2020-2021学年北京市大兴区高二(下)期末数学试卷

5220202021年北京市大兴区二（下）期末学试卷一、单选题（本大题共10小题共40.0分52

已知𝑥

，则

B.

C.

D.

6

的展开式中常数项为

B.

C.

D.

从不同的礼物中选出3件别送给位学，不同方法的种数

B.

5

C.

5

D.

5

随机变量X的布列如表所示：X

P

m

则

B.

C.

D.

5.已知随机变𝜎

2

，2)，则

B.

C.

D.

6.以下散点图所对应的样本相关系数最大的

B.

C.

D.

7.甲和乙两个箱子中各装有10个小相同的球甲箱中有6红球个球中有8个球、白.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或，从甲箱子随机摸出球；如果点数为，，6，则从乙箱子中随机摸出1个，那么摸出红球的概率

7

B.

15

C.

715

D.

7第1页，共页

8.若C.

𝑥

B.D.

,9.若函数(𝑥

在区间上有最大值，则实数的值范围

B.

C.

D.

10.在下函

；𝑥

；𝑖

；

中，满足在定义域内恒立的函数个数)

B.

C.

D.

二、单空题（本大题共5小题，25.0分）11.设(

，若

，则______．12.甲经两个路口，在第一个口遇到红灯的概率，个路口都遇到红灯的率，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率．13.随机量的布列如表所示，．

P

杨三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉年所著《详解九章算法一书中，就已经出现了这个表揭了

开式的项数及各项系数的有关规.图第7行左到右第4数是_；n行所数的和______．已函

𝑥

，，现有下列结论：

至多有三个零点；，得，；第2页，共页

𝑒𝑒当2

时，在R上调递增．其中正确的结论序号______．三、解答题（本大题共6小题，85.0分）甲乙两人向同一目标各射击1次已知甲命中目标的概率，乙命中目标的概率，、乙之间互不影响．求、乙都命中目标的概率；求标至少被命中1次概率；已目标至少被命中，求甲命中目标的概率．某校学生会有名志愿者，其中高一人高二3人高三，现从这人中任意选取参加一个冬奥会志愿活动．求取的人来自同一年级的概率；设示选取的志愿者是高二学生的人数，求分布列和期望．已函

2

．若在,处的切线斜率为求(在区上最大值与最小值．

4

，求的值；第3页，共页

某场举行有奖促销活动，顾客消费每满元，均可抽一.抽箱里有3个球和3个球，这些球除颜色外完全相抽方由如下两种，顾客自行选择其中的一种．方案一：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个，连摸次每摸到次球，获现金100元方案二：从抽奖箱中，一次性摸出个球若摸出个球，则获现金200元若出红球，则获现金100元若没摸出红球，则不获得钱．若客消费满400元，且选择抽奖方案一，求他所获奖金X的布列和期望；若客消费满800元，且选择抽奖方案二，求他恰好获得奖金的概率；写抽奖一次两种方案所获奖金期望的大小关.(直写出结已函

1𝑙𝑛𝑥

．求(的极值；若于x的程无数解，求实数a的值范围；写经过原点且与曲线相的直线有几条直写出结第4页，共页

已函．求：，

；设率为k的直与曲线交两,，,𝑥，证明：21

．第5页，共页

𝑟𝑟+15答案和解析𝑟𝑟+151.

【答案D【解析】解𝑥

，

．故选：D．根据幂函数的求导公式求导即可．本题考查了幂函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．2.

【答案D【解析】解

的展开式的通项公式

⋅

𝑟

，令𝑟，得𝑟，可得展开式中常数项

，故选：D．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．3.

【答案【解析】解：根据题意，从件不同的礼物中选出3件别送给3位学，是排列问题，有种同方法，故选：A．根据题意，该问题为排列问题，由排列数公式计算可得答案．本题考查排列数公式的应用，注意排列、组合的定义，属于基础题．4.

