2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷

𝑥−2𝑥,𝑥−2𝑥,𝑛22020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，16.0分

已知函

2

是奇函数，且，数，则(

B.

C.

D.

−2

函数

2𝑥

⋅𝑠的图象大致为B.C.D.

若集合，2，)

B.

{1,2}

C.

{2,3}

D.

{1,2,3}

已知函

，函数在间

,上好有一个零，则的值范围为

𝑒

,

B.

,∪𝑒C.

𝑛22

,D.,𝑙2二、单空题（本大题共10小题共40.0分）

设曲线

在点处切轴交的横坐标

，则

220152014

的值为_．

函数

2𝑐𝑜𝑠𝜃

的最小值为_．

不等式

2

的集．

半径为的上，有一段弧长，弧所对的圆心角的弧度数．

的在区,212的在区,212

若幂函

𝑎

经过点，．设数且，数(，的函数图象经，𝑎．𝑎已下列四下命题：函

满足：对任,有12

；函𝑙

𝑥

均是奇函数；函

切线斜率的最大值是；函

12

44

上有零点．其中正确命题的序号______．定在

上的函数若关于的方程

有个同的实根

，则

___________已，数

的最小值为_．设(是义上的以为期的奇函数若是______．三、解答题（本大题共4小题，44.0分

𝑎1

则数的取值范围已函(44

与(𝑎⋅4

4

𝑎)其是函数．求的值的值域；求的义域；若的象且只有一个公共点，求实𝑎的取值范围．二函𝑎

(𝑎的象轴个点的横坐标分别,

．证

𝑥

；证；若𝑥

满足不等式|，求的值范围．张界某景区为提高经济效益对某一景点进行改造升级而大内需高游增加值，经过市场调查，旅游增加万元与投入万之间满足𝑎

𝑥𝑥𝑛

，为数．当𝑥万时元；𝑥万元时万．参10数据：，，求𝑥)的解析式；求景点改造升级后旅游利的大．利旅增加值投入已函𝑥)𝑥𝑎𝑥．讨函𝑥)零点个数；若𝑥，数𝑥)𝑥

2

在间有值，求实的值范围

2𝑥02𝑥0参考答案解析1.答：解：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值，题目有一定的难度．由已知是题的关键．解：因为函数是奇函数，且−2，数𝑔(所以，，又因为，所以，得到−2，解得，．故选A．2.答：

,解：：根据题意，

22

⋅𝑠，当时有

20

，除、当，，，排；故选：根据题意，用排除法分析：和，出函数的值，由排除法分析选项即可得答案．本题考查函数的图象分析，注意特殊值法的运用，属于基础题．3.

答：解：：中等式变形得，解得：，，，，故选：求出中等式的解集确定，出与的集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.

答：

1𝑥0001．1311311𝑥0001．131131解：：由题意可得函的象和直在区间

14

,4]上恰好有一个交，如图所示：显然，当时满足条件．当和相时，设点

,𝑙，由导数的几何意义可得

，解得

，切线的斜率为当过

14

,时

414

故的范围故选：．

1

,，由题意可得函数的象和直在间

14

,上好有一个交点结合求的范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于基础．5.

答：解：：

求，′

，令得点处切线的斜率1，在点的切线方程1

，不妨设，

，则⋅⋅𝑥⋅34

，从而

1

⋅𝑥𝑥12014

1

1．故答案为：．要求

1

，需求⋅𝑥⋅⋅

的值，只须求出切线轴交点的横坐标即可，故先利用导数求出1处导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求能力、化归与转化思想．属于中档题．

322𝑐𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛cos𝜃𝜃𝜃cot1(cot2故𝜃3222𝑠𝑖𝑛2𝑐𝑜2𝑠𝑖𝑛cos𝜃(cot𝜃13𝑙322𝑐𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛cos𝜃𝜃𝜃cot1(cot2故𝜃3222𝑠𝑖𝑛2𝑐𝑜2𝑠𝑖𝑛cos𝜃(cot𝜃13𝑙3006.

答：4解：解：

2𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑐𝑜𝜃

2𝑠𝑖𝑛

2

𝜃𝜃𝜃𝜃22221(12𝑐𝑜22

tan

2

1tan2tan2

𝜃2

2

𝜃𝜃𝜃1324

，当cot时函取最小值为，224故答案为：．4由条件利用同角三角函数的基本关系角式函数的解析式化2，再利用二次函数的性质求得它的最小值224

𝜃𝜃𝜃𝜃22221(12𝑐𝑜2)2

本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，二次函数的性质的应用，属于中档题．7.

答：解：：2，原不等式可转化为：

2

4，即，1，1

，2原等式的解集{．故答案．本题先进行换元，将原不等式转化为一元二次不等式，解出一元二次不等式后，再解相应的指不等式，得到本题结论．本题考查的是解不等式，解题的方法是换元法，利用换元可以化难为易，本题难度不大，属于础题．8.

