伯努利试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量的概率分布才是二项分布，否则就不是二项分布.【变式训练2]某中学学生心理咨询中心服务电话接通率为:，某班3名同学商定明天分别就同•个问题询问该服务中心，且每人只拨打一次电话，求他们成功咨询的人数X的分布列、均值和方差.解析：由题意的分布列、均值和方差.解析：由题意X〜B(3,3R所以P(X=k)=dX(3kx(b3—k,k=0,1,2,3.所以X的分布列如表所示.X0123P16496427642764因为X〜B(3,9T69T6=L4X3-49T6=9T6=L4X3-4所以E(X)=3X1=『D(X)=3Xn重伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行n次的一种试验.在这种试验中，每•次试验的结果只有两种，即某事件要么发生要么不发生，并且任何一次试验中事件发生的概率都是相等