《线性代数与解析几何》复习要点

《线性代数与解析几何》

复习要点一.行列式二.矩阵三.向量四.线性方程组六.二次型七.综合与提高五.(小结)初等变换在线性代数中的地位内容提要

一.行列式

《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式

行列式

定义

性质

计算

方程组

秩

秩

极大无关组

线性相关性

特征多项式

伴随矩阵

逆矩阵

应用

克拉默法则

面积/体积

矩阵

向量组

叉积/混合积

几何

一.行列式

行列式

的

定义

低阶

一般

一阶

递推公式

排列组合a11A11+a12A12+…+a1nA1na11A11+a21A21+…+an1An1

数

二阶

三阶

对角线法则《线性代数》《几何与代数》复习要点

二阶行列式

一.行列式a11a12a21a22|A|==a11a22

a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12

(1)1+2a21

a11a12a21a22

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三阶行列式

一.行列式

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

=a11A11

+a12A12

+

a13A13

《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式

a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代数余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33《线性代数》《几何与代数》复习要点

行列式的性质

一.行列式性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则

D=0.性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则

D=0.性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式例2.设D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ci+kcj

这类运算,把D1化为下三角形行列式:=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnm

bn1…

bnn

a11…a1m

am1…amm

D1

=……《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式对D2施行ci+kcj

这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…

b1nbn1…

bnnD2

=……=q11

qn1

…

qnn

…...=

q11…

qnn

,于是对D的前m列施行上述ci+kcj

运算,再对D的后n列施行上述施行ci+kcj

运算,可得:=

p11…

pmm

q11…

qnn

=D1D2.a11…

a1m0…0……………………D=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnm

bn1…

bnn

.p11

pm1

…

pmm

…………=..0dn1

…

dnm

qn1

…

qnn

d11

…

d1m

q11

...《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.设A方阵,则|AT|=|A|.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.《线性代数》《几何与代数》复习要点定理1.n阶行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.

一.行列式《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式性质6.n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理2.设n阶行列式D=|[aij]|,则aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克罗内克(Kronecker)记号ij=1,i=j,0,ij.《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式

行列式的计算

1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.(其中n

2,x

a).Dn=x

a…aa

x…a………a

a…x例3.计算n阶行列式《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式解:…×(1)…x+(n1)a

a

a…a

a0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa

==[x+(n1)a](xa)n1.Dn=x

a…aa

x…a………a

a…xx+(n1)a

a…ax+(n1)a

x…a………x+(n1)a

a…x=《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.(未写出的元素都是0).例4.计算2n阶行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………

行列式的计算

1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式例5.证明n阶级(n2)范德蒙(Vandermonde)行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1证明:当n=2时,D2=(a2a1).

现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则(a1)(a1)(a1)…《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn=

11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式5.升阶.(其中a1a2…an

0).Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an例6.计算n阶行列式3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.

行列式的计算

1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式解:

Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an=111…101+a11…1011+a2…1……………011…1+an(1)

…《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式=111…101+a11…1011+a2…1……………011…1+an(1)

…111…11

a10…010a2…0……………100…an=“伞形”行列式

Ilveit!《线性代数》《几何与代数》复习要点

一.行列式=111…11

a10…010a2…0……………100…an(1/a1)

…(1/a2)

(1/an)

注意已知条件:a1a2…an

0,否则不能1/a1,…,1/an!=[1+(1/ai)]a1a2

an.

…i=1n=1+(1/ai)

0

0

…

01

a10…010a2…0……………100…ani=1n《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

二.矩阵

矩阵

运算

分块运算

初等变换

线性方程组

向量空间

应用

标准形

规范形

正定性

向量组

秩

线性表示

线性相关性

二次型

特征值特征向量

相似

秩

齐次

非齐次

线性变换

坐标变换

基变换《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵运算前提条件定义性质加法A+BA与B是同类型的对应元素相加A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+O=A;A+(A)=O数乘kAk是一个数用k乘A的每一个元素k(lA)=(kl)A;(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;(1)A=A乘法ABA的列数

=B的行数(aij)ml(bij)ln=(cij)mn

cij=(AB)C=A(BC);A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(kA)B=k(AB)幂

AmA是方阵,m是正整数A1=A,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l;(Ak)l=Akl转置AT无(aij)ml

