材料力学第八章压杆的稳定性

第八章

压杆的稳定性§8-1压杆稳定性的概念受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式：1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为强度破坏。2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为失稳破坏。工程中存在着很多受压杆件。

对于相对细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡形式而失效。1.两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F作用下将保持原有直线平衡形式。此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是稳定的。2.当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式不稳定。

这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳。

压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷载，用Fcr表示。刚体平衡12345随遇平衡其它一些构件的稳定性问题§8-2细长压杆的临界力

在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。一、欧拉公式

设两端铰支的细长压杆在临界荷载Fcr作用下，在xOw平面内处于微弯状态。lxFcrw1.两端铰支的细长压杆挠曲线近似微分方程为lwxFcrxwEIw"=-M(x)x截面的弯矩为M(x)=Fcr

w

EIw"

=-Fcr

wEIw"

+Fcr

w

=0令k2=FcrEIw"

+k2w

=0得二阶常系数线性微分方程xwxwFcrFcrM(x)由杆的已知位移边界条件确定常数x=0，w=0x=l，w=0得

B=0，w=Asinkx得Asinkl=0由Asinkl=0

得

A=0（不可能）

或sinkl=0即

kl=nπ

(n=0,1,2…）k2=FcrEIlxFcrw其通解为w=Asinkx+BcoskxA、B、k待定常数w"

+k2w

=0(n=0,1,2…）Fcr=n2π2EIl2最小的临界荷载（n=1）（Euler公式）Fcr=π2EIl2(n=0,1,2…）Fcr=n2π2EIl2压杆的挠曲线方程为w=Asinxπl（半波正弦曲线）x=2l时w0=Aw=Asinkx+Bcoskxk=π/lA是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。lxFcrwOFw0F与中点挠度w0之间的关系（1）若采用近似微分方程，则F与如折线OAB所示；实际B'（2）若采用精确的挠曲线微分方程，则可得F与w0之间的关系如曲线OAB'所示；（3）实际工程压杆F与w0之间的关系如曲线OB所示。BAFcr2.不同杆端约束下压杆的临界力xFcrwxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwllFcrFcr2lFcrl类比法

一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。Fcr=π2EI（2l）2lFcrFcrl/2l/4l/4Fcr=π2EI(0.5l)2

两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。类比法0.7lFcr0.3llFcrFcr=π2EI(0.7l)2

一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。类比法Euler公式的统一形式Fcr=π2EI(μl)2约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。μ——长度因数μl——相当长度一端固定一端自由一端固定一端铰支两端固定两端铰支μ=1.0μ=2.0μ=0.5μ=0.7Fcr=π2EI(μl)2公式讨论2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端），压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；1.Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比；最小抗弯刚度平面：形心主惯性矩I为最小的纵向平面

如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最小抗弯刚度平面。3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰，xOz平面内为铰支（可绕y轴自由转动），xOy平面内为固定端（不能转动）。计算临界荷载应取I与μ2比值的最小值，压杆在相应的平面内失稳。轴销xyz压杆在

xOz平面内失稳时：μ=1.0，I=Iy计算临界力Fcr1压杆在

xOy平面内失稳时：μ=0.5，I=Iz计算临界力Fcr2临界力Fcr为两者中较小的值。Fcr=π2EI(μl)24.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体情况选取适当的长度系数μ值。5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。§8-3压杆的柔度与压杆的非弹性失稳

当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。一、压杆的临界应力与柔度σcr=FcrAπ2EI(μl)2=Ai2=IAμliλ=令σcr=π2Eλ2则有λ——称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。二、欧拉公式的适用范围推导欧拉公式时，杆处于弹性状态σcr≤σP故欧拉公式的适用条件σcr=π2Eλ2≤σPλ≥√π2EσP令√λP=π2EσPλ≥λP满足该条件的压杆称为细长杆（或大柔度杆）。λP为材料参数，不同的材料有不同的值。如Q235钢，σP=200MPaE=200MPaλP=100三、非弹性失稳压杆的临界力λ≥λPλ<λP为弹性失稳压杆的失稳称为非弹性失稳σcr>σP

此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公式来计算这类压杆的临界应力σcr。如直线公式σcr=a-b

