山东省青岛市开发区第八中学2021年高三数学理测试题含解析

山东省青岛市开发区第八中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量=（m，2），向量=（2，﹣3），若|+|=|﹣|，则实数m的值是（）A．﹣2 B．3 C． D．﹣3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】将等式两边平方，运用向量的平方即为模的平方，结合向量的数量积的坐标表示，解m的方程，即可得到．【解答】解：若|+|=|﹣|，则（+）2=（﹣）2，即+2=﹣2，即=0，由向量=（m，2），向量=（2，﹣3），则2m﹣6=0，解得m=3．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．2.设函数Ｒ）满足，则的值是(

)A．3

B.2

C.1

D.0参考答案：D3.如图为某几何体的三视图，则其体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D试题分析:由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面为圆柱的轴截面，顶点在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且在上的射影为底面的圆心.由三视图数据可得，半圆柱所在的圆柱的底面半径，高，故其体积；四棱锥的底面为边长为的正方形，，且，故其体积，故该几何体的体积.考点：三视图的识读和理解.4.已知函数若关于的方程有六个不同的实根，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D5.程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）A．i≤90？ B．i≤100？ C．i≤200？ D．i≤300？参考答案：B考点： 循环结构．

专题： 图表型．分析： 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求．解答： 解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因为输出结果是23×53×113×233×473×953的值，结束循环，判断框应该是i≤100？．故选B．点评： 本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题．新课改地区高考常考题型．也可以利用循环的规律求解．6.已知函数（）图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（

）A． B． C．和

D．参考答案：C试题分析：因为函数上任一点的切线方程为，即函数在任一点的切线斜率为,即知任一点的导数为.由,得或,即函数的单调递减区间是和.故选C.考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数中的应用.7.（文）已知全集，，，则集合为

(

)A． B． C． D．参考答案：C：因为，，所以，所以.故选C.8.已知点A（，2），B（0，3），C（0，1），则∠BAC=（）A．30° B．45° C．60° D．120°参考答案：C【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】利用两个向量的数量积的定义，求得cos∠BAC的值，可得∠BAC的值．【解答】解：∵点A（，2），B（0，3），C（0，1），∴=（﹣，1），=（﹣，﹣1），则cos∠BAC===，∴∠BAC=60°，故选：C．9.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（）A． B．2 C． D．参考答案：C【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值．【解答】解：解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则由于|BC|=3|BF|=3|BN|，则直线l的斜率为2，∵|AF|=4，∴AM=4，故|AC|=3|AM|=12，从而|CF|=8，|CB|=6．故，即p=，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．10.已知集合，.若，则实数a的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小

．参考答案：90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】将异面直线所成角转化成证明线面垂直，根据题目的条件很容易证得线面垂直，则异面直线互相垂直．【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D若，B1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D∴B1A⊥面C1DB，而C1B?面C1DB∴B1A⊥C1B，故答案为90°【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12.已知的展开式中的系数是－35，则=

参考答案：1

略13.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程，（为参数）.则曲线C上的点到直线l的距离的最小值为________.参考答案：【分析】把参数方程，设极坐标化为直角坐标方程，求出弦心距，则即为所求，得到答案．【详解】直线的极坐标方程为，即为，化为直角坐标方程，把曲线C的参数方程（为参数），可得普通方程，表示以(1,2)为圆心，半径为的圆，则圆心到直线的距离为，所以曲线C上的点到直线的距离的最小值为．

14.已知，则

.参考答案：略15.二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为

参考答案：略16.若，则行列式=

．参考答案：【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】根据行列式的运算法则可得式=cosθ2﹣sinθ2，再利用二倍角的余弦公式化为1﹣2sin2θ，运算得结果．【解答】解：则行列式=cosθ2﹣sinθ2=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为．【点评】本题考查行列式的运算，二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为1﹣2sin2θ，是解题的关键．17.（4分）sin585°的值为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，

当时，，，

1—0+

极小

所以在处取得极小值1.（Ⅱ），

①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；

②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.

（III）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知①即，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以；

②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得；③当，即时，可得最小值为，因为，所以，故

此时，不成立.

综上讨论可得所求的范围是：或.

略19.如图，长为m＋1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上一点，且＝m．（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设过点Q(，0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C、D两点．试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分∠CPD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则x＋y＝(m＋1)2，

①由＝m，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，∴∴

②将②代入①，得(m＋1)2x2＋()2y2＝(m＋1)2，化简即得点M的轨迹Γ的方程为x2＋＝1（m＞0）．当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；当m＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆；当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆．（2）依题意，设直线CD的方程为x＝ty＋，由消去x并化简整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－m2＝0，△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－．

③假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分∠CPD，则直线PC、PD的倾斜角互补，∴kPC＋kPD＝0，即＋＝0，∵x1＝ty1＋，x2＝ty2＋，∴＋＝0，化简，得4ty1y2＋(1－2a)(y1＋y2)＝0．

④将③代入④，得－－＝0，即－2m2t(2－a)＝0，∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式对?t∈R都成立，∴a＝2．故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分∠CPD．略20.（09年扬州中学2月月考）（16分）已知为实数，数列满足，当时，，（Ⅰ）；(5分)（Ⅱ）证明：对于数列，一定存在，使；(5分)（Ⅲ）令，当时，求证：(6分)参考答案：解析:（Ⅰ）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而=

……(3分)

=.

…………(5分)

（Ⅱ）证明：①若,则题意成立…(6分)②若,此时数列的前若干项满足,即.设,则当时,.从而此时命题成立……(8分)③若,由题意得,则由②的结论知此时命题也成立.综上所述,原命题成立……………(10分)（Ⅲ）当时，因为,

所以=……………(11分)因为>0,所以只要证明当时不等式成立即可.而………(13分)①当时,……(15分)②当时,由于>0,所以<综上所述,原不等式成立………(16分)21.（本大题12分）

某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为元一本，经销过程中每本书需

付给代理商元的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为

元一本，预计一年的销售量为万本.

（Ⅰ）求该出版社一年的利润（