山西省吕梁市柳林职业中学高三数学理期末试卷含解析

山西省吕梁市柳林职业中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设实数满足约束条件则目标函数的取值范围是（）A．

B．

C.

D．参考答案：D2.已知函数，下列判断正确的是（）A.在定义域上为增函数 B.在定义域上为减函数C.在定义域上有最小值,没有最大值 D.在定义域上有最大值,没有最小值参考答案：C【分析】求出函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最小值即可．【详解】∵,∴,令,得,∴当x

时,,单调递减．当

时,,单调递增,所以,无最大值．故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．3.已知函数，若函数在区间上恰有一个零点，则k的取值范围为(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A4.已知函数，则（

）

A.2017

B.1513

C.

D.参考答案：D5.设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．既不充分也不必要条件

D．必要不充分条件

参考答案：B6.在等差数列{an}中，已知a3=2，a6+a10=20，则数列{an}的前10项和S10的值为（）A．120 B．100 C．66 D．60参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】依题意，求出a8=10，再利用等差数列前n项和公式能求出数列{an}的前10项和S10的值．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a3=2，a6+a10=20，∴依题意，有a6+a10=2a8，∴a8=10，∴．故选：D．7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：A8.设

则的值为________________________

参考答案：略9.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B10.已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是(

) A． B．﹣ C．或﹣ D．随着k的取值不同其值不同参考答案：B考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．解答： 解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），∴r==5|k|=﹣5k，∴sinθ==﹣，cosθ==，∴2sinθ+cosθ=2（﹣）+=﹣故选B．点评：本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查，解题时若没有字母系数的符合，我们就得讨论两种情况，在两种情况下，分别做出角的三角函数值，再进行运算．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N为平面区域上的一个动点，则的最大值是_______.参考答案：

略12.已知，，则__________．参考答案：313.一正三棱柱的三视图如图，该正三棱柱的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于

．参考答案：100π根据正三棱柱的三视图：得到三棱柱底面等边三角形的高为，则：底面中心到地面顶点的距离为：，故正三棱柱的外接球半径为：r=，故：S=4π?52=100π，故答案为：100π

14.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴青奥会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有

种（用数字作答）．参考答案：9015.不等式的解集为______________.参考答案：16.在数列{an}中，a1=﹣2101，且当2≤n≤100时，an+2a102﹣n=3×2n恒成立，则数列{an}的前100项和S100=

．参考答案：-4【分析】当2≤n≤100时，an+2a102﹣n=3×2n恒成立，可得：a2+2a100=3×22，a3+2a99=3×23，…，a100+2a2=3×2100，累加可得数列{an}的前100项和．【解答】解：∵当2≤n≤100时，an+2a102﹣n=3×2n恒成立，∴a2+2a100=3×22，a3+2a99=3×23，…，a100+2a2=3×2100，∴（a2+2a100）+（a3+2a99）+…+（a100+2a2）=3（a2+a3+…+a100）=3（22+23+…+2100）==3．∴a2+a3+…+a100=2101﹣4，又a1=﹣2101，∴S100=a1+a2+a3+…+a100=﹣4．故答案为：﹣4．17.两个半径都是1的球O1和球O2相切，且均与直二面角α﹣l﹣β的两个半平面都相切，另有一个半径为γ（γ＜1）的小球O与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球O1和球O2都外切，则γ的值为

． 参考答案：3﹣【考点】与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】两个单位立方体构成直二面角，建立空间坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：如图为两个单位立方体构成，图中的左侧面和底面构成题目中的直二面角， O1、O2为单位球的球心，小球O在MN上． 设OH=r，则有：OO1=OO2=r+1，才能满足外切条件． 如图，为M为原点建立空间坐标系，各点坐标为： O（r，0，r），O2（1，1，1） ∴OO22=（1+r）2，（1﹣r）2+1+（1﹣r）2=（1+r）2， 解得：r=3±， 其中r=3﹣为符合题意的解． ∴r=3﹣． 故答案为：3﹣． 【点评】本题考查小球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{bn}满足：a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）?3n+1，n∈N．（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若man≥bn﹣8恒成立，求实数m的最小值．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得an=3n﹣1，再将n换为n﹣1，两式相减可得bn=2n﹣1；（2）若man≥bn﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由cn=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．【解答】解：（I）∵数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，∴an=qn﹣1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有an=3n﹣1，∴a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=b1+3b2+32b3+…+3n﹣1bn=（n﹣1）?3n+1，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2bn﹣1=（n﹣1﹣1）?3n﹣1+1（n≥2），两式相减得：3n﹣1bn=（n﹣1）?3n﹣（n﹣2）?3n﹣1=（2n﹣1）?3n﹣1，∴bn=2n﹣1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，∴数列{bn}的通项公式是bn=2n﹣1；（2）若man≥bn﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由cn=，n≥2时，cn﹣1=，cn﹣cn﹣1=﹣=，可得n=2，3，…，6时，cn≥cn﹣1；n=7，…时，cn＜cn﹣1．即有n=5或6时，cn取得最大值，且为，即为m≥，可得m的最小值为．19.已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0时，；（Ⅲ）比较三个数：，，e的大小（e为自然对数的底数），请说明理由．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）不等式等价于，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据，令，得到；再根据（x＞0），得到，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，当a≥0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f'（x）＜0得0＜x＜﹣a，由f'（x）＞0得x＞﹣a，所以函数f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，不等式等价于，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式（x＞0）等价于：，即：（t＞1），由（Ⅰ）得：函数在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：．②因为x＞0，不等式等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，，所以令，得，即，所以；又因为（x＞0），所以，令得：，所以，从而得．所以，．20.（本小题14分）已知等比数列满足，且是，的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求使

成立的正整数的最小值.参考答案：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有即由得，解得或.当时，不合题意舍；当时，代入(2)得，所以，

.

（Ⅱ）.

所以

因为，所以，即，解得或.

因为，故使成立的正整数的最小值为10.

21.等差数列中，，公差，且它的第2项，第5项，第14项分别是等比数列的第2项，第3项，第4项。（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）设数列对任意自然数均有成立，求的值。参考答案：略22.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．（1）求证：直线DE∥平面ABC；（2）求锐二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）证法1：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；证法2：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=AA1=4，只需平面ABC的法向量与垂直即可．（2）：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=AA1=4，求出两个面的法向量即可利用向量法求解．【解答】解：（1）方法一：设AB的中点为G，连接DG，CG，则，四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又DE?ABC，GC?ABC∴DE∥平面ABC．…（6分）方法二：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=AA1=4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（