λa、b为与材料有关的常数，由试验确定。如Q235钢，a=304MPab=1.12MPa实际上时σcr≥σu压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。故直线公式的适用范围<λ<λPλuσP<σcr<σu称为短粗杆(小柔度杆)=a-σuλub称为中长杆(中柔度杆)直线公式σcr=a-bλ这类压杆的临界力为σcrFcrA=四、失效应力总图oσcr=σsσcr=a-bλλuλpσcrλσcrσpσcr=E22πλQ235钢的失效应力总图λ≥λP<λ<λPλuλ≤λu细长杆（或大柔度杆），欧拉公式称为中长杆(中柔度杆)，直线公式短粗杆(小柔度杆)，强度破坏

例TC13松木压杆,两端为球铰。压杆材料的比例极限σp=9MPa,强度极限σb=13MPa，弹性模量E=1.0×104MPa。压杆采用面积相同的两种截面:(1)h=120mm,b=90mm的矩形。(2)b=104mm正方形。试比较二者的临界荷载。Fcr3mhbFcr3mbb解：(1).矩形截面该压杆为细长杆,临界力用欧拉公式计算:Fcr3mhb(2).正方形截面该压杆为中长杆Fcr3mbb

例一压杆,长l=2m,截面为10号工字钢,材料为Q235钢,σs=235MPa,E=206GPa,σp=200MPa。压杆两端为柱形铰。试求压杆的临界荷载。轴销xyz解：先计算压杆的柔度。在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得iy=4.14cm，故在xy面内，压杆两端可视为固支，μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm，故轴销xyz压杆将在xy面内失稳Q235钢故压杆为中长杆临界应力:横截面面积:临界力:§8-4压杆的稳定计算一、压杆的稳定条件压杆的稳定条件为nst为稳定安全因数；[Fst]为稳定容许压力。用应力表示的稳定条件为[σst]为稳定容许应力。nst的选取除了要考虑在选取强度安全因数时的那些因素外，还要考虑影响压杆失稳的其它不利因素，如初曲率、荷载偏心等。二、压杆的稳定计算1.安全因数法2.折减因数法或φ称为折减因数；小于1大于0。φ随柔度λ变化，φ与λ的关系可查规范。

例由Q235钢制成的千斤顶如图。丝杆长l=800mm，直径d=40mm，上端自由，下端可视为固定。材料E=2.1×105MPa。若该丝杆的稳定安全因数nst=3，是求该千斤顶的最大承载力。解：先求丝杆的临界压力Fcr丝杆lFQ235钢故丝杆为细长杆

例

某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3，受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。（1）求两槽钢的间距h。（2）校核钢柱的稳定性和强度。解：(1)确定两槽钢的间距h

钢柱两端约束在各方向均相同，因此，最合理的设计应使Iy=Iz,从而使钢柱在各方向有相同的稳定性。单根16b号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得为:A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm

由平行移轴公式，钢柱截面对y轴的惯性矩为Iy

=2[Iyo+A(z0+h/2)2]由Iy=Iz的条件得到2×934.5=2×[83.4+25.15(1.75+h/2)2]整理后得到12.58h2+85.51h-1566.83=0解出h后,舍弃不合理的负值,得h=8.23cm

。A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cmδ=10mm(2)校核钢柱的稳定性

钢柱两端附近截面虽有螺栓孔削弱,但属于局部削弱,不影响整体的稳定性。钢柱截面的λ和i分别为A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm查表得

φ=0.308，所以

φ[σ]=0.308×170MPa=52.4MPa而钢柱的工作应力为钢柱满足稳定要求。(3)校核钢柱的强度

对螺栓孔削弱的截面,应进行强度校核。该截面上的工作应力为故削弱的截面仍有足够的强度。AB4m

例桁架中,上弦杆AB为Q235工字钢,材料的容许应力[σ]=170MPa,已知该杆受250kN的轴向压力的作用,试选择工字钢型号。解:在已知条件中给出了[σ]值，但对nst没有明确要求，所以应按折减因数法来进行截面设计。其φ尚未知，φ取决于λ，而λ又与截面尺寸有关，因此，需用试算法。先假设φ=0.5，得选18号工字钢，A=30.6cm2，imin=2.0cm。μ=1查表得φ=0.186，需做第二次试算，令选22b工字钢，A=46.4cm2，imin=2.27cm。μ=1查表得φ=0.234，还需试算，令选28a