山西省吕梁市乡少白中学2023年高三数学理期末试卷含解析

山西省吕梁市乡少白中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列命题，其中正确的命题是（） A．若，且，那么一定是纯虚数 B．若、且，则 C．若，则不成立 D．若，则方程只有一个根参考答案：A略2.已知,点在内，且，设，则等于（

）A．

B．3

C．

D．参考答案：B【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．F3

∵,∴,,,∴在x轴方向上的分量为,在y轴方向上的分量为∵∴两式相比可得：．故选B.【思路点拨】先根据可得，再计算出，又根据，可得答案．3.已知函数，则使得的x的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：A4.展开式的项数为A．21 B．28 C．36

D．45参考答案：C5.设记“平面区域夹在直线与之间的部分的面积”为，则函数的图象的大致形状为

参考答案：C略6.是虚数单位，等于（）A.

B.

C.1

D.－1参考答案：D略7.集合，，若，则实数的取值范围是（

）A. B．

C.

D．参考答案：【知识点】集合的运算A1D因为，，所以，即，故选D.【思路点拨】由集合的运算直接计算即可.8.已知等差数列的公差，前项和为，等比数列的公比是正整数，前项和为，若，且是正整数，则等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B9.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A10.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则A．-2

B．-1

C．0

D．1

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3000）（元）月收入段应抽出

人。参考答案：2512.已知函数的图象经过点A(1,1)，则不等式的解集为

______.参考答案：(0，1)13.某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m3的住户的户数为

参考答案：6014.在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数有零点的概率为

参考答案：15.若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为____________.参考答案：考点：弧度制的应用.【方法点晴】本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计算方法是解决问题的关键，难度一般；等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，在中求出的长度（用表示），即，就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．16.设集合,，则等于

.参考答案：略17.若的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第

项。参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值．参考答案：（1）设的坐标分别为因为点在双曲线上，所以，即，所以在中，，，所以

……3分由双曲线的定义可知：故双曲线的方程为：

……6分（2）由条件可知：两条渐近线分别为

……8分设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则则点到两条渐近线的距离分别为，……11分

因为在双曲线：上，所以，又所以

……14分19.本小题满分13分）已知函数的最小正周期为，且图象过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数的单调递增区间.参考答案：（Ⅰ）由最小正周期为可知

，

………………2分由得

，又， 所以 ，

………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以

…………………9分解得

……………12分所以函数的单调增区间为.

略20.已知中心在原点的椭圆的离心率，一条准线方程为（1）求椭圆的标准方程；（2）若以＞0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。参考答案：解：（1）由已知设椭圆的标准方程为，＞＞0）由题设得解得，所以椭圆的标准方程为（2）由题意设直线的方程为（＞0）由消去得①设则，＝线段的中点坐标满足从而线段的垂直平分线的方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为、由题设可得整理得（＞0）②由题意在①中有＞0整理得＞0将②代入得＞0（＞0），即＞0，＜0，即＜0∴＜＜4所以的取值范围是。略21.已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若当x∈[0，1]时，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式，进一步分类求解含参数的不等式得答案；（2）把不等式f（x）≥1恒成立转化为|ax﹣2|≤3，记g（x）=|ax﹣2|，可得，求解不等式组得答案．【解答】解：（1）要使原函数有意义，则|ax﹣2|≤4，即﹣4≤ax﹣2≤4，得﹣2≤ax≤6，当a＞0时，解得，函数f（x）的定义域为；当a＜0时，解得，函数f