2020学年上海市宝山区高二下学期期末统考数学试题

—————教育源享步入识洋——————上海市宝山区高二下学期期末统考数学试题一、单选题1

的边

上有一点D满DCAD可表示为()．ADC．

ABAB5

BD．AD

ABAB【答案】D【解析】由【详解】由题意可知

AD

，结合题中条件即可得解.ADABBD

4BCABAB5

.故选【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.2l示直线，是平内的任意一条直线，则l是l”成立的（）条件充要C.必要不充分

B.分不必要既不充分也不必要【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可。【详解】因为m是平的任意一条直线，有任意性，lm由线面垂直的判断定理，l

，所以充分性成立；反过来，l

m平的任意一条直线，lm金戈铁骑

，所以必要性成

231515—————————教资共步入识洋—————立，231515故lm是l”成立的充要条件。故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握情况。3已知单位向,的夹角，则为（）等腰三角形

B.等边三角形C.直角三角形等腰直角三角形【答案】C【解析】OCOAOB,OCOAOB，OA2,AC

OA

OB

夹角60，且，角形，故选

ABAC

为直角三4在等比数列中，若A.

，3B.

，则

17

C.

2【答案】A【解析】设等比数列的公比为，则q32

，1aq341二、填空题

.故选5已知

i

3z

i虚数单位

的共轭复数为________金戈铁骑

2—————————教资共步入识洋————【答案】22【解析】根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解。【详解】i

3z

，

2ii3i

，共轭复数为故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题。6已知定点A

和曲线x2

上的动点，线段的中点P轨迹方程为________【答案(x2y22【解析】通过中点坐标公式，把点P

的坐标转移到

上，把点

的坐标代入曲线方程，整理可得点的轨迹方程。【详解】设点P的坐标(4x0y2

，点B(,b)

，因为点是段的中点，所以2x解得，把点Bb

的坐标代入曲线方程可得

x4)

2

y

2

，整理(x2y2，所以点P轨迹方程(故答案为：

(x2)

y

【点睛】本题考查中点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题。金戈铁骑

2——————教育资共步入识洋————27如果球的体积为

，那么该球的表面积为________【答案】4【解析据球的体积公式V3

r

出球的半径r

后由表面积公式：S

r

即可求解。【详解】9V3r又因为

，

r

，所以故答案为：

【点睛】本题考查球的体积、表面积公式，属于基础题。8已知点B(

，则△

的面积是________【答案【解析】首先求出直线方程：4xy

，线段的长度；然后由点到直线的距离公式求出点到直线BC可求解。【详解】

的距离，根据三角形的面积公式即因为(

C(1,由两点间的距离公式可得BC8268，又k

所以BC直线方程为yx

，整理可得4xy

，由点到直线的距离公式

2

，金戈铁骑

——————教育资共步入识洋————所以△

的面积S

1BC6822故答案为【点睛】本题考查平面解析几何中的两点间的距离公式、点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础计算题。9已知2i方程

()

的一个根，则【答案】14【解析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可求出。【详解】2i关于方程2

()

的一个根，

也是关于方程2

(q)

的一个根，i

，(i

，解得

，q10

，14故答案为：14【点睛】本题考查一元二次方程的虚根成对原理、韦达定理，属于基础题。10已知抛物线5【答案】2

xpy上的点

2)

，则到准线的距离为________【解析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p，然后求解准线方程，即可推出结果。【详解】金戈铁骑

77n7771—————————教资源享步知海——————77n7771由抛物线2上的点

A(2,2)

可得

，所以抛物线方程：

y

，准线方程为x，则A到准线的距离为

52故答案为：

52【点睛】本题考查抛物线方程，需熟记抛物线准线方程的求法，属于基础题。11在等比数{}n

中，已知a23

，且

4

与2a7

5的等差中项为，则45【答案】31【解析aa23所以可以求出

2与4

5的等差中项为a，4

，16，即可求出S1

【详解】依题意，数{}等比数列，a，即2q5q23

，所以a，4又a与4

5的等差中项为，所以24

，即a4

，所以

3

784

，所以q

a，所以a4，q35

116)2112

5

31故答案为：31【点睛】本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。金戈铁骑

cdy0cdy012向量经过矩阵变换后的向量是________3【答案】【解析】根据

即可求解。【详解】根据矩阵对向量的变换可得故答案为：

【点睛】本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，关键掌握住变换的运算法则。13若双曲线

x29

(0)

的一个焦点(0,13)，则该双曲线的渐近线方程是______2【答案】x3【解析】利用双曲线的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程。【详解】双曲线

x29

(a0)一个焦点(0,13)得

a2得a所以双曲线

yx渐近线方程是

2y32故答案为：3【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，属于基础题。金戈铁骑

————————教资共步入识洋————14知直l

经过点

(

点

l

的距离等于直l

的方程为____【答案】xy【解析当直l斜率不存在时，直l方程为x

，不成立；当直线l

的斜率存在时，直线l

的方程为

kxk，A(

l

的距离等于5，解得或【详解】

，由此能求出直l的方程。直l过点

(

，当直l

的斜率不存在时，直l

的方程为x

，点(

l

的距离等于d

，不成立；当直l斜率存在时，直l的方程为xkxk，

，即点A

l

的距离等于，

kk

kk

，解得k

或，直l方程为

yx2)

或y(x2)

，即xy或xy故答案为：2xy【点睛】本题考查点斜式求直线方程以及点到直线的距离公式，在求解时注意讨论斜率存在不存在，属于常规题型。15已知数列{2________．

n·a的前n项和S＝9，则数列{a的通项公式是nnn金戈铁骑

,———————教育资共步入识洋——————3,,【答案】n{32【解析】当n＝12

0·a＝S＝3∴a＝3.11当n≥2时，2n－1·a－S＝－6.nnn∴a＝－n

.3,∴数列n的通项公式为n{

.16若向量m，

)

mx

，v且x

x，

v

的夹角等于________【答案】

【解析】由平面向量数量积的运算的：x3x

，与

的夹角等于

【详解】由，

,)

，所以

m，所以

x

x

，与v的夹角等于故答案为：2

2

，【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、向量的夹角公式、向量模的求法，属于基础题。金戈铁骑

1BCDE——————————教资共步入识洋——————三、解答题1BCDE17在长方ABCD中DA1的中点.