答：解：：半径1的上，有一段长3，则由弧长公式可得：

3，𝑟100故答案为：．由已知利用弧长公式即可计算得解．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．9.

答：

𝛼，12)𝛼，12)111111解：：设幂函数，幂函数的图象经过，所以

𝛼

，，故答案为：．设出的解析式，把点入求𝛼即可．考查求幂函数的解析式，指数与对数简单运算，基础题．10.答：解：：常数且，数函数的图象经过，，解得．故答案为：．

，的函数的图象经过由反函数的性质得函

的象经过由此能求．本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思，是基础题．11.

答：解：：对，数，令

，，

2

，12

；5

[，故错；对于函数(

的定义域且(()，所以，，

为函数；同理可得，，

是奇函数，正确；𝑥对于，数

的导函

，函数

切线斜率无最大值，错误对于，数

12

𝑥，4

44

，所以，

12

4

为上增函数，又)24，2364442716

，

11111122252211112212≥211111122252211112212≥22所以，

12

4

在区间

,上零点，错误．43故答案为：．

中

2得1；[212，可判；2奇偶函的概念可判断函；

1

均是奇函数从而可判断𝑥，用导数的几何意义可求得函−2

切线斜率，从而可判；，用零点存在定理可判断函24

在区间

,上零点．43本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．12.答：解：题分析：因为个同的根，必有

对应有三个不同的根，还有一个

对应有两个不同的根．

对应的根分别是，，不妨设为

．

对应有两个不同的跟关于

对称，所以

，故

，考点：方程的零点分布13.

答：解：：，1．函数

−1

−1

1

111−1−1

2=，且仅当时取等号．函数

−1

的最小值为．故答案为：．变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14.

答：

23

𝑎𝑎𝑥4444444𝑎𝑎𝑥4444444解：：是定义在上以为期的奇函数，则，，又，，即

，即为，即有𝑎𝑎，解得，𝑎．故答案为：

先根据周期性和奇函数，化成，后根据已知条件建立关系式，解分式不等式即可求出实𝑎的取值范围．本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，周期性和奇偶性都是函数的整体性质，同考查了分式不等式的求解，属于中档题．15.

答：：由数是函数可知，4

4

，

4

4−𝑥

，对切恒立，

．4

4的域[--------------------------------------------------------------分当𝑎⋅

𝑎时函数解析式有意义当𝑎时，当𝑎时，

，得；，得----------------------------------------分综上，𝑎时，定义域

；当𝑎时定义域为

4

；---------------------------------分函与(的象有且有一个公共点，即方程

4

(4𝑎𝑎)有且只有一个实根，4

⋅2𝑥4331，1或，⋅2𝑥4331，1或，-----------------------分4⋅𝑥，𝑥1111111，，1121𝑥211即方程

𝑥

14𝑥3

，有且只有一个实根------------------------------------令

𝑥

，方

1有只有一个正根，3当1时，

34

，不合题意；当1时得

或，4若，不题意；4若，则满足要求；分若eq\o\ac(△,)，此时方应有一个正根与一个负根，

3综上，实数的值范围是----------------------------------------分解：根偶函数的定建立方程关系即可的，化简函数，即可求出𝑥)值域；当⋅2

𝑥

时函数解析式有意义，分类讨论即可求函𝑥)的义域；3根函𝑥)的象有且只有一个公共点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．16.

答：证：由题意得𝑥𝑥1

111

，𝑥)(1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥11；11证：−4，得，4𝑥)(1𝑥1，1而𝑥)(1𝑥𝑥𝑥−41𝑥，+𝑥，1故𝑥

，；解𝑥

𝑥𝑥𝑥𝑥

1，10𝑥

110

𝑥，1−11𝑥1

10

，

12111211111=−110,121221，由112121011012251𝑥12111211111=−110,121221，由112121011012251𝑥

1𝑥𝑥

1𝑥2

1𝑥

，𝑥2当

1𝑥

时，2的最大值是，4当

11𝑥11

时，的最小值是，121故的范围

1011214解：题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问，是一道中档题．根韦达定理求𝑥𝑥，⋅𝑥

的值，证明即可；由eq\o\ac(△,)0，求出的范围，从而证出结论；求𝑥

𝑥1𝑥𝑥10𝑥

，到10

𝑥，求出范围即可．117.

答：：由件{

2

𝑛1=19.25020𝑛250

分解得

1100

,分则𝑥)

𝑥100

10150

𝑥

𝑥10

𝑥10).分由𝑥)𝑥)𝑥

𝑥100

𝑥5010

𝑥≥则𝑥)

𝑥50

511𝑥𝑥50𝑥50𝑥

分令𝑥)0则𝑥舍或𝑥=当𝑥时，𝑥)，因此在是增函数；当𝑥(50,时，𝑥)0，因此在50,上是减函数𝑥为极大值点分即该景