T=(aji)lm(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT多项式f(A)A是一个方阵,f(x)=asxs+…+a1x+a0f(A)=asAs+…+a1A+a0IA=()f(A)=f(),A=(),f(A)=O

f()=0行列式|A|A是一个方阵,|A1|=|A|1逆矩阵A1A是一个方阵且|A|0若AB=BA=I则B=A1唯一性,(A1)1=A,(A1)m=(Am)1,(AT)1=(A1)T,(kA)1=k1A1,

(AB)1=B1A1,满秩,特征值0

矩阵的运算

《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

行矩阵

列矩阵

零矩阵

初等矩阵

对称矩阵

对角矩阵单位矩阵

反对称矩阵

正交矩阵

正定矩阵

可逆矩阵

数量矩阵

方阵《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵行矩阵A1n:只有一行,又名行向量.列矩阵An1:只有一列,又名列向量.零矩阵:每个元素都是0,常记为Omn或O.初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得.方阵:行数=列数.对称矩阵:AT=A.对角矩阵:diag{1,2,…,n},常用表示.

数量矩阵:kE,kI,其中k为常数.单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是0,

常记为E或I.反对称矩阵:AT=A.

正交矩阵:QTQ=QQT=E.正定矩阵:AT=A且x

有xTAx>0.可逆矩阵:AB=BA=E.《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

矩阵的乘积

向量组之间的线性表示(系数矩阵)

线性变换的合成(z=By=BAx)

二次型的矩阵表达式(f(x)=xTAx)

不满足消去律

结合律的妙用

不满足交换律

线性方程组的矩阵表达式(Ax=b)

两组基之间的联系(过渡矩阵)

有非平凡的零因子

应用

定义

性质(T)k

(P1AP)k

向量的内积(,=T)

实际问题(背景)《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵值得注意的现象:(1)AB和BA未必相等.(2)(AB)2和A2B2未必相等.例如:A=1100,,B=101011002000,A2B2

=AB=1010=20004000.而(AB)2=2000=11001100=A,A2=1100=10101010=B,B2=1010=《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵值得注意的现象:(1)AB和BA未必相等.(2)(AB)2和B2A2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:A=1100,,B=10101201,(A+B)(AB)

=0

110.而A2

B2

=21105221,(A+B)2=2110=611011001010=4000+而A2+2AB+B2=+,

《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵值得注意的现象:(1)AB和BA未必相等.(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.(2)(AB)2和B2A2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:(10)=0,02又如:=100000030000.《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵值得注意的现象:(1)AB和BA未必相等.(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.(5)“AB=AC且A

O”推不出“B=C”.(2)(AB)2和B2A2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:(10)02

=0

=(10)

03

,但,02

03

又如:=10000002

0000,10000003

=.0002

0003

但

《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

逆矩阵n阶方阵A可逆的充要条件定义:AB=BA=I

存在方阵B使AB=I存在方阵B使BA=I|A|0Ax=

只有零解Ax=b

有唯一解秩(A)=nA的行(列)向量组线性无关A与I相抵(等价)A为有限多个初等矩阵的乘积A的特征值全非零

计算A1

利用伴随矩阵利用初等变换(A1)1=A唯一性(A1)m=(Am)1(AT)1=(A1)T(kA)1=k1A1(AB)1=B1A1|A1|=|A|1若A可逆,则秩(AB)=秩(B)秩(CA)=秩(C)是A的特征值1是A1的特征值n阶可逆矩阵的性质《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.下面用初等变换解矩阵方程AX=B.注意到X=A1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A1B=X分块矩阵

初等行变换《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

加法

逆矩阵

乘法

数乘

转置

行列式用初等行变换求A1(A,E)(E,A1)解AX=B(A,B)(E,A1B)Ax=b的增广矩阵(A,b)

向量组矩阵矩阵的相似标准形(Jordan标准形)矩阵的等价标准形Em

n(r)分块矩阵运算应用《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵矩阵的分块运算注:分块之前A与B是同类型的,

分块之后,与Aij对应的Bij是同类型的(否则加不起来).

加法

逆矩阵

乘法

数乘

转置

行列式B=B11…B1t………Bs1…BstA+B=A11+B11…A1t+B1t………As1+Bs1…Ast+BstA=A11…A1t………As1…Ast,《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵矩阵的分块运算

加法

逆矩阵

乘法

数乘

转置

行列式k

为一个数kA=kA11…kA1t………kAs1…kAstA=A11…A1t………As1…Ast,Easy!《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵矩阵的分块运算注:分块之前A的列数等于B的行数;分块之后,各Aik的列数分别等于对应的Bkj的行数(否则乘不起来).