【答案C【解析】解：由分布列的性质可得2，得，所以𝑋0.2．故选：．第6页，共页

2利用分布列的性质求出m值，然后由概率的分2本题考查了概率分布列性质的应用以及分布列求解概率的应用，考查了逻辑推理能力，属于基题．5.【答案【解析】解：因为随机变𝜎

2

，则，又(，所以−．故选：A．利用正态分布的对称性以及参的义进行分析求解即可．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，对正态分布N， 个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，考查了运算能力，属于基础题．6.【答案

2

中【解析】解：由题中给出的幅散点图可以看出，图2和负相关，相关系数小于0图1和正相关，相关系数大于0其中图1的相对更集中，所以相关性更强，故样本相关系数最大的是．故选：A．先由散点图判断是正相关还是负相关，然后再观察散点哪个更集中，即可得到答案．本题考查了由散点图判断两变量的相关性系的比较越中相系数越接近于或，考查了识图能力与推理能力，属于基础题．7.

【答案【解析】解：由题可知，摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，概率为，5第二种：从乙箱中摸出红球，概率为15

，所以摸出红球的概率为515

，第7页，共页

22𝑥222𝑥2𝑥𝑥22摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，第二种：从乙箱中摸出红球，两种情况概相加即可求解．本题考查古典概型的概率求解，考查分类讨论和运算能力，属于基础题．8.

【答案C【解析】解：令(，，当时的负不能确定，故与

的大小不能确定，故选项，误；令(，，2当时，在上调递增，因为，所以

，2

1

1

2

，即

，故选项确，选项D错．故选：．构造函数，用导数行研究单调性，即可判断选项，造函

𝑥

，利用导数研究其单调性，即可判断选项，．本题考查了函数值大小的比较，利用导数研究函数单调性的应用，解题的关键是构造函数，考了逻辑推理能力，属于中档题．9.【答案【解析】解：令(，，令，得；，得，所以上调递增，在+上调递减．又，出函数的大致图象

2

，第8页，共页

00000000结合图象，由题意可，得，所以实数的值范围是．故选：B．先根据单调性画出函(的致图象，再形结合建立不等式，解不等式可得答案．本题考查函数的最值，考查导数的应用，考查数形结合的数学思想，考查直观想象的核心素养属于中档题．10.【答案，，【解析】解：对𝑥2

(2，即𝑥𝑥，不足题意；对于

，导数

，设

𝑥

，

，当时，，递增；当时，递减．所以在处取得最小值，即，故符题意；对于𝑥

，导数，设())𝑥𝑖，第9页，共页

，，由，得有数个解，，对于

2

，导数−2，)2−2(

2

，即𝑥𝑥，满题意．故选：B．分别求得给出的函数的导数，结合因式分解和导数的运用，求得最值，可判断结论．本题考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于档题．11.

【答案【解析】解，

，)

0

，故答案为：根据导数的运算法则求导，再代值计算即可本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．12.

【答案【解析】解：设第一个路口遇到红灯为事件A，第二个路口遇红灯为事件B，则(，，所以

则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率．故答案为：．利用条件概率的概率公式求解即可．本题考查了条件概率的求解题的关键是掌握条件概率的概率公式了辑推理能力基础题．第10页，共18页

2，2，222，2，22．2𝑛−122666662𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛−1𝑥𝑒𝑥𝑒13.

【答案】【解析】解：由题意可得，，3所以

2233224233333

6227故答案为：．先利用分布列的性质求出，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．本题考查了分布列的性质，数学期望和方差的求解，解题的关键是掌握数学期望和方差的计算式，考查了运算能力，属于基础题．14.

【答案】2【解析】解：根据题意，在图中，第有数，为1第2行数，依次、，第3行数，依次、、，则第有7个，次、

、，故第7从左到右第数

，第n行数次

其和为2

，故答案为：，．根据题意，分析图中杨辉三角的各行数字之间的规律、关系，据此分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，涉及杨辉三角的相关知识，属于基础题．15.

【答案【解析】解函数的零点个数，即方的解的个数，因为当时，所以是方的解，所以方程的解的个数等价于方的解的个数，2令(

𝑒

𝑥2

,，(4

2

第11页，共18页

𝑥2𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑒𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥22𝑚𝑛2𝑒当或时，以在和上单调递增，𝑥2𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑒𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥22𝑚𝑛2𝑒当时，以在上调递减，当时，当时，，时，又，作出的大致图象，42因为方程的解的个数等价于直图交点的个数，22所以数形结合直与(图象最多3个点，2故函数至由3零点正．，，价于，2由的析可知，当，所以，24由𝑒

