立体几何中的向量方法求距离

立体几何中的向量方法二：求空间距离1.点到平面的距离定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即这个点到平面垂线段的长度。几何法：利用定义先作出点P到平面的垂线段PO，再归结到某三角形中计算PO的长度或用等体积法。PO

点到平面的距离公式PA如图，设P是平面α外一点，点P到α的距离为d,作PO⊥α于O,A是α内任一点,n是平面α的法向量，则Od例1.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFE解：如图所示建立空间直角坐标系,则xyzSBCDA解：如图所示建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),xyz练习1：如图SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90,SA=AB=BC=1，AD=2，求点A到平面SCD的距离。∠2.直线到平面的距离定义：与平面平行的直线上任一点到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由以上定义可知,直线与平面的距离,本质上是点到平面的的距离,所以，计算公式还是：PdAO如图建立直角坐标系,则B(2,2,0),练习2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是BC和CD的中点,求直线BD与平面C1MN的距离.xyz解:∵BD//平面C1MN,∴只需求点B与平面C1MN的距离，3.两个平行平面的距离★和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。★两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。★两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。★求两平行平面的距离，其实就是求点到平面的距离。★所以计算公式还是:βdAOPα如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,M,N分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1

的中点.

(1)求证：平面AEF∥平面BDMN;(2)求平面AEF和平面BDMN的距离.xyzO例2.

4.异面直线的距离α★和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。★两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。★两条异面直线的公垂线的长度，叫做两条异面直线的距离．

异面直线的距离公式如图，设CD是异面直线a,b的公垂线段,P是直线a上任意一点,A是直线b上任意一点,两条异面直线的距离为d,

是与异面直线a,b都垂直的向量，则dbAPCDa例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1xyz解：如图建立空间直角坐标系,则

ABCDMNxyz练习3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=4,AD=3,AA1=2,M,N分别为CD,BB1的中点,求异面直线MN与A1B的距离.5.点与直线的距离定义：从直线外一点P向直线引垂线，点P和垂足O之间的距离叫做点P到直线的距离。dPAO★设A是上不同于垂足O的一点，是的方向向量，则★点与线的距离的计算方法较多，下面介绍一种。例4：三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=3，PC=6，D是PC的中点，G是△ABC的重心，求G到直线AD的距离。ABCxyzpGD解:如图建立空间直角坐标系，由重心坐标公式得G（1,1,2），小结：1：空间距离包括点与点、点与线、点与面，线与线（平行或异面）、线与面、面与面六种形式。但可化归为点与点、点与线、点与面、线与线（异面）四种形式。2：点与面、线与面、面与面、线与线（异面）有统一形式的计算公式补充.如图,已知一个结晶体的形状为平