乘法B=B11

…

B1t……

…Bs1

…

BstAB=A=A11…A1s………Ar1…Ars,k=1s

A1kBk1k=1s

A1kBkt

k=1s

ArkBk1k=1s

ArkBkt

……………

逆矩阵

转置

行列式

加法

数乘《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵矩阵的分块运算

转置A=A11…A1t………As1…AstAT=A11

…

A1tA1t

…

AstTTTT……

加法

数乘

逆矩阵

行列式

乘法《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵矩阵的分块运算

行列式其中A,B都是方阵.也未必成立,例如A

C

O

B

=|A||B|,A

OCB

=|A||B|,但即使A,B,C,D都是方阵,A

CDB

=|A||B||C||D|00

10

00

01

1000

0100

=

100000

01

00

100100

=10000100

00

1000

01=1.A1

…At

分块对角矩阵的行列式=|A1|…|At|.

加法

数乘

乘法

逆矩阵

转置《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵矩阵的分块运算

逆矩阵若A1,…,At都是可逆方阵A1

…At

1.=A1

…At

11(不必是同阶的),则

加法

数乘

乘法

转置

行列式《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

与初等矩阵的联系

解矩阵方程

求逆矩阵

可逆性

解线性方程组求L(1,…,s)的基和维数

求矩阵的秩

保矩阵的秩

求合同标准形

求极大无关组矩阵的初等变换

求向量组的秩

性质

分类

初等行变换

初等列变换

线性方程组的初等变换

来源

应用《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

矩阵的秩

最高阶非零子式的阶数

行向量组的秩

列向量组的秩

r(A)=r(AT)A与B等价r(A)=r(B)P与Q可逆r(A)=r(PAQ)

max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B)

A与B相似r(A)=r(B)A与B合同r(A)=r(B)

r(A+B)r(A)+r(B)

r(AB)min{r(A),r(B)}

不等式

等式

行空间的维数

列空间的维数

定义《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

特征值

和

特征向量

|E–A|=|E–(P1AP)|

i=tr(A),i=|A|A可逆A的特征值全不为零,此时A=A1=1

|E–A|=|E–AT|A=

f(A)=f()

对应于不同特征值的特征向量线性无关AT=AR且对应于不同特征值的特征向量正交

性质

应用

计算

定义相似对角化

用A=P1P

计算Ak

化二次型为标准形

|E–A|=0

(E–A)x=0

A=

其中

《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵A=

(E–A)=0|E–A|=0

特征方程|E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann

特征多项式E–A

特征矩阵

特征值

特征向量n阶方阵

非零向量《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵例11.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵例11.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵

相似矩阵

反身性,对称性,传递性A~BAB(相抵/等价)A~B|A|=|B|A~Br(A)

=r(B)A~B

多项式f(A)~f(B)

A~B|E–A|=|E–B|

性质

A与B相似(A~B):存在可逆阵P使P1AP=BA~Btr(A)

=tr(B)

定义

相似对角化Ann有n个不同的特征值

Ann~对角阵

Ann~对角阵A有n个线性无关的特征向量

实对称矩阵一定可以正交相似对角化《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵求|I–A|=0的根有重根吗?无A可以相似对角化有秩(iIA)=nni?否Jordan化A不能相似对角化是求n个线性无关的特征向量p1,…,pn,令P=[p1,…,pn]P–1AP=diag[1,…,n]《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵例14.把正交相似对角化.解:|I–A|=(–2)(–4)2.

所以A的特征值为1=2,2=3=4.

(2I–A)x

=的基础解系1=(0,1,–1)T.(4I–A)x=的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.

由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即可得《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵注:对于2=3=4,若取(4I–A)x=的基础解系

2=(1,1,1)T,3=(–1,1,1)T,

则需要将它们正交化.取1=2,再单位化,即得《线性代数》《几何与代数》复习要点

二.矩阵例15.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=[1,2,2]T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.证明(1)()因为A是实对称矩阵,和3是对应于A()因=1是A的二重特征值,故A有两个线性无关的特征向量1,2对应于=1.由于1,2,3线性无关,而,1,2,3线性相关,可设

