1998年全国高考理科数学试题及其解析

11221212112212121998年普高等学校招生全统一考试本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ(选择题)两部分，总分值150分考试120分．第卷

(选题分)一选题：本大题15小题第1题题4分第1115每5，分在每给的个项，有项符题要的sin600

()(A)

(B)－

12

(C)

33(D)－22函数y=a(a的图像是

()曲线的极坐标方ρ=化成直角坐标方程为

()(A)2

＋(y＋2)

=4(B)2

＋－2)(C)－＋y(D)(＋2)2

＋y2

=4两条直线x＋B＋=0x＋y垂的充要条件是

()(A)A＋B=0(B)AA－B(C)

AA1BB1

(D)

函数fx)=

1

(x≠的反函数f(x)=()(A)(x≠0)(B)

1(≠－x≠(D)－

(≠已知点Pα－cos，α在第一象限，则在

[

内的取值是

()(A)(

3，)()(B)(，)(2424

)(C)

353，)∪(，24

)(D)(

，∪，44

)已知圆锥的全面积是底面积的3，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为)

00011120001112(A)120º

(B)150

(C)º

(D)240º复数－的个立方是i，它的另外两立方根是

()(A)

3311i(B)－i(C)±i(D)±2222

i如果棱台的两底面积分别是，′，中截面的面积是S，么

()(A)2

S

SS

(B)S

(C)2=S＋′

(D)

S22S0向高为H的瓶中注水，注满为止，如果注水量V水深h的数关系的图像如以下图所示，那么水瓶的形状是

()3名医生和6名士被分配到3所学校为学生体检，每校配1名医生和护士．不同的分配方法共有

()(A)90种

(B)180种

(C)270

(D)540种椭圆

2123

=1的点F和F，点P在圆上，如果线段的点在轴上，那么PF是F的

()(A)7倍

(B)5倍

(C)4倍

(D)3倍球面上有3个，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的圆的周长为π，那么这个球的半径为

16

，经过这3个的小()(A)4

3

3

(C)2(D)

3一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

()(A)arccos

52

(B)

52

(C)arccos

1(D)22

n1nn1111111121．n1nn1111111121．在等比数{}，>1，且前n项S满足lim=

1a

，那么a的值范围是()(A)(1＋∞(B)(1，4)，2)(D)(1)第卷

(非选题分)二填题本题4小题每分共16分．答填题横上16设圆过双曲线

y2916

的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17(＋10

(2的展开式中x

的系数____________用数字作答〕18如图，在直四棱柱AD－ABCD中当底面四边形ABCD满条件时，有AC⊥D(：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19关于函数f(x)=4sin(2＋

3

)(∈)，以命题①由fxf)=0可x－必π的整数倍；②yfx)的表达式可改写为yx－

6

)；③yfx)的图像关于(－

6

，0)对称；④yfx)的图像关于直线x－

6

对称．其中正确的命题的序号是(注：把你认为正确的命题序号填上．三解题本题6小；69分．解应出字明证过或演步．(20)(本题总分值分在△，a，bc分是角A，BC的边，设a＋c，A－C=以下公式供解题时参考：

3

．求sinB的．θ＋

cos，θ－sin，222θ＋

cos，cos－cos2sinsin.222

1212121212(21)(本题总分值11分如图，直线l和l相交于点Ml⊥l，点Nl．，为端点的曲线段上任一点到l的离与到点N的离相等．假AMN为角三角形AM．建立适当的坐标系，求曲线段的程．

AN，(22)(本题总分值分如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米无盖长方体沉淀箱，污水从孔入，经沉淀后从孔流出．设箱体的长度为a米高度为米已知流出的水中该杂质的质量分数与的乘积ab成比．现制箱材料平米．问当为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最A、B孔面积忽略不)．

1111111111111111n11111111111111111n1110nnnbnan+1(23)(本题总分值分已知斜三棱柱－AC的面ACC与面ABC垂，º，BC=2AC=

