山东省青岛市经济技术开发区育才初级中学2023年高三数学理期末试题含解析

山东省青岛市经济技术开发区育才初级中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三个数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（

）A．

B.

C.

或

D.

或参考答案：C略2.已知集合，，则中所含元素的个数为(

)

A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B略3.函数的图象大致是参考答案：D函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A,B。当时，，排除C，选D.4.设是两条不同直线，α是一个平面，则下列四个命题正确的是（

）

A．若

B．若

C．若

D．若

参考答案：D略5.已知A，B为抛物线y2=2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为（）A．

B．

C.－2

D．2参考答案：A6.已知数列满足，，则数列的前40项的和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由已知条件得到，，，左右两侧累加得到正好是数列的前40项的和，消去一些项，计算得到。故答案为D。

7.若，则等于

A．

B．-l

C.

D．参考答案：A略8.下列各组函数是同一函数的是

(

）①与；②与；③与；④与。A．①②

B．①③

C．②④

D．①④参考答案：C9.平面上O,A,B三点不共线，设，则的面积等于（）A.

B.C.

D.参考答案：C略10.已知，为两个平面向量，若||=||，与的夹角为，则与的夹角为（）A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量减法的三角形法则作出三角形，根据正弦定理求出B，则与的夹角为π﹣B．【解答】解：设，，则．∵与的夹角为，∴A=．在△AOB中，由正弦定理得，∴，解得sinB=．∴B=或．∴与的夹角为π﹣B=或．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为__参考答案：7略12.二项式的展开式中的常数项是________________参考答案：答案：49513.已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是

．参考答案：不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,∴，，．∴，解得．14.已知，向量在向量上的投影为，则

．参考答案：120°

15.已知点在直线上，点在直线上，中点为，且的取值范围为

.参考答案：略16.(2013·山东)函数的定义域为________．参考答案：17.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,，10的因数有1,2,5,10,,那么=

.参考答案：

【知识点】等比数列及等比数列前n项和解析：根据g（n）的定义易知当n为偶数时，g（n）=g（n），且若n为奇数则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1﹣1）=1+3+…+（2n+1﹣1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1﹣2）=+g（1）+g（2）+…+g（2n+1﹣2）=4n+f（n）即f（n+1）﹣f（n）=4n分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）﹣f（1）=4+42+…+4n=（4n﹣1）又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=+1所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）=（4n﹣1﹣1）+1令n=2015得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22015﹣1）=．故答案为：【思路点拨】本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用，即利用出题的意图求数列的和．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，H为线段PC上一点．（1）证明：平面BHD⊥平面PAC；（2）若OH⊥PC，PC与底面ABCD所成的角为45°，求三棱锥H﹣BCD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BHD⊥平面PAC．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥H﹣BCD的体积．【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，∴AC⊥BD，PA⊥BD，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面BHD，∴平面BHD⊥平面PAC．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PC与底面ABCD所成的角为45°，∴PA=AC==2，∴O（1，1，0），P（0，0，2），C（2，2，0），设H（a，b，c），，0≤γ≤1，则（a，b，c﹣2）=（2λ，2λ，﹣2），∴a=2λ，b=2λ，c=2，∴H（2），=（2λ﹣1，2λ﹣1，2），=（2，2，﹣2），∵OH⊥PC，∴=2（2λ﹣1）+2（2λ﹣1）﹣2（2）=0，解得，∴H到平面BCD的距离d=2=，∴三棱锥H﹣BCD的体积V===．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．19.（本小题满分12分）的三个内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求角.参考答案：(1)；（2）（2）设，则，于是.即.由余弦定理得.所以.考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系20.（本小题满分12分）已知数列的前项和和通项满足,数列中，,.（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求证：.参考答案：（Ⅰ）由，得当时，即（由题意可知）是公比为的等比数列，而，由，得（2），设，则

由错位相减，化简得：21.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出.（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记为选出的4名同学中女生的人数，求的分布列和数学期望.参考答案：（1）由题意知，所有的选派方法共有种，其中有3名女生的选派方法共有种，所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种.

…………3分（2）的可能取值为.

……………………5分,,,,8分所以的分布列为所以.…………………10分22.(12分)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售