=k11+k22+k33,故

=k11+k22是对应于=1的特征向量.由3,=3,1=3,2=0得k3=0,的不同特征值的特征向量,所以3.《线性代数》《几何与代数》复习要点

几个概念之间的联系

三.向量

三.向量

线性运算

度量

内积

线性映射

向量

向量组

矩阵

线性方程组

代数向量

几何向量

线性组合

线性表示

线性相关性

基

维数

极大无关组

秩

向量空间

长度

夹角

单位向量

正交

线性变换

正交变换

正交矩阵

Schmidt正交化方法《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量n维向量的概念

n维向量

本质

表现形式

几何背景

n个数a1,a2,…,an构成的有序数组

向量/点的坐标

列矩阵

行矩阵

行向量

列向量

分量

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量列向量组:1,2,…,s

矩阵A=(1,2,…,s)

矩阵A的秩

向量组1,2,…,s的秩

r(1,2,…,s)

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量行向量组:1,2,…,s

矩阵A的秩

向量组1,2,…,s的秩

矩阵A=12s…r(1,2,…,s)

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量r(1,2,…,s)

sr(1,2,…,s)

<sr(1,2,…,s)

=s1,2,…,s

线性无关1,2,…,s

线性相关《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans=(1,2,…,s),=b1b2bn…

,x=x1x2xs…,a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量=b1

b2

…bn=a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

a11a21…an1=x1+x2a12a22…an2+…+xsa1sa2s…ans

a11x1+a12x2+…+a1sxs

a21x1+a22x2+…+a2sxs…

………an1x1+an2x2+…+ansxs

=x11+x22+…+xss

Ax=有解能由1,2,…,s

线性表示Ax=有非零解1,2,…,s

线性相关《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量简记为A

:1,2,…,s,C

:1,2,…,n.若j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs

,j=1,2,…,n,即=12n12s《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量简记为B:1,2,…,s,C

:1,2,…,m.若i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12sm

1

2

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量矩阵的乘积Cmn

=

Ams

Bsn,=行向量i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs

,j=1,2,…,n,向量组的线性表示:

向量组的线性表示与矩阵乘积《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量

线性表示的传递性A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+2

2=12+3

=2(1+2)+(1+22)=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2)=1,《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量B能由A线性表示

A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,111121=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)211101=BF,=(1,2)211101111121=(1,2)3140C能由B线性表示一般地,C能由A线性表示.《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量矩阵等价与向量组等价初等行变换

矩阵A与B的行向量组等价B的行向量组能由A的行向量组线性表示A的行向量组能由B的行向量组线性表示初等行变换《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量矩阵A与B的列向量组等价B的列向量组能由A的列向量组线性表示A的列向量组能由B的列向量组线性表示初等列变换初等列变换《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量注:初等行变换(1)无法通过初等列变换实现矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.初等列变换(1)无法通过初等行变换实现矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量设A与B是同类型的矩阵,但是反过来,都未必成立.例如:(1)若它们的行向量组等价,则r(A)=r(B),从而可得A与B等价(相抵).(2)若它们的列向量组等价,则r(A)=r(B),从而可得A与B等价(相抵).则A与B等价(相抵),但它们的行向量组不等价,A=1000,B=0001,列向量组也不等价.《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量其中1,…,s是维数相同的列向量(1,2,…,s也是维数相同的列向量),则1,…,s也是线性相关的.

一些常用的结论

(1)含有零向量的向量组一定线性相关.(2)单个向量

构成的向量组线性相关

=.(3)两个向量,线性相关

与的分量成比例.(4)若1,…,s线性相关,则1,…,s,s+1,…,t也线性相关.

若1,…,s,s+1,…,t线性无关,则1,…,s也线性无关.

(5)任意n+1个n维向量线性相关.(6)如果向量组,…,线性相关,1

1

s

s

线性无关.若1,2,…,s线性无关,则,…,1

1

s

s

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量则I0与I等价.(7)向量组1,…,s

(s2)线性相关的充分必要条件是:其中至少有某一个向量可由其余的向量线性表示.(8)若向量组1,…,s线性无关,而1,…,s,线性相关,则

一定能由1,…,s线性表示,且表示的方式是唯一的.(9)若向量组I:1,…,s可由向量组II:1,…,t

线性表示,并且s>t,则向量组I是线性相关的.(10)若1,…,s线性无关,且可由1,…,t线性表示,则s

t.(11)若向量组1,…,s和1,…,t都线性无关,并且这两个向量组等价,则s=t.(12)设I0:1,…,r是向量组I:1,…,s的一个极大无关组,

一些常用的结论

《线性代数》《几何与代数》复习要点

三.向量这两个向量组的秩都是2,但它们不等价.事实上,I中的不能由II线性表示.)例如:

一些常用的结论

(13)若向量组I