2020-2021海淀区高三上期末数学试题及答案

2021京海淀高三（上）期末数

学2020.01本试卷共8页，150分考试时常120分。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共分）一、选择题共小，每小题4，共分。在每小题列出的四个项中，选出符合题目要求的一项。（1）抛物线y的线方程是（A）

12

（B

11（C）y（Dy42（2）在复平面内，复数

i1

对应的点位于（A）第一象限

（B第二象限（）第三象限（D第象限（3）在的展开式中，x

的系数为（A）

（B

（）

（）

（4）已知直线

lxay

，点A

B2,2若

lAB

，则实数a的为（A）1

（B

（）

（）（5）某三棱锥的三视图如图所示，该棱锥的体积为（A）

（B4

（）

（）（6）已知向量a，

满足

a

，b

a

，则

（A）

（B

（）

（）（7）已知，是个不同的平面“

一充分条件是（A）内无数直线平行于

（B存在平面，

，

第1共18页

O12122（C）存在平面，O12122

m，

且∥n（）存在直线l，l，

l（8）已知函数fx)（A）

f()2(x是偶函数

4

)

则（B函数

fx)

的最小正周期为2π（C）曲线

yf()

关于

π

对称（）

ff（9）数列

的通项公式为

ann

2

n

，

∈N前项为

，给出下列三个结论：①存在正整数

,(m)

，使得

；②存在正整数

,(m)

，使得a2aa；③记，aa

a)

则数列

，中所有正确结论的序号是（A）

（B③（）③（）②（）如图所示，在圆锥放入连个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线切），切点2圆（图中粗线所示）分别⊙.两个球都与平面相切，切点分别为F，F，丹德林G·Dandelin）利用这个型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，F，F为此椭圆的两个焦点，这两个球也称双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角

，的半径分别为1,4，点M为上的一个定点，点P

为椭圆上的一个动点，则从点

沿圆锥表面到达的路长与线PF的之和的最小值是（A）

（B

（C33

（）43第2共18页

PalPNMAN90t第二部分（非选择题共分PalPNMAN90t（）在互网时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变.某高一、高二和高三学生人如图所示采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施况，在抽取样本中，高一学生有16人则该样本中的高三学生人数为

（）设等比数列

{a}n

的前n项为.、、成差列，则数列n13

{a}n

的公比为

（）已知双曲线

22

的左右焦点分别为

F,，点(1

，则双曲线的渐近线方程为；MFMF1

;（）已知函数

(x)

是定义域

的奇函数，且x0

时，

f(x)

，则a

，

(x)

的值域是；（）已知圆

Px5)

2

y

2

，线l:，M(5,2，点A(,

给出下列4个结论：①当，线与相；②若直线l圆一条对称轴，则

；③若直线l上存点A，圆上在点N，使得

MAN90

，则的大值为；④为圆

P

上的一动点，若

，则的最大值为.其中所有正确结论的序号是

.第3共18页

三、解答题共6小，共。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（）（本小题共15分）在三棱柱

AC中，侧面为矩形，AC平CC111111

D分别是棱，BB11的中点（Ⅰ）求证：

AE∥平面CD11（Ⅱ）求证:

平面ABC1(Ⅲ)若

ACBC1

求直线AB

与

面BCD11

所成角的正弦值（）（本小题共14分）若存在ABC同时足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个件并解答下列问题：（Ⅰ）求

的大小；（Ⅱ）求cos和a的值条件①：sin；条件②：

c

；条件③：

b

；条件④：

cosA

第4共18页

第5共18页

2222（）（本小题共14分）2222某公司在2013~2021年产经营某种产品的相数据如下表所示：年份

2016

年生产台数（单位：万台）年返修台数（单位：台）

年利润（单位：百万元）

c注：

=

（Ⅰ）从2013~2020年随机抽取一年，求该生产的产品的平均利润不小于元/的概率；（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优现从中随机选出3年，记表示这3年生产部门获得考核优秀的次.

求的分布列和数学期望；（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，的年生产台数的方差分别为

ss2,s213

若s3

max{2,1

}，其中max{s12

}示ss1

，这两个数中最大的请写出a的最大值和最小值.（只需写出结论）（注：

s

2

x)1

2

x)2

2

n

2

]

，其中x

为数据

x,,2

的平均数）（）（本小题共14分）x已知椭圆:离心率为，且经过点C2a22（Ⅰ）求椭圆W的程及其长轴长；（Ⅱ），B分别为椭圆W的、右顶，点在圆上且位于x轴方，直线CD交x轴点Q，△

的面积比

BDQ

的面积大3，求点D的坐第6共18页

第7共18页

（）（本小题共14分）已知函数

f)

lnx

（Ⅰ）求函数

f(x

的单调区间；（Ⅱ）设

g(x)f()

，求证：

g(x)

；（Ⅲ）设((

2axa

若存在使h(x)求a的大值.0（）（本小题共14分）设A是由

n(n

个实数组成的行列数表，足：每个数的绝对值1，所有数的和是非负数，则称数表A是阶负数表”（Ⅰ）判断如下数表A，A是是阶负数表；1（Ⅱ）对于任意

阶非负数表A，记

)

为A的行数之明：存在,k

R(i)j)

；（Ⅲ）当k*)

