山西省临汾市乡宁中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山西省临汾市乡宁中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的单调递增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.设是等差数列的前项和，已知，，则A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.函数在点处有定义是在点处连续的

(A)充分而不必要的条件

(B)必要而不充分的条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要的条件参考答案：B

本题主要考查函数连续性的定义与充要条件的判断，难度一般。

函数在处连续必定在处有定义，确定函数在某一处连续还需要确定函数在此处是否有极限，以及极限值是否与函数值相等。因此在点处有定义是在点处连续的必要非充分条件，选择B。

4.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．解答： 解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B．点评：本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．5.设是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过一定存在平面,使得

B．过一定不存在平面,使得C．在平面内一定存在直线，使得D．在平面内一定不存在直线，使得参考答案：C6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点(3,4)，则等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.已知f（x）为定义域为R的函数，f'（x）是f（x）的导函数，且f（1）=e，?x∈R都有f'（x）＞f（x），则不等式f（x）＜ex的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，令g（x）=，结合题意对其求导分析可得g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）=e，可得g（e）==1，而不等式f（x）＜ex可以转化为g（x）＜g（1），结合函数g（x）的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=，其导数g′（x）==，又由，?x∈R都有f'（x）＞f（x），则有g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数，若f（1）=e，则g（e）==1，f（x）＜ex?＜1?g（x）＜g（1），又由函数g（x）在R上为增函数，则有x＜1，即不等式f（x）＜ex的解集为（﹣∞，1）；故选：A．8.“或是假命题”是“非为真命题”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.已知Sn是等差数列{}的前n项和，且S3＝S8，S7＝Sk，则k的值为（）A、3B、4C、5D、6参考答案：B

10.已知为第二象限角，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______.参考答案：因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴，且，又双曲线的渐近线为，所以双曲线为等轴双曲线，即，所以双曲线的方程为。12.己知函数，当曲线y=f(x)的切线L的斜率为正数时,L在x轴上截距的取值范围为____________.参考答案：略13.已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长为

参考答案：4

【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1．（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay-5=0，可得1+a-5=0，∴a=4∴圆C：x2+y2+8x+4y-5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，

∴圆心到直线的距离为d=1，∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．【思路点拨】求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．14.若，则=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵，∴=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=．故答案为：．15.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．则直线与曲线C的位置关系为___________.参考答案：略16.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______.参考答案：12．设应抽取的女运动员人数是，则，易得.17.已知，，则

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19.设是公比为正数的等比数列，，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。参考答案：解：（I）设q为等比数列的公比，则由，即，解得（舍去），因此所以的通项为（II）

20.已知函数f(x)=x3-x．（1）求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；（2）设a>0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：-a<b<f(a)参考答案：解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即 ．略21.（本题满分14分）设函数，其中．（Ⅰ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅱ）若对于任意的，不等式在恒成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：，

------1分显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，

------3分即有．解得．所以的取值范围是．

------6分（Ⅱ）由条件，可知，从而恒成立．---8分当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

------11分为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即

在上恒成立．

------13分所以，因此满足条件的的取值范围是．

------14