湖州师范学院2015高等数学考试出题参考

高等数学A（下）总复习第十二章无穷级数一、知识结构图常数项级数函数项级数正项级数任意项级数幂级数二、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限(比较审敛法)设。若级数则级数若级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数，且

(比较审敛法的极限形式)是两个正项级数，且

两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

(1)当0<l<∞

时,则

常用比较级数等比级数：调和级数：P-级数：发散。3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz审敛法:若且则交错级数收敛。概念:若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛P328题6.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)p>1

时,绝对收敛;0<p≤1

时,条件收敛;p≤0

时,发散.(2)故原级数绝对收敛.但单调递减,且由于所以原级数仅条件收敛

.由Leibniz审敛法知级数收敛;由比较审敛法知级数发散;因所以原级数绝对收敛.三、求幂级数收敛域的方法•

标准形式幂级数:再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.注意收敛区间和收敛域的区别先求收敛半径R:例：求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散.所以收敛半径当时,级数成为当时,级数成为从而所求收敛域为例：求下列幂级数的收敛域:解令原级数化为因为所以收敛半径收敛区间为即该级数发散;当时,级数成为当该级数收敛.从而所求收敛时,级数成为域为第八章向量代数

与空间解析几何一、知识结构图向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作

或

模向量

的模记作

方向余弦设

与

轴的夹角分别为

，则方向余弦分别为

点乘（数量积）

，

为向量a与b的夹角叉乘（向量积）

向量

c与a，b都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦

投影向量

在非零向量

上的投影几何表达在直角坐标系下的表示平面直线法向量

点

方向向量

点

方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征点法式点向式截距式参数式面面垂直线线垂直面面平行线线平行面面夹角线线夹角

空间曲线

：切向量切“线”方程：

法平“面”方程：空间曲面法向量切平“面”方程：法“线“方程：或切平“面”方程：法“线“方程：旋转曲面绕谁谁不变缺啥就补啥例1.

设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量所求为二、例题例2.

求旋转抛物面上点（3，-1，0）处的切平面方程。解:令则点（3，-1，0）则点（3，-1，0）处的切平面为即处的法向量为例3.

证明：曲面上任意点。

证明：将曲面改写为则，曲面上任意点的切平面为

或，于是四面体的体积的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积是常数第九章多元函数微分法及其应用多元函数的基本概念多元函数的偏导数、微分与方向导数多元函数微分法多元函数微分学的几何应用多元函数的极值和最值一.多元函数的基本概念1.多元函数的定义、极限、连续

定义域及对应规律

判断极限不存在及求极限的方法

函数的连续性及其性质注1：多元函数的极限与一元函数极限的差异为：一元函数在某点的极限存在的充要条件是左右极限存在且相等；而多元函数必须是点P在定义域内以任何方式和途径趋近于P0时；f(P)都有极限，且相等。注2：函数解:原式例1.求二.多元函数的偏导数、微分与方向导数1.多元函数的偏导函数

求fx

(x,y)时,只须将y

看作常数,用一元函数求导公式求即可.求fy

(x,y)时,只须将x

看作常数,用一元函数求导公式求即可.2.求一点处偏导数的方法先代后求:先求后代:利用定义:例如：分段函数分段点例如：初等函数定义区域的内点例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂（了解即可）例.

求解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求（了解）3.

求高阶偏导数的方法逐次求导法注:混合偏导数在连续的条件下相等.例.

求函数解

:的二阶偏导数例.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:4.微分5.方向导数与梯度•

三元函数在点方向导数为:•

二元函数在点梯度为:方向导数为:梯度为:•

关系:沿方向l(方向角沿方向l(方向角为这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:

向量

l

的方向余弦为6.重要关系:偏导存在函数可微偏导数连续函数连续方向导数存在偏导数存在•可微三.多元函数微分法1.多元复合函数的求导法则2.隐函数微分法自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定注:一定要分清楚谁是自变量1.多元复合函数的求导法则(1).根据函数结构的示意图分析复合结构,确定自变量、中间变量及其关系(2).正确使用链式法则,写出求导公式“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”(3).注意正确使用求导符号

例.设解:例.设

为可导函数，验证解:隐函数求导方法：方法1.利用复合函数求导法则方程两边直接关于自变量求导,要把因变量看成自变量的函数方法2.利用隐函数定理的求导公式3.隐函数微分法注：两种求导方法中方程所确立的隐函数中因变量的地位是不一样的例.设解法1利用隐函数求导再对x

求导解法2

利用公式设则两边对x求偏导例.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求由题设故有1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.例如对二元函数五.多元函数的极值和最值2.最值应用问题

最值可疑点:

驻点和边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)第二步根据问题的实际意义确定最值:唯一的驻点一定是最值点第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)实际问题的最值:3.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法转化为无条件极值问题.(2)一般问题用拉格朗日乘数法求一元函数的无条件极值问题求法：引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法.例如,例.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为一定要合理转换目标函数:

非负可平方、可取倒数等要注意解方程组的技巧：一般先得出自变量的关系再代入约束条件使用拉格朗日乘数法特别要注意：第十章重积分

二重积分的计算三重积分的计算重积分的运用一.二重积分的计算1.二重积分的性质则2).若在D上例.设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有例.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上2.二重积分的计算(1)利用二重积分的基本性质（几何意义、对积分区域可加性、对称性质、坐标轮换性质）对称性质:当区域关于y轴对称,函数关于x有奇偶性时,仍有类似结果.(2)利用直角坐标计算二重积分若D为

X–型区域

则若D为Y–型区域则(3)利用极坐标计算二重积分注：若积分区域为圆域、扇形域、环形域、或由极坐标曲线围成的区域，可考虑选择极坐标;例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X-型区域,则解法2.

将D看作Y-型区域,

则例2.计算其中解:

在极坐标系下原式故二.三重积分的计算1、投影法(“先单后重”“先一后二”)2、截面法(“先重后单”“先二后一”)3、柱坐标代换4、利用三重积分的对称性关键：正确的判断上、下曲面;找对投影区域.1、投影法

(“先单后重”“先一后二”)方法一:根据图形:方法二:根据方程:②投影区域可由含z的某曲面与其它曲面交线的投影曲线所围。即：可选定一个含z的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一个含z的方程）相交。①利用平行于z轴的直线穿曲面，穿出和穿入点就对应上、下曲面，注：中间所夹立体的边界应为柱面。②投影点的全体即为投影区域。①已给边界曲面方程中含z的若只有两个，则其必分别为上、下曲面,其它不含z的方程必对应柱面。例.计算积分其中由曲面法一:

积分域为原式及平面所围.例.计算积分其中由曲面法二:原式及平面所围.找上下半曲面：找投影区域：其中

为三个坐标例.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面①柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算3、柱坐标代换②柱面坐标适用范围：例.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=4、

利用三重积分的对称性（了解即可）当区域关于yoz轴对称,函数关于x有奇偶性时,当区域关于xoz轴对称,函数关于y有奇偶性时,仍有类似结果.重积分计算的基本方法1.画出积分区域2.选择坐标系标准：区域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3.确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4.确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5.计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性——

累次积分法小结：曲线积分曲面积分：1.第一类曲线积分2.第二类曲线积分3.第一类曲面积分（曲面薄板质量）（曲线构件质量）（变力作功）第十一章曲线积分与曲面积分1.第一类曲线积分的计算•对光滑曲线弧利用参数方程化为定积分•对光滑曲线弧注：因此积分限必须满足例.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)•对有向光滑弧•

对有向光滑弧2．第二类曲线积分的计算(1)利用参数方程化为定积分例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式(2)格林公式