时，证明：对与任意阶非负表A，存在

k

行

k

列，使得这

k

行

k

列交叉处的k个数之和不小于k.第8共18页

2021京海淀高三（上）期末数学参考答案一、选择题共小，每小题分共分题号答案

（1（）（3（）（）（）（）（8）（）（）BADADCA二、填空题共5小，每小题分，共25分题号

（11

（12

（）（14（）答案

-

y0

1

①②④

（三、解答题共6小，共。（）（本小题共15分）解：（Ⅰ）在三棱柱

C1

中，

BB

，且

BB1

因为点

D

，

E

分别是棱

1

，

1

的中点，所以

BE，且B1

所以四边形AEBD平行四边.1所以

//DB1

又因为

平面BC11

，

平面BCD111

，所以

//平BCD1

（Ⅱ）因为

平B1

，

CC平面CC11

，所以

CC1

，因为侧面

BCCB

为矩形，所以

，又因为

BC

，

AC平ABC

，

BC平面ABC

，所以

CC平面A1

第9共18页

（Ⅲ）分别以

，

，

CC

所在的直线为

轴，

轴，

轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz

，由题意得A(2,0,0)

，(0,2,0)

，

1

，

C(0,0,2)1

，D

所以

，

C1

，

CD1

设平面

D11

的法向量为nxy)

，则B11

即

2y2x0.令，则y，z2.于是n所以

cos

|

2

.所以直线AB与平面D所角的正弦值为11（）（本小题分）选择①②③

解：（Ⅰ）因为

cC

，由正弦定理可得：因为b，所以

sin

Cc2

0所以2所以（Ⅱ）在ABC中，

c

，所以ac.所以

0

2

第10页共18页

因为

C

3

，所以

Csin

1314

所以

cosB

)))A

3127所以

B1cos2B

由正弦定理可得因为b所以a.选择①②④

33，即b解：（Ⅰ）因为

c,sinC,14由正弦定理得

A

C.2在

ABC,

bcos

52所以所以

0

2

（Ⅱ）在

ABC,

a

73

所以ac所以

第11页共18页

2222因为

C

3

，所以

Csin

1314所以

cosB

)))A

32所以

Bcos2B

因为

bcos

52所以

5b12

3由正弦定理得

a

753

14（）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由图表知2013~2020中，产品的平均利润小于元/台的年份只有2015，2016年所以从2013~2020年随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于6元/台的概率为

（Ⅱ）由图表知2013~2020年，返修率超过千分之一的年份只有，年所以的有可能取值为1,2,3（）

CC2C3

328

（）=

C2C15C052C283（）8

所以的分布列为第12页共18页

W，22W，其中WBDQ333W，22W，其中WBDQ333BDQ（Ⅲ）的大值为13最小值为7（）（本小题共14分）解：（）因为椭圆经过点

所以

43ab因为椭圆的心率为，所以

3bc2所以

所以椭圆的程为

2

，长轴长

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意可知由（Ⅰ可知A

D3

Qξ

所以的面积

为×6×3，的面积为×2

3显然的积比的面积为大方法一

2

.第13页共18页

yDcDDACQ2AOC1当直线yDcDDACQ2AOC1

CD

的斜率存在时，由题意可设直线

CD

的方程为

y(x

，且

k令，

x

k

，所以

Q(2k由

3x2)2y2

，得

(

33y2)yk2k2k

依题意可得点

的纵坐标

3kk3yk2k

因为点

在

轴下方，所以，即D

所以的积为

33(24)3),2

的面积为

11313BQy2k

D3k3(21k

)343k2k(21k2

)因为的面积比的面积大，所以

123(6)(22k1

)3此方程无解综上所述，点的标为

(2,

方法二因为点在x轴方，所以Q在段AB（不包括端点）上由（Ⅰ可知

4,0),B(4,0)

所以的面积为

3

，第14页共18页

BCDmn22与BCDmn22与

（不包括端点）上，且的积等于时面所以的积等于的积.所以

OD/BC

设

D(,n)

，则

03

因为点

在椭圆

上，所以.4所以

n所以点D的坐标为

3)（）（本小题共14分）解：（）因为

f(x)

lnx

，所以

fx)

lnx

令

f'(x)0

，得f(x)f'(x)xf'(x)f(x)

在区间上情况如下：)+

e极大

（-所以

f(x

的单调递增区间为

)

，单调递减区间为

,

（Ⅱ）因为

f()

lnxx，所以()

所以

)

ln1lnxx22

2

①当

x

时，

1

lnx，所以'(x)

；第15页共18页

②当x

时，

1

0,ln0

，所以x)

所以g(x)

，所以(x)

（Ⅲ）因为

f(x)

lnxlnx，所以h)2a

①当

时，

haa2aa)0

，即存在1使得(1)

；②当

lnxln时，由（Ⅱ）可知，即

所以x)xa

2(2a)2a

2

2

a1)(6a所以对任意

x

，(x)

，即不存在

使得

h()0

综上所述，a的大值为（）（本小题14分

12

解：记(ij)为表A中i行j列数，(i,j)为表A中有数的和，(ij)为表ijijA中行列叉处各数之和．（Ⅰ）A是4阶负数表；A不“4非负数．2（Ⅱ）由题意知a(ij)，j1,2,3,4,5且表A是“5阶负数表，所以(s)(为奇数，且(1)(2)(3)(5)．不妨设R(3)(4)．①当(3)时因为(3)奇数，所以R所以(1)+(2)+R．②当(3)时因为(3)奇数，所以第16页共18页

所以(2)+(4)(5)有因为R，(2)均奇，所以(1)+R(3)．（Ⅲ）证明数表A存在