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1HUST-XD-D-1007-2013有限元分析及应用袁锐01变分法基础2

变分法基础

FundamentalsofVariationalCalculus3变分及其特性1.泛函的定义在函数论中，自变量x对应着另一变量y，称变量y为自变量x的函数y(x)。如果自变函数y(x)对应着另一个函数J[y(x)],则称J[y(x)]为泛函。也即，泛函是函数的函数。如图2.1所示，通过两点A(x1,y1)及B(x2,y2)的曲线长度是函数的函数

于是这一问题的泛函是通过两点的长度。通过两点的函数很多，因此泛函值也很多，然而其中最短的只有一个，这就是泛函极值问题。变分原理就是研究泛函极值问题或驻值问题。4【定义】函数y(x)与另一函数Y(x)之差叫做函数y(x)的变分。（定义中的x泛指单元或多元变量）1.函数的变分(Variation)说明：（1）与函数增量y的区别

变分y反映的是整个函数的改变增量

y反映的是同一函数y(x)因为x取不同值而产生的差异（2）与微分的关系如果y(x)和y=Y(x)-y(x)都可求导，则即：函数变分的导数等于函数导数的变分。换言之，函数求导与求变分这两种运算的顺序是可以变换的。53.泛函的连续性(continuity)【定义】如果当y(x)产生微量改变，有相应的J[y(x)]的微量改变，则就说J[y(x)]是连续的。【定义】如果对于任意给定的一个正数，可以找到一个，且就称泛函J[y(x)]在y(x)=y1(x)有m阶连续，记为Cm。能使…C0C1图2.262.泛函的变分A.泛函的增量定义可展开为泛函的线性项和非线性项是y(x)的线性泛函自变函数的变分所引起的泛函的增量线性泛函是指满足下列条件的泛函其中C为常数7当泛函的变分定义为时，有是非线性泛函项，是y(x)的同阶或高阶的微量是y(x)的最大值因此，泛函的变分是泛函增量的主部，且该主部对于是线性的8

【例题】给出泛函

求变分【解答】9B.泛函的拉格朗日定义设按则泛函的增量可写成引入将进行泰勒展开10

【例题】给出泛函

求变分【解答】11

【例题】给出泛函

求变分【解答】

【例题】给出泛函

求变分【解答】123.泛函的运算

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