2020-2021年上海市徐汇区高三数学二模试卷

学习是一件很有意思的事2020年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学

2021.4一填题本题有12题，分54分，第1-6题题4分第7-12题每）考应答纸相位直填结．1．集合

{|

0}

，{|x，则A

B

=．2．已知函数f

x

，则方程

f

的解

=．3．等比数列

nN*），若

，a，则a

.4．若方程2

的两个根为和

，则

．5．函数f()A

的部分图像如右图所示，则f(

．6

x49

．7.在项式

(1)

(a

的展开式中x

的系数为

an

2

3

n

)

的值是__________.8．已知正四棱柱

CD11

的八个顶点都在同一球面上，若AB，,则、C两间的球面距离是.AA9在ABC中，已知AB，，若y

cos

sin

，则的最小值是.10已三行三列的方阵

a1112a212223aa31

中有9个

(i取三ij个数则且仅有两个数位于同或同（注意不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是结果用分数表)徐汇区高三数学

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11．中AM

学习是一件很有意思的事1ABANAC，与CM交点E，a，

，则

=

（用

a

、

b

表示）12．知实数b使不等式

ax

x对意x

都成立，在平面直角坐标系xOy

中，点a)

形成的区域记为若

x

上的任一点都在，则r

的最大值为

.二选题本题有4，分20分，题分每有只一正确项考应答纸相位，代正选的方涂．13．

:

且，:

，则是成的----------------------------（）A.充非必要条件B.要非充分条件C.充条件D.既非充分又非必要条件14．设z、为数，下列命题一定成立的----------------------------）12A.如z

2

，那么

zz01B.如

1

2

，那么

z

C.如

1

，

是正实数，那么

aD.如

1

，

是正实数，那么a1

15若

f()

是上奇函数f(x)在[0,单递增则列结论yfx)|

是偶函数对意xR都f)f(x)③yf(x)f(在(上调递

增；④反数

yf

存在且在(上调递增．其中正确结论的个数为（）A．B．

C．．4．已知

n

是公差为

的等差数列，若存在实数

x,x,x3

满足方程组xxxxasinxsin25,129

则d

的最小值为（）A.

8B.C.D.945徐汇区高三数学

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学习是一件很有意思的事三解题本题有题，满76分）答列题须答纸相位写出要步.本满14分，（1小6分第2小分如图，在直三棱柱

AB中，BC，11BABCBB1

.（）异面直

1

与

AC1

所成角的大小；（）M是棱

的中点求到面

AB1

的距离18（题分14分，（1小6分第2）题8分）已知函数

(x)1

.（1若

a

2

，求函数

f

的零点；（2针对实数

的不同取值，讨论函数

f

的奇偶性.19.（题分14分，（1小6分第2小题分）元宵节是中国的传统节日之一要将一个上底为正方形ABCD的方体状花灯挂起两等长长大于AC点距离的子两头分别拴住A、C；、，用一根绳子与述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如花灯上底面到天花板的距离设计为米底面边长为

米PAC=θ有绳子总长为

米打处的绳长忽略不)(1)将表成θ函数，并指出定义域；(2)要绳子总长最短，请你设计出这三根绳的.精确到0.01米（本满16分，（1）小4分第2小6分第3小6分徐汇区高三数学

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学习是一件很有意思的事已知椭圆

x26

上有两点

，直线

lykx

与椭圆交于A

、B两点，与线段

交于点

（异于P

、

）.(1)当

k

且

PC

时，求直线l

的方程；(2)当时，求四边形PAQB

面积的取值范围；(3)记线PA

、PB

、QA

、QB

的斜率依次为k、k、、k.当b且段134

的中点M在线y

上时，计算

k1

2

的值，并证明：22k1234

.21.（题分18分，（1小4分第2小题分，（）题8分若数集

M

至少含有3个数，且对于其中的意3个同数

ac

(

)，

a

都不能成为等差数列，则称M为集”(1)判断集合

{1,2,4,8,

,

n

}(N

*

,n

)是否是集说明理由；(2)已知

kN*

.集合

A是集合{1,2,3,k}

的一个子集，设集合Bx

A

是

集，则

B

也是

集；(3)设集合C,,3

22n,nn

是否是

集，证明你的结论2020年第二学期徐汇区学习能力诊断卷徐汇区高三数学

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1111学习是一件很有意思的事1111数学学科参考答案及评分标准2021.4一．填题本大共题满分第1-6题题4分，题题5分1．

2．3．4．

3

5．

67．

8．9．

2．11．55

12．

29二选题本题有4题满分分，题分）13．14．15B16C三

解题本题5题，分74分）本满14分，（1小6分第2小分【解】由于

AC//AC，以CAB（其补角）即为异面直线与AC所成角2分111连接，在AB中由于ABBC2，以1111

是等边三角形，所以CAB

，所以异面直线

1

与

AC1

所成角的大小为.-------6分（）图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C0,2A分1

0

设平面

AC１１

的法向量为,

，则

CBA１1

.CB11

且

w0nn，u得平面

AC１

的一个法向量为

n分且

n

2，MB

，于是点M到面ABC１

的距离d

nn

02

12所以M到平面C11

的距离等于

.-------------------------------------14分解二过M作MN交CB于，由AMN面11111CB11

.在，由

，CM，

，徐汇区高三数学

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4min学习是一件很有意思的事4min所以，点M到面A11

