山西省临汾市侯马祥平中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

山西省临汾市侯马祥平中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正项等比数列{a}满足：，，若，则的最小值为A．

B．

C．

D．不存在参考答案：A2.设函数f（x）=ex﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点 B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点参考答案：C【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导函数为0，判断函数单调性，然后求解函数的极值，得到选项．【解答】解：由函数f（x）=ex﹣2x，得f′（x）=ex﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2时，f′（x）＜0，x＞ln2时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2时取得极小值．故选：C．3.甲乙两名同学分别从“爱心”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是

A.

B.

C.三棱锥的体积为定值

D.异面直线所成的角为定值参考答案：DA正确，易证B显然正确，；C正确，可用等积法求得；D错误。6.75名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有（

）A.150种

B.180种

C.200种

D.280种

参考答案：A略7.已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为 （）A． B．

C．

D．参考答案：C略8.用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.在直角坐标系中，直线的斜率是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.是等差数列的前项和，,则（

）

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件可知bc=1．推出，由此可以求出椭圆长轴的最小值．【解答】解：由题意知bc=1．∴，∴．∴，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要熟练掌握公式的灵活运用．注意字母的转化．12.若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______。参考答案：得，当时，有两个相等的实数根，不合题意当时，13.将函数的图象C1沿ｘ轴向右平移2个单位得到C2，C2关于ｙ轴对称的图象为C3，若C3对应的函数为，则函数=

.参考答案：(或等价形式)

14.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn+1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2014(x)＝________.参考答案：cosx-sinx15.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)。参考答案：14016.若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是

▲．参考答案：17.记为数列的前项和，若，当时有成立，则的所有可能值组成的集合为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：平面ANB⊥平面PCD；（2）若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）通过证明面，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设由向量的夹角公式先求解线面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取中点，连接，.（1）证明：∵，，为中点，∴，，∴是平行四边形，，又∵，，∴面，∴面面.∵，为中点，面，∴面，∵面，∴平面平面.（2）建立如图所示坐标系，，，，，，，.由（1）知面，∴，.∵直线与平面所成角的正弦值为，∴由得.设为面的法向量，则，.由得，，∵面，，设二面角为，为锐角，则，∴.【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.19.（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），其定义域是

…………1分

令，得，（舍去）。

……………..

3分当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；即函数的单调区间为，。

………………..

6分（Ⅱ）设，则，

…………7分当时，，单调递增，不可能恒成立，

当时，令，得，（舍去）。当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故在上的最大值是，依题意恒成立，……………9分

即，…又单调递减，且，………10分故成立的充要条件是，所以的取值范围是………12分20.(1)已知命题

“不等式的解集为”,命题

“是减函数”．若“或”为真命题,同时“且”为假命题,求实数的取值范围;(2)若,且,求证:．参考答案：(1)若命题为真,解得,若命题为真,解得,由“或”为真命题,同时“且”为假命题,可知,与一真一假.当真假时,有且,无解;当假真时,有且,即.故实数的取值范围为.(2)要证,只需证即

,因要只需证即,因为,则因为,所以从而,即,所以．分析：本题主要考查的是命题的真假判断和不等式的证明,意在考查学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.(1)由绝对值的意义可得,由指数函数的单调性可得,从而求得当这两个命题只有一个是真命题时的取值范围;(2)用分析法证明不等式的成立.21.某高中尝试进行课堂改革.现高一有A，B两个成绩相当的班级，其中A班级参与改革，B班级没有参与改革.经过一段时间，对学生学习效果进行检测，规定进步超过10分的为进步明显，得到如下列联表.

进步明显进步不明显合计A班级153045B班级104555合计2575100

（1）是否有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关？（2）按照分层抽样的方式从A，B班中进步明显的学生中抽取5人做进一步调查，然后从5人中抽2人进行座谈，求这2人来自不同班级的概率.附：（其中）.0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879

参考答案：（1）没有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）【分析】（1）计算出的观测值，并根据临界值表找出犯错误的概率，即可对题中的结论进行判断；（2）先计算出班有人，分别记为、、，班有人，分别记为、，列举出所有的基本事件，确定基本事件的总数，并确定事件“其中人来自于不同班级”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率。【详解】（1）的观测值，所以没有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关；（2）按照分层抽样，班有3人，记为，班有2人，记为，则从这5人中抽2人的方法有，共10种.其中2人来自于不同班级的情况有6种，所以所求概率是【点睛】本题第（1）问考查独立性检验，要理解临界值表的含义，第（2）问考查古典概型概率的计算，关键要列举出基本事件，考查运算求解能力，属于中等题。22.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若B是A，C的等差中项，是的等比中项，求证：△ABC为等边三角形；（2）若△ABC为锐角三角形，求证：．参考答案：（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由是的等差中项可得，由是的等比中项，结合正弦定理与余弦定理即可得到，由此证明为等边三角形；（2）解法1：利用分析法，结合锐角三角形性质即可证明；解法2：由为锐角三角形以及三角形的内角和为，可得，利用公式展开，进行化简即可得到。【详解】（1）由成等差数列，有

①

因为为的内角，所以

②由①②得

③

由是的等比中项和正弦定理得，是的等比中项，所以

④

由余弦定理及③，可得

再由④，得即，因此

从而

⑤由②③⑤，得所以为等边三角形．

（2）解法1：要证只需证