高二数学选修1-1-双曲线的简单几何性质(整理修改)

小结或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性顶点

渐近线离心率图象关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2B1

xO..F2F1A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（-a，0），A2（a，0）渐进线无“共渐近线”的双曲线的应用λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。总结：例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).

A′A0xC′CB′By131225例题讲解

xyOlF引例：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数

(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.一、第二定义

双曲线的简单几何性质(3)---直线与双曲线的位置关系椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交一、直线与双曲线的位置关系一、直线与椭圆的位置关系：（2）弦长问题（3）弦中点问题（4）经过焦点的弦的问题(利用定义)（1）直线与椭圆位置关系二、直线与双曲线位置关系种类：XYO种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)1)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点两个交点一个交点0个交点相交相切相交相离交点个数方程组解的个数有没有问题?结论一：[1]0个交点和两个交点的情况都正常,

那么,依然可以用判别式判断位置关系[2]一个交点却包括了两种位置关系:

相切和相交(特殊的相交),那么是否意味着判别式等于零时,即可能相切也可能相交?判断下列直线与双曲线之间的位置关系：[1][2]相切相交试一下:判别式情况如何?一般情况的研究显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看看判别式如何?根本就没有判别式!当直线与双曲线的渐进线平行时,把直线方程代入双曲线方程,得到的是一次方程,根本得不到一元二次方程,当然也就没有所谓的判别式了。结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系！结论二：3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,

Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）

Δ=0直线与双曲线相切

Δ<0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0注:①相交两点:△＞0

同侧：＞0

异侧:＜0

一点:直线与渐进线平行特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例1、判断下列直线与双曲线的位置关系：相交(一个交点)相离y..F2F1O.xy..F2F1O.例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±；(4)-1＜k＜1；(1)k＜

或k＞；(2)＜k＜；1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.

变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?41.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。例4、如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。三、弦长问题xyo..NM四.弦中点问题xyo..NMxyo..NM例.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：

(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；

(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；

(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由.1.位置判定2.弦长公式3.中点问题4.设而不求(韦达定理、点差法)

5.垂直与对称小结：1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；

(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称，若存在，求a;若不存在，说明理由.（备选）垂直与对称问题解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.

(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；

(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称，若存在，求a;若不存在，说明理由.3、设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。（2）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值。4、由双曲线上的一点P与左、右两焦点构成，求的内切圆与边