山西省吕梁市育德中学2023年高一数学文期末试卷含解析

山西省吕梁市育德中学2023年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x2356销售额y20304050由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元 B．58万元 C．68万元 D．70万元参考答案：A【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案．【解答】解：==4，==35．∴35=4×7+，解得=7．∴回归方程为=7x+7．∴当x=7时，y=7×7+7=56．故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．2.已知函数，则（

）A．1

B．0

C．-1

D．4参考答案：C3.已知且，则（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A4.（3分）sin300°=（） A． ﹣ B． C． D． 参考答案：A考点： 运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答： sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选：A．点评： 本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．5.已知与的夹角为，则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.若α、β的终边关于y对称，则下列等式正确的是(

)A.sinα=sinβ

B.cosα=cosβ

C.tanα=tanβ

D.cotα=cotβ参考答案：A7.化简（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用二倍角降幂公式代入进行计算，可得出所求结果.【详解】由题意可得，故选：A.【点睛】本题考查二倍角降幂公式的应用，意在考查利用二倍角降幂公式在化简求值中的应用，考查计算能力，属于中等题.8.已知cosα=－,且tanα<0，则sin2α的值等于

（

）

A．

B．

C．－

D．－参考答案：C略9.设函数，则=（

）A.

3

B.6

C.

9

D.12参考答案：C10.（5分）已f（x）=2sin（x+），f（x）的最小正周期是（） A． 2 B． 4π C． 2π D． 4参考答案：D考点： 三角函数的周期性及其求法．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由条件根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．解答： f（x）=2sin（x+）的最小正周期为=4，故选：D．点评： 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，为平面外一点，且，则平面与平面的位置关系是

；参考答案：垂直略12.已知集合A，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A的个数为

参考答案：613.正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是________.参考答案：【分析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.14.一个长为8cm，宽为6cm，高为10cm的密封的长方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，则小球在盒子中总不能到达的空间的体积为cm3．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在长方体顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，再求出在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内小球不能到达的空间，其他空间小球均能到达，即可得到结果．【解答】解：在长方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[1﹣]=8﹣，除此之外，在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为4[1×1×6+1×1×4+1×1×8﹣]=72﹣18π．其他空间小球均能到达．故小球不能到达的空间体积为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，棱柱的体积，其中熟练掌握棱柱和不堪的几何特征，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．15.用列举法表示=

；参考答案：{1}16.（3分）设、、是单位向量，且，则与的夹角为

．参考答案：60°考点： 数量积表示两个向量的夹角．专题： 平面向量及应用．分析： 向量表示错误，请给修改，谢谢将已知等式变形，两边平方；利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式求出、两个向夹角的余弦值，求出、的夹角，再由以为邻边的平行四边形为菱形，即可求得与的夹角．解答： 设、两个向量的夹角为θ，由，、、是单位向量，两边平方可得1+2+1=1，即=﹣．即1×1×cosθ=﹣，∴θ=120°．由题意可得，以为邻边的平行四边形为菱形，故与的夹角为60°．故答案为60°．点评： 本题考查要求两个向量的夹角关键要出现这两个向量的数量积，解决向量模的问题常采用将模平方转化为向量的平方，属于中档题．17.若点在角的终边上，则______________（用表示）。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知，求的值参考答案：由

....4分

又由，所以

....4分=...6分19.（9分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．参考答案：考点： 分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．专题： 计算题；应用题；分类讨论；函数的性质及应用．分析： （1）根据y=g（t）?f（t），可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y的最大值和最小值．解答： （1）依题意，可得：，所以；（2）当0≤t≤10时，y=（30+t）（40﹣t）=﹣（t﹣5）2+1225，y的取值范围是，在t=5时，y取得最大值为1225；当10＜t≤20时，=（50﹣t）（40﹣t）=（t﹣45）2﹣25，y的取值范围是解答： （1）∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是定义域为R的奇函数，∵f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，∴，又∵a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1．∵ax单调递减，a﹣x单调递增，∴f（x）在R上单调递减．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．（2）∵f（1）=，∴，即2a2﹣3a﹣2=0．∴a=﹣（舍去）或a=2，∴a=2，∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知t=f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去综上可知m=2．点评： 本题考查了函数的奇偶性、单调性，还考查了转化化归和分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．20.如图，已知菱形ABCD的边长为2，，动点M，N满足，.（1）当时，求的值；（2）若，求的值.参考答案：（1）（2）【分析】(1)时，分别为的中点，可得，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到按照向量点积公式展开得到结果.【详解】（1）当时，分别为的中点，此时易得且的夹角为，则;（2），故.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.21.已知<<<,(1)求的值.

（2）求.参考答案：略22.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，为等腰三角形，，平面PAD⊥平面ABCD，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】