的距离等于

.（解法三：利用等体积法，.．本满分第1题分6分，2小题满)【解1）数

f

的定义域为

由

a

2

，得

2

，化简得

2x

x

，即

0

，所以，函数

f

的零点为

x

.------------------------------------6分（注意：不求定义域扣1分）（）数

f

的定义域为

f

为奇函数，则必有

f代入得

a

于是

无解，所以函数

f

不能为奇函数-------9分若函数

f

为偶函数，由

f

得

解得

a

；---------12分又当a时fx)x1

，则

f(1

x1

2

对任意

x

都成立-------------------------------------------------13分综上，当时函数

为偶函数，当时函数

为非奇非偶函数--14分．本满分第1题分6分，2小题满)【解】设底中心为，则AM|=0.42，tan

θ，|PA|=

θ

，故2sinθ)y=4|PA|+|OP|=4|PA|+|OM|-|PM|=θ=cosθcosθ

,---------------5分θ

.------------------------------------------------------------------------------------6分(2)记A=

θθ

，则sinθ+Acos即A

sin(θ+)=4

，由sin(θ)

π,得A15，号成立时θarctan0,arctan2

54

，分从而y=0.4

30+1

3.19(米，分此时这三根绳子长分别约为米1.17米，米------------------------------------14分徐汇区高三数学

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9学习是一件很有意思的事9．本满分第1题分4分，2小题满，3小满6分)【解】(1)设C(a,b)，则CQ)

，由

PC

，得a(2),2解1b(),b2所以，直线l

的方程为

2)3

，即

x

.--------------------4分(2)直线l

的方程为

，代入椭圆方程，整理得9x

(*)--5分则|AB|=

2

(8)

2

36(22b

2

)

,-----------------------6分由l

与线段PQ相交，有

，5

，----------------7分由k

PQ

，

kl

知kPQl

，所以PQ

且

5

，故四边形PAQB的积S=

||

b

2

，-------------9分10其取值范围为,

.------------------------------------------------10(3)将直线l的程

l

，代入椭圆方程，整理得(1+2k)x+4kbx+2b-6=0(*)11分设A(x),B(x,y)，则AB中坐标为

y121

，且x,x为程*)的两根，则x+x=

kb

2

.由条件，有

122

，即+x+y+y=0分又y=kx+b，y=kx+b，有1+k)(x+x，即

(1)(

kb

2

)b

，解得b=0（）或k=.-----------------------13徐汇区高三数学

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y22y+1y+12k1=y22y+1y+12k1=3当

4时，x+x=，xx=

3

，则k1

=

(xxx(xx22

bx()b2xx)221

，----------------------------------14又由于

1+1(x+1)(xxx(x)b24x-2x-2(-2)(x-2)x-2()1

，由

k1

2

，利用基本不等式有k1

22

k34

成立.----------------------------16分．本满分分第小题分4分第小题满分第小满8分【解】(1)任三个不同元素2<2<2其中

i<j<k

n)，若此三数成等差数列，则2+2=2但2+2>2

2=2此三个数不能成等差数.所以，集合

{4,8,2}(n*

)是集.----------------------4分(2)反证法假设A不是“集B中在三个不同元素x<y<z，使成差数列，则x+z=2y.------------------------------------------5分因为

A

是“

集以，x,y,z不全在A中----------------------------6分如果x,y,z全在B中则x-(2k-1)]+[z-(2k-1)]=2[y-(2k-1)]依然成立，且，y-(2k-1)，z-(2k-1)在中，说明存在三个数构成等差数列，即A不“集条矛盾，因此也不能全在中---------------7分由于B中小可能元素（为2k大于A中最大可能元素（为所以必有

A

B.----------------------------------------------------8分从而，同样，

(x+z)[k+k+(2k-1)]=2k-<2k，故y(x+z)[1+1+(2k-1)]=k+>k，这与y

矛，故也是”.-----------------------------10分徐汇区高三数学

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学习是一件很有意思的事(3)集C是“集明如下：记

ak

2

akk

2k2kk(2)

，故aaa.-----------------------------------------12分13n任取(其中1，a.ijijk当k时aiji

j

aj

j

j

j

j

(这是由于j，即2ik

j

分当时若,ij

成等差数列，则a2aik

j

，即i

j+1

j

，化简得

j

……(*)----------------15分从而

j

的正整数倍，由于j

与

j

互质(为两个连续正整)，因此j

是

j

的正整数倍或

j

是

j

的正整数倍，-----------------16分若j是

j

的正整数倍，则j

j

，而

jj

，则(式成立；若j是j的整数倍，则

j

j

，而j

，(*)仍不成立综上可知，

a,a,ij

不能成等差数列，即证明了集合

是“

集”.----------18分徐汇区高三数学

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学习是一件很有意思的事坚希一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”子说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天！他复明，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小清澈。果