，且⊥AC=CⅠ．求侧棱与底面ABC所角的大小；Ⅱ．求侧面与面ABC所成二面角的大小；Ⅲ．求顶点C到面的离．(24)(本题总分值分设曲线C的程是=x3，将C沿轴y正向分别平行移动ts单长后得曲线C．Ⅰ．写出曲线C的程；tⅡ．证明曲线C与关于点A(，)称；3Ⅲ．如果曲线C与有且仅有一个公共点，证明s=(25)(本题总分值分

t34

－t．已知数列{}等差数列b=1，b＋＋＋=145．Ⅰ．求数列{}通；1Ⅱ．设数列{}通＋)(其中a＞，且≠，记是列{}前nnan项和．试比较与

13

logb的大小，并证明你的结论．

1998年普高等学校招生全统一考试数试〔工医〕考案一选题此考基知和本算23B4A5B6B7D9B11．．A13B．B．D二填题此考基知和本算．

163

．179．

，或任何能导出这个条件的其他条件．例如正方形，菱形等．②，③三解题．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a得

sin+sinC=2sinB由和差化积公式得

Acos=2sinB.22由AB+=π

得

ABsin=cos，22又A=

得

3BcosB，2所以

3BBBcos=2sin22因为0<所以sin从而cos

<，cos≠，23=，4B=1sin24所以

324

12ABAAAAAAAB12122AB12ABAAAAAAAB12122ABN本题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系曲方程的解析何的基本思想考查抛物线的概念和性质线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l为x轴MN的直平分线为y轴点为标原点．依题意知：曲线段C是点N为焦点，以l为线的抛物线的一段，其中A，B别为C的点．设曲线段C方程为y

=2〔p>0≤x，中x，分别为AB的横坐标p|.所以M

p2

，0〔，0由|=

，AN得〔x+

〕

+2px，①〔x－

〕+2px=9.

②由①，②两式联立解得=

4p

再将其代入①式并由>0解2,xxAA因为ΔAMN是锐角三角形，所以xA故舍去所以，x

p2x2A由点在曲线段上得=|BN－综上得曲线段C的程为

y=8〔≤x≤4，>0〕解法二如图建立坐标系，分别以l、l为y轴，M为坐标原点．作

l，

l，BF

l，足别为、、设Ax，B〔x，y〔，〕.

AAN2BNABAAN2BNAB依题意有x=|MEDA|=3y=|DM

AM

DA

，由于ΔAMN为锐角三角形，故有x=|ME|+|EN=|ME

AN

=4x=||=|BN|=6.设点〔x，y〕是曲线上任一点，则由题意知P属集合，y〕〔x－x〕+=2故曲线段C方程为

，x≤x≤，｝y

=8－2≤≤6，y>0〕本题主要考查综合应用所学数学知识思想和方法解决实际问题能力查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一设y为出的水中杂质的质量分数，则y=即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有b=60〔a>0b>0

ab

，其中k>0比例系数依题意，得

=

302

〔〕.

①于是

y

kk=ab30a

32

64a

k

≥

k

k18

，当a

64a

时取等号，y到达最这时，a=10舍去.将a=6代①式得b=3.故当为6米，为3米，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最.解法二：题意，即所求的a，值使最.由题设知ab+2a〔a，b

111111111111111111111111111111111111111111111111即因为

b+=30〔a>0，〕.b≥22，所以

2ab

+ab，当且仅当a=2，上式取等由a>0b>0解得ab≤18.即当，ab取最大值，其最大值为18.所以

=18.得b=3a故当为6米，为3米，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：A，垂足，由面AABC得AD面，所以∠A与面成的角因为

A，=A，所以∠A=45为所求ⅡDE

AB为EAED

面ABCAE

AB.所以∠A面A与ABC所成二面角的平面由已知AB，得EDBC又是的点，BC，

3

，所以DE=1，ADAD

3

，

tgA=

ADDE

=

3

故∠AEDº所求.Ⅲ解法一：由点作面A的线垂为H则CH长是C到面A的距离连结HB，由于AB，得HB又AB，∥，BC∥ED所以∠=∠Aº所以BCsin60º=解法二：结B.

3

为所求

11B11112211212222211B1111221121222222221111根据定义，点C到ABB的离，即为三棱锥－AAB高h.由

锥锥AABC

得

1D31

，即

11h233所以

h

3

为所求．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能.Ⅰ．解：线C的程为y〔－t3〔－t+.Ⅱ证明：在曲线上取一点B〔x，y设〔y〕B关于点的称点，则有xtys12，222

所以x=－x，

y=－.代入曲线C方程，得x和满方程：s－y=〔－x〕－〔tx即

y=x－〕3〔x－〕s，可知点〔，y〕曲线C上反过来，同样可以证明，在曲线上的点关于点A对称点在曲线上因此，曲线C与C关点对.Ⅲ．证明：因为曲线C与C有仅有一个公共点，所以，方程组x)

有且仅有一组解.消去y，整理得－3t2+t3t〕=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个.所以t≠0并其根的判别式Δ=9t4

－t〔t3

－－〕

nnnnnaaaaanananannnnnaaaaananana即

t(tts)0.所以

t34

且t≠0.．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能解：Ⅰ．设数列{}公差为d，由题意得10bd145.