，4所以不存在，得，错．𝑒

𝑥

，当时𝑒

在上恒成立，所以(在上调递增；当

𝑒

时，令𝑒

，𝑒

，，解𝑙𝑛2，当𝑙𝑛2𝑎时，在𝑙𝑛2上调减；当𝑛2时，，在𝑛2+上调递增，所以

𝑚𝑛

𝑛2𝑛2𝑛2，所以在恒成立，所在R上调递增．故正确．故答案为：．第12页，共18页

𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒33303312321330𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒333033123213303不方解所以方程(的的个数等价于方的的个数结导知识作2出函数数的大致图象，方的的个数即直与图交点的个数，再数形222结合可判断；，，价于，合求(的值即可判断；2当2

时，判在R上否成立可判断．本题考查函数的零点、方程的解和函数图象与x轴点三者之间的关系，查导数的应用，利用导数研究函数单调性和最值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．16.

【答案】解设、乙都命中目标为事件，则(．设标至少被命中1次事件，则(．设命中目标为事件C，，

．【解析】利相互独立事件的概率乘法公式即可求解．目至少被命中包含种况，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解．利条件概率公式即可求解．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，条件概率公式，属于中档题．17.

【答案】解由意可知，选取的人来自同一年级的概率为3510

；由意可知X的能取值为，，2，3，则(

3710

；37102)37103710

；；；所以X的分布列为：第13页，共18页

00020050002005X

3P

35

63

21

故E×

35

63

2

21

+3×

10

．【解析】利古典概型的概率公式求解即可；先出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期的计算公式求解即可．本题考查了古典概型的概率公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.

【答案】解函的义域为，求导得3

2

，因为曲线在点,处切斜率为

，3所以

，3即

0

3

，解得

=−

3

．令0，

2

0解得，或，3因为，当x变时，的变化情况如表所示：x

,

单调递减

27

单调递增

所以在区间上最大值是1最小值．27【解析】根导数的几何意义可求解；先函数的单调性，进而求出极值，比较极值和端点值大的为最大值，最小的为最小值．第14页，共18页

22，22111102211232023本题考查导数的几何意义，考查导数在求函数最值中的应用，考查数学运算和数学抽象的核心养，22，2211110221123202319.

【答案】解顾消费满400元获一次抽奖机会，由方案一的规则，每次摸到红球的概率是，2所以X的可能取值为0100，，则(

2

，(，2200)22

24故X分布列为：X

P

4

4所以

；424因顾客消费满，所以他可以抽奖2次他恰好获得元奖励有两种可能：次元，一次0元者两次各得100元所以他恰好获得200元奖金的概率×

33333322226666

25

；若择方案一：可知，所获奖金的期望为元若选择方案二：设所获奖金为随机变量Y，Y可能取值为，，，所以

336

，336

，200)336

，所以

，所以两种方案所获得奖金的数学期望相等．【解析】先出随机变量可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数期望的计算公式求解即可；利分类计数原理以及古典概型的概率公式求解即可；第15页，共18页

√时，取最大值ln√，故当ln√√𝑙𝑛分求出两种方案获得奖金的数学期望，比较即可得到案．√时，取最大值ln√，故当ln√√𝑙𝑛本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.

【答案】解函

𝑙𝑛

，则的定义域为，且

𝑙𝑛2

，令，，当时，单调递增，当时，，则单递减，所以当时有大值，极小值；因关于x的程无实数解，等价于方𝑙𝑛

2

无数解，令(𝑙𝑛𝑥

2

，价于函数无点，

12

2

，当时，对恒成立，所以上单调递增，又，

𝑎2

2，所以函数零点，不符合题意；当时，，得√或√22当时，单递增，当时，，则(单递减，

舍，所以当22𝑎

2𝑎22<0即时，函数无点，2当

22

，即时，2

2

，所以函数零点，不符合题意．综上所述，实数a的值范围𝑙𝑛，设点坐标

2

,

．因为

𝑙𝑛2

，故切线的斜率为

𝑙𝑛2

，所以切线方程为

𝑙𝑛2

，第16页，共18页

𝑙𝑛𝑡1𝑡𝑡22221要证2121只需证2211𝑙𝑛𝑡1𝑡𝑡22221要证2121只需证221121即证221121211则有

𝑙𝑛𝑡𝑡

𝑡)即2

，所以切点只有一个，故经过原点且与曲线相的直线有1．【解析】求函的定义域以及，过研究的负确定函的调性，由极值的定