山西省吕梁市石口乡中学2021年高三数学理测试题含解析

山西省吕梁市石口乡中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（

）A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上的天数占C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好参考答案：C【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.设是函数图象上的点，则的最小值为

A．2

B．

C．4

D．4参考答案：B略3.已知命题，，那么命题为（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B略4.已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是

A.1

B.

C.

D.参考答案：D略5.的展开式的常数项是

（

）

A．－3

B．－2

C．2

D．3参考答案：D6.若，则（

）A. B. C.-1 D.3参考答案：A【分析】由，可求出的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用进行代换，分子、分母同时除以，然后把的值代入求值即可.【详解】,,把代入，求得，故本题选A.【点睛】本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来.7.已知向量，若垂直，则的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.定义在R上的奇函数满足，当时，，则集合等于A． B．C． D．参考答案：B略9.[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.7]=1，[﹣3.1]=﹣4，已知f（x）=x﹣[x]（x∈R），g（x）=lg|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是（）A．15 B．16 C．17 D．18参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】作函数f（x）=x﹣[x]（x∈R）与g（x）=log2015x的图象，从而化函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数为图象的交点的个数．【解答】解：作函数f（x）=x﹣[x]（x∈R）与g（x）=lg|x|的图象如下，lg10=1，lg|﹣10|=1由图象可知：函数f（x）与g（x）的图象在每个区间[n，n+1]（1≤n＜10）都有一个交点，故函数f（x）与g（x）的图象共有2×9=18，故选：D．10.在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A． B．3 C．2 D．参考答案：A【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度．【解答】解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨?丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．参考答案：略12.一同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和点是边上的一动点，设则请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是

.

参考答案：2略13.已知向量，若，则

．参考答案：略14.若，则等于

.参考答案：试题分析：，所以，.考点：二项式定理.15.如图中，已知点在边上，，，，，则的长为______________

参考答案：略16.给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=2，OC=2，=2，则△ABC面积的最大值为． 参考答案：【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得O到BC的距离，即可求出△ABC面积的最大值． 【解答】解：：∵OB=2，OC=2，=2， ∴cos∠BOC=，则∠BOC=60°， ∴BC=， 设O到BC的距离为h，则由等面积可得×2h=， ∴h=2×， ∴△ABC面积的最大值为×2×（）=． 故答案为：． 【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O到BC的距离是关键，是中档题． 17.等比数列中，，，则（

）A．－4

B．4

C．±4

D．－5参考答案：A三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，点E在侧棱CC1上，DE∥平面AB1C1(1)证明：E是CC1的中点；(2)设∠BAC=90°,四边形ABB1A1为边长为4正方形，四边形ACC1A1为矩形，且异面直线DE与B1C1所成的角为30°，求该三棱柱ABC-A1B1C1的体积.参考答案：(1)证明见解析；(2)32.【分析】（1）利用棱柱的性质以及相似三角形判断定理，证得，从而得到；连接分别交于，连，利用线面平行性质定理证得，从而得到；再证得，从而得到，结论得证.（2）取的中点，连接，则或其补角为异面直线与所成的角，结合题目条件，设，分别求出，再利用余弦定理，即可建立方程求出，从而求出三棱柱的体积.【详解】(1)证明：连接分别交于，连，∵平面，平面，平面平面=，∴,又∵在三棱柱侧面中，为的中点，由可得，，所以，故，，∴，在平面中同理可证得，故有是的中点.(2)取的中点，连接，可知，故或其补角为异面直线与所成的角，设，则在中，可求，则余弦定理可求：，解得：，故【点睛】本题考查了线面平行性质定理的应用，相似三角形的判断与性质应用，异面直线所成角以及三棱柱体积计算，属于中档题.19.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的数据落在（164，181]的零件为优质品．现从两个分厂生产的零件中随机各抽出10件，量其内径尺寸（单位：mm），获得内径尺寸数据的茎叶图如图所示．（Ⅰ）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（Ⅱ）从乙厂样本中任意抽取3个零件，求3个零件中恰有1个为优质品的概率；（Ⅲ）若从甲、乙两厂的样本中各抽取1个零件，ξ表示这2个零件中优质品的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，计算甲、乙两厂优质品率；（Ⅱ）根据n次独立重复实验的概率公式计算对应的概率值；（Ⅲ）由已知ξ的可能取值是0，1，2，求出对应的概率，再写出ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，甲厂数据落在（164，181]的零件个数为6，优质品率为=0.6，乙厂数据落在（164，181]的零件个数是8个，优质品率为=0.8；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅱ）从乙厂样本中任意抽取3个零件，3个零件恰有1个为优质品的概率为P==0.096；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅲ）由已知ξ的可能取值是0，1，2；且P（ξ=0）=0.4×0.2=0.08，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44，P（ξ=2）=0.6×0.8=0.48；ξ的分布列为ξ014P

0.08

0.44

0.48…（10分）数学期望为Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=1.4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了茎叶图以及n次独立重复实验的概率计算问题，也考查了分布列与数学期望的计算问题，是基础题．20.已知函数的定义域为，值域为

，求常数a、b的值．参考答案：解：∵

．∵，∴，∴．当a>0时，b≤f(x)≤3a+b，∴

解得

当a<0时，3a+b≤f(x)≤b．∴

解得

故a、b的值为

或21.（本小题满分14分）已知椭圆的左右焦点分别是，直与椭圆交于两点且当时，M是椭圆的上顶点，且△的周长为6.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A，直线与直线：分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由参考答案：（1）当时，直线的倾斜角为，所以：…………3分解得：，…………5分所以椭圆方程是：；…………6分（1） 当时，（2） 直线的方程为：，（3） 此时，（4） 点的坐标（5）分别是，（6） 又点坐标（7） 是，（8） 由图可以得到两点坐标（9） 分别是，（10） 以为直径的圆过右焦点，（11） 被轴截得的弦长为6，（12） 猜测当变化时，（13） 以为直径的圆恒过焦点，（14）被轴截得的弦长为定值6，（15） ………………8分证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…9分由方程组得到：，所以：，……………11分从而：=0，所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6.……………14分22.（本题满分15分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆上点的距离的最小值。（Ⅰ）求曲线C1的方程。（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.参考答案：(Ⅰ)解法1:设M的坐标为,由已知得,易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以.化简得曲线的方程为.……5分解法2:由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为.……5分