LTI系统的时域频率复频域分析

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LTI系统的复频域分析本章主要内容：

LTI系统的差分/微分方程描述和框图描述

LTI系统的频域分析线性时不变系统的时域、频域

与复频域分析2一、LTI系统的描述用描述系统；用线性常系数微分或差分方程（LCCDE）描述；用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）；用系统频率响应或系统函数31.用单位冲激响应和单位脉冲响应表示LTI系统42.用微分和差分方程描述的因果LTI系统一个LTI系统的数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。对于因果系统，当输入为0时，输出也为0。也就是说对于因果LTI系统，其输出的初始状态为零，此时的输出常称为系统的零状态响应。系统分析时，往往不是通过微分/差分方程的时域求解，而是通过频域或复频域分析来求解方程。但是对离散LTI系统，其差分方程的时域递归解法在数字滤波器的设计中有非常重要的应用。5（2）线性常系数差分方程(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation，LCCDE)

一般的线性常系数差分方程可表示为：

（1）线性常系数微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation）均为常数6（1）离散时间系统基本单元:A.加法器

B.放大器(乘以系数)

C.单位延时器一阶差分方程:

相加延时相乘a3.

LTI系统的方框图表示D7(2)连续时间系统一阶微分方程:微分

相加相乘基本单元:A.加法器

B.放大器

C.积分器a8例：写出右图所示系统的差分方程由加法器可写出等式：例：画出由微分方程所描述的LTI系统的框图将方程写为：依上式可画出系统框图如右图当系统框图中有多个积分器或延时器时，就可以描述高阶系统，其对应的方程为高阶微分方程或差分方程。9例：某连续LTI系统的系统框图如下，求系统的微分方程解由图可知第一个和第二个积分器的输入分别为，根据加法器的输入输出关系有

所以系统的微分方程为:+3-210二.LTI系统的频域分析1.LTI系统的频域分析和频率响应

根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,其过程为:1.由2.根据系统的描述，求出3.4.11从信号分解观点分析对于任意x(t),可以分解为无穷多特征函数的线性组合，每一个特征函数对应的系数为频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。12

由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。

鉴于与是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。仅当LTI系统是稳定系统时，即：其频率响应存在13---幅频特性（幅频响应）---相频特性（相频响应）系统的输出响应y(t)令：14对LCCDE两边进行傅立叶变换：由于故有2.

由LCCDE描述的LTI系统的频域分析可见由LCCDE描述的LTI

系统其频率特性是一个有理函数。由此可以看出，对由

LCCDE描述的LTI系统，当需要求得其时(比如时域分析时)，往往是由做反变换得到。对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行。15例：描述已线性LTI系统的微分方程为：求系统的频率响应，并求

时系统的响应解：系统方程两边作FTx(t)为单边指数函数，其FT为系统的频率响应函数由傅里叶逆变换求y(t)16例：

可见，对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。17例：某连续LTI系统的系统框图如下，求系统的单位冲激响应

解由傅立叶变换的微分特性首先写出图中各处信号的傅立叶变换，根据加法器的输入输出关系有

所以系统的单位冲激响应为:+-3-23.

由方框图描述的LTI系统的频率特性18例：求下图系统的频率响应解设第2个积分器的输出为w(t),相应的傅立叶变换为

由两个加法器可以写出如下关系式：19互联系统的*级联:

*并联:H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)20*反馈联结:21一个信号所携带的全部信息分别包含在其频谱的模和相位中。LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面:1.改变输入信号各频率分量的幅度；

2.改变输入信号各频率分量的相位。在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的技术指标要求。因此，导致信号失真的原因有两种：幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。4.无失真传输22(1)线性与非线性相位当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，只引起信号在时间上的平移。如连续时间LTI系统：则此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号波形的改变，即发生失真。

如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率分量受相位特性影响所产生的时移不同，叠加起来一定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形。23(2)信号的不失真传输条件

如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视为在传输中未发生失真：这就要求系统的频率特性为如果一个系统的幅频特性是一个常数，称这种系统为全通系统。24——时域表征

据此可得出信号传输的不失真条件：

0

通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。——频域表征

0255.理想频率选择性滤波器1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）滤波：通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。滤波器可分为两大类：理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。26连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通高通带阻带通滤波器的通带(passband):

允许信号完全通过的频段;阻带(stopband):完全不允许信号通过的频段。271理想低通的频率响应例.

中心频率可变的带通滤波器：各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。281等效带通滤波器

相当于从中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为的带通滤波器，改变即可实现中心频率可变。29理想滤波器的时域特性以理想低通滤波器为例连续时间理想低通滤波器1由傅里叶变换可得:301.系统函数的概念：以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉氏变换分析方法，即其中是的拉氏变换，称为系统函数或转移函数、传递函数。三、用拉氏变换分析与表征LTI系统

---LTI系统的复频域分析这就是LTI系统的傅里叶分析。即是系统的频率响应。如果、、

的ROC包括轴，以代入，即有31如果时，则系统是反因果的。因果系统的是右边信号，的ROC必是最右边极点的右边反因果系统的是左边信号，的ROC必是最左边极点的左边应该强调指出，由ROC的特征，反过来并不能判定系统是否因果。ROC是最右边极点的右边并不一定系统因果。只有当是有理函数时，逆命题才成立（见下面例2）2.用系统函数表征LTI系统：(1)因果性：如果时，则系统是因果的。连同相应的ROC也能完全描述一个LTI系统。系统的许多重要特性在及其ROC中一定有具体的体现。32(2)稳定性：如果系统稳定，则有。因此必存在。意味着

的ROC必然包括轴。综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的，其全部极点必须位于S平面的左半边。例1.某系统的,显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。显然，ROC是最右边极点的右边。ROC包括轴系统也是稳定的。的全部极点都在S平面的左半边。33例2.若有的ROC是最右边极点的右边，但是非有理函数.而，故系统是非因果的。由于ROC包括轴，该系统仍是稳定的。而对系统仍是非有理函数，ROC是最右边极点的右边，但由于，系统是因果的。34结论：LTI系统的系统函数是有理函数，若其全部极点位于S平面的左半平面，则系统是因果、稳定的。2.若LTI系统为因果系统，则系统函数的ROC是最右边极点的右边。若系统反因果，则系统函数的ROC是最左边极点的左边。

3.如果LTI系统是稳定的，则系统函数的ROC必然包括轴。353.由LCCDE描述的LTI系统的复频域分析对是一个有理函数进行拉氏变换有：36例3：已知系统函数为，求系统的零、极点，并判断系统的稳定性解：零点：极点：系统的极点都在s平面的左半平面，系统是稳定的。xxσjω-3-2-101-137例4：给定因果LTI系统的微分方程为