山西省吕梁市兴县高家村中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析

山西省吕梁市兴县高家村中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A． 3π B． 4π C． D． 6π参考答案：A考点： 球内接多面体．专题： 计算题．分析： 正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．解答： 由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选A．点评： 本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．2.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（

）.关于点对称

.关于直线对称.关于点对称

.关于直线对称参考答案：A3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（）A.B.C.D.参考答案：D试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.考点：圆的一般方程.4.（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B由诱导公式得故选.5.如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．6.

参考答案：

7.5分）已知扇形的面积为4，弧长为4，求这个扇形的圆心角是（） A． 4 B． 2° C． 2 D． 4°参考答案：C考点： 扇形面积公式．专题： 三角函数的求值．分析： 首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果．解答： 根据扇形的面积公式S=lr可得：4=×4r，解得r=2cm，再根据弧长公式l=rα，解得α22，扇形的圆心角的弧度数是2，故选：C点评： 本题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．8.若

=(2,3),=(4,-1+y)，且，则

（

）A、6

B、5

C、7

D、8

参考答案：C略9.函数的定义域是：A．

B． C．∪

D．∪参考答案：Ｄ10.当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时，有（其中为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由解析式分别求出装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度，再求比值即可.【详解】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，由题意，，所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为.故选：C【点睛】本题主要考查对数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.化简：+（π＜α＜）=．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】原式被开方数分子分母都等于分母，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式性质化简，即可得到结果．【解答】解：∵π＜α＜，∴sinα＜0，则原式=+=+==﹣．故答案为：﹣．12.已知一圆锥表面积为15πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为cm．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用侧面展开图是一个半圆，求得母线长与底面半径之间的关系，代入表面积公式求r．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，∵侧面展开图是一个半圆，∴πl=2πr?l=2r，∵圆锥的表面积为15π，∴πr2+πrl=3πr2=15π，∴r=，故圆锥的底面半径为（cm）．故答案为：．13.已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为

?参考答案：4【考点】函数的零点．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目．14.函数的定义域是

▲

．参考答案：15.不等式的解为

．参考答案：16.已知，0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，且sin（α+β）=，则sin2α的值为．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由0＜β＜α＜，可得0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），cos（α+β）的值，根据sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]由两角和的正弦函数公式即可求值．【解答】解：∵0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=，∴0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=×+×=．故答案为：．17.数列，，，…的一个通项an=．参考答案：【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】通过观察可以看出：分子是由奇数组成的数列，分母是由偶数组成的数列．即可得出．【解答】解：观察数列，，，…，可知：分子是由奇数组成的数列，分母是由偶数组成的数列．因此可得一个通项an=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8，最大装水量为72，池底和池壁的造价分别为元、元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？参考答案：解：设池底一边长为，水池的高为，池底、池壁造价分别为，则总造价为

由最大装水量知，

当且仅当即时，总造价最低，答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为时，总造价最低，最低造价为元。

略19.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴的交点为（0，），它的一个对称中心是M（，0），点M与最近的一条对称轴的距离是．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数取得最大值时x的取值集合；（3）当x∈（0，π）时，求此函数的单调递增区间．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的周期性、图象的对称性求出ω、φ的值，由特殊点的坐标求出A的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的最大值，求得函数取得最大值时x的取值集合．（3）利用正弦函数的调增区间，求得当x∈（0，π）时，此函数的单调递增区间．【解答】解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象的一个对称中心是M（，0），点M与最近的一条对称轴的距离是，故，求得ω=2，φ=．再根据函数的图象与y轴的交点为（0，），可得Asin（ω?0+）=，∴A=2，函数f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=2kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，故函数取得最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．（3）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈（0，π），可得函数的增区间为（0，]、[，π）．20.数列{an}满足，.（1）设，求证：{bn}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn.参考答案：解析:（1）由题意，，所以是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知,从而令,两式相减有所以

21.已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．参考答案：【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦；H5：正弦函数的单调性．【分析】将函数解析式先利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间即可求出函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）又x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的值域，即可得到f（x）的最大值与最小值．【解答】解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，