DC，

是AB（1求四棱锥ABCDE的体积；（2求异面直线AEC成角的大小（结果用反三角形函数值表示）11【答案

BCDE

【解析

BCDE

ABCD

,由此能求出四棱锥

ABCDE的体积。（2以为原点，DA为x轴，为轴，DD为1

轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AEB成角的大小。11【详解】（1在长方体CD中DA61中点.

DC2

3是AB的

BCDE

ABCD

ADE

366，2四棱锥

的体积

V

ABCDE

1362AA332金戈铁骑

————————教资共步入识洋—————（2以为原点，DA为x轴，则

为y

轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，1A(6,0,1

，E(6,1,0)，(6,2,3)1

，

(0,2,0)，E3)1

，3)1

，设异面直线

AE与BC成角为，11cos

C

1，92

arccos

异面直线AE与B成角11

【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，解题的关键是熟记棱锥体积公式，同时也考查了用空间直角坐标系求立体几何中异面直线所成的角，此题需要一定的计算能力，属于中档题。18已知平行四边形中45

，F是BC边上的点，且

BF

，若AF与BD交于点，建立如图所示的直角坐标.（1求点的坐标；金戈铁骑

—————————教资共步入识洋——————（2求

AF

.【答案

82F(,)3

.【解析据题意写出各点坐标，利用

BFFC

求得点F的坐标。（2根据

BD

求得点的坐标，再计算AF、，求出数量积。【详解】建立如图所示的坐标系，O，B

，(1,1)(1,1)由

BF

，所以

2BF3

，设(x,)

，则BF),所以所以

2()382(,)33

，解得x

，y（2根据题意可知

EDO

，所以

BE

2BD,)5

,823所以)，从而,),)33362AF15

。【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。19如图，在半轴上的点有一只电子狗，B

点有一个机器人，它们运金戈铁骑

—————————教资源享步知海———————动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若ABBO

.（1求失败点组成的区域；（2电子狗选择正半轴上的某一点P应在何处？

，若电子狗在线段上获胜，问点【答案(0,2)轴正半轴上.

为圆心2为半径的圆上和圆内所有点

应在【解析败点(xy)

，则A(0,6)

，

，不妨设机器人速度为V

，则电子狗速度为2，由题意得

，代入坐标计算求解即可。VV（2设P,0)

(

由题意有

PBPA，代入坐标计算求解即可。V2【详解】（1设失败点为My

，则(0,6)

，

(0,3)

，不妨设机器人速度V，则电子狗速度为2V

VV

2

2

为M的轨迹为(0,2)圆心，2半径的圆上和圆内所有点。故失败点组成的区域为：(0,2)

为圆心，2半径的圆上和圆内所有点。（2设P,0)

(

由题意有

PBPA，V2则

22

22

，即

，所以P

应在x轴正半轴上点。金戈铁骑

————————教育资共步入识洋——————【点睛】本题考查方程组法求点的轨迹方程，解决此题关键是理解题意，列出不等关系。20已知椭圆

xy（aa2b2

）的左右焦点为

FF，右顶点为，上顶点为

，

.（1求直线的方向方量；（2Q是椭圆上的任意一点，的最大值；12（3过F作的平行线交椭圆

、D两点，|

，求椭圆的方.【答案(2,1)(

224

.【解析据题意可得

ac

2

2

b

，

kAB

2b

，即直线的方向方量可以((2,。（2在中，设,n112cosFQF1

)2()c2b2，即可求解。222（3设椭圆方程为

2y2，直的方程为x，用韦达bb定理、弦长公式计算。【详解】金戈铁骑

，41—————————教育源享步知海—————，41（1

c2

，右顶点A(2,0)，上顶点B(0,b

，则

k

b

，

直线AB的方向方量(2,1)(。（2在中，设,n112则

FQF12

m2c)2m)2c2b2mn2mn

b2m)

b22当且仅当m时，Q为上（或下）顶点时FQF的最大值，最大值为12

.（3设椭圆方程为

2y2，bbAB，直的方程为x2x2由b

可得422by2

x212

b2y，1

yk22

解得b

，金戈铁骑

n23123————————教资共步入识洋———————n23123椭圆方程为

24【点睛】本题考查的知识点比较多，椭圆方程、方向向量、余弦定理、基本不等式、弦长公式等，综合性比较强，需熟记公式；同时本题也需有一定的计算能21已知数列{}n

的和S

，通项公式

，数列{b}n

的通项公式为bnn（1n

n

，求数{}项和n

T

及

limT

的值；（2en

(5)(7)n

，数列{}n

的和为，E的值，13根据计算结果猜测关n的达式，并用数学归纳法加以证明；（3对任意正整，

1(S)成立，求2

t

的取值范围.【答案

[1)n]3

，

T

32

E，，E，n

n

；证明见解析（

2t(

.【解析据等比数列的求和公式和极限的定义即可求解。（2求e

1(2nn

，可求E，E，E的值，猜想的表达式，123再根据数学归纳法的证题步骤进行证明。（3问题转化t

2(3n

，对于任意正整成立，设f(

2(6)

，利用导数求出