(通用版)2021版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数5第5讲指数与指数函数教案理

n1－.n1－第5指与数数1．根式(1)根式的概念n①假设＝，么x做a的n次根，其中n>1且∈N.式子a做根式，这里n叫做根指数，叫被开方数．②的n次方根的表示：x＝

x＝，当n奇数且∈Nn时，x＝±，当n偶数且∈N时(2)根式的性质n①(a)＝(∈N，n>1)．为奇数，②a＝||＝

n为偶数2．有理数指数幂(1)幂的有关概念mn①正分数指数幂＝a(>0，，∈N，且n>1)．m②负分数指数幂an＝＝m

1(>0m，∈N，n>1)．na③0的分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a＝>0，∈Q)②(＝(>0，，∈Q)③()＝b(>0，>0，r∈Q)．3．指数函数的图象及性质函数图象

y＝(>0，且≠1)0<<1

a>1

.图象特征定义域值域

在轴方，过(0，1)当x逐渐大时，图象逐渐下降当逐增大时，图象逐渐上升(0，＋性

单调性

减

增质

函数值

当x＝0时，＝1变化规律

当<0时，>1；当>0时，0<<1

当x<0时，<1；当>0时，>1判断正误(正确的打“√〞，错的打“×〞)4(1)〔－4〕＝－4.(n(2)a与a)

都等于a(∈N))21(3)(－1)4－1)2＝－1.()(4)函数y＝3·2与＝2

都不是指数函数．()(5)假设>，那么>.(答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)×(教材习题改编有以下四个式子3①〔－8〕＝；②〔〕＝－10；42018③〔3－〕＝3π；④〔－〕＝－.其中正确的个数()A．1C．3

BD解析：选A.①确，〔－10＝|－10|＝10，②错误；4

〔3－〕

－＝(3－π)＝，③错误，

2018

〔－〕

＝|ab＝

当≥时，应选A.当<时(2021·东北三校联考函数fx)＝(a＞0≠1)图象恒过点A，以下函数中图象不经过点A是)

17152725.17152725A．＝1C．＝2－1

B．＝|－2|D．＝log(2)解析：选由()＝(＞0a≠1)图象恒过点1，又＝1－1知(，1)在y＝1－x的图象上．函数(＝1－的值域为_______解析：由1－e≥0，≤1故函数fx)的定义域为x|≤0}．所以0<≤1，－1≤－<0≤1－<1函数f(的值域为[0，1)．答案：，1)(教材习题改编假设指数函数y＝(a－1)x在－，＋∞)为减函数，那么实数a的取值范围是．解析：由题意知0<－1<1即1<得－2<<－1或1<<2.答案：－2，∪(1，2)

<2，指数幂的化简与求值学用书P23][典例引领化简以下各式：－21－－＋2－1)；31(2)3

211·(－3－b)÷(4a3)2·.21－13【解】(1)原式＝－7＋000105＝－49＋－1＝3351(2)原式＝a－2

113÷(23－a2221151355＝－－b－·22＝－－.42244

277－.277－[提醒运结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．[通练习]41．化简16x(<0，<0)得)A．2xC．4x解析：选D.因为<0，<0，以

BxyD．－2111116x＝(16·)4＝(16)4·()4·()4＝2||＝－2.2．化简以下各式：12－0.5(1)(0.027)3＋－；1(2)

12〔4ab〕·.1〔0.1〕··〕2

1125＋

259＝

9559＋－＝.1003310032〕2(2)原式＝33102－233162－28＝＝.353102－2指数函数的图象及应用

(1)函数f(x)＝

.[典例引领的图象如下图，其中a，b为数，那么以下结论正确的选项()A．>1，<0B．>1，>0C．0<<1>0D．0<<1<0(2)假设方程|3－1|＝有解，那么k的取范围________．【解析】(1)由f()＝b

的图象可以观察出函数(x＝b

在定义域上单调递减，所以0<()＝ab

的图象是在()＝

的根底上向左平移得到的，所以b<0.(2)函数y＝|3－1|的图象是由数＝3的象向下平移一个单位后，再把位于x轴下的图象沿x翻折到轴方得到的，函数图象如下图．当＝0或≥1时，线＝与数y－1|的图象有唯一交点，所以方程有一解．【答案】(1)D(2){0}∪[1，∞)1.假本(条变为：方程－1有解，那么的值范围_．解析：作出函数＝3－1y＝的象如下图，数形结合可得>0.答案：，∞)2.假本(的件变为：函y＝|3－1|＋的象不经过第象限，那么实数的值范围是．解析：作出函数＝|3＋图象如下图．由图象知k≤－1即∈(∞，．答案：－，－1]

a1a13.假将本例2)变为函数y－1|在－，上单调递减，那么k的取值范围如何？解：由本例2)作出的函数＝|3－1|图象知，其在－∞，0]上单调递减，所k∈(－∞，0]．指数函数图象的画法及应用画数函数＝a(>0且a≠1)的图象，应抓住三个关键：(1，a，(0，1(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[通练习]1．函数fx＝1－

的图象大致是()解析：选A将数解析式与图象比照分析，因为函数)＝1e是函数，且值域(－∞，0]，有A满足上述两个性质．2．假设直线ya函数＝|－1|(>0且≠1)的图象有两个公共点，那么a的值范围是________．解析：(1)当0<a<1时，＝|－1|的图象如图①.为＝2与y＝|－1|的图有两个交1点，所以0<2a<1.所以0<<.2(2)当>1时，y＝|a－1|图如图②，而y＝2a>1不能与＝|－1|两交点．综1上，0<a<2答案：2指数函数的性质及应(高频考)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空

1111421【解析】把b化为b3，而函数y＝在上减函数，1111421【解析】把b化为b3，而函数y＝在上减函数，>，所1x11111题的形式出现．高考对指数函数的性质的考察主要有以下三个命题角度：(1)比拟指数幂的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)研究指数型函数的性质．[典引领]角度一比拟指数幂的大小214a＝－，＝以关系式中正确的选项()3A．<<bC．<<b

B．<<cD．<<c4423<3331<b<c.【答案】角二解简单的指数方程或不等式，<0，设函数f()＝假f)<1那么实数a取值范围是()x，≥0A．(－∞，－3)C．(－3，1)

B．(1，＋D－，∪(1＋aa－3【解析】当<0，不等式f()<1可化即，即，1因为0<<1，所a>－3，时－3<a；当a≥0时不等式f()<1可化为a<1，20≤<1.故a的取范围是，1)，应.【答案】C角度三研究指数型函数的性质函数(＝

ax2－4＋3.(1)假设a＝－1，求f()的单调区间；(2)假设x)有最大值3，求a的值(3)假设x)的值域是0，＋，a的．1【解】(1)当＝－1时fx＝

－－4＋3，

11令()－

－4＋3

.由于(在－∞，－2)上单调递增，(，∞)单调递减，而＝

t在R上单递减，所以)在－∞，－2)上调递减，在－2＋∞)单调递增，即函数f(x的单调递增区间是－2＋，单调递减区间是(－∞，－2)．1(2)令(x＝ax－4＋3f(x)＝

〔x〕，由于f(有最大值3，所以()应有最小值1，，因此必＝－1，

解得＝1即当f(有最大值3时a的等于1.1(3)令(x＝ax－4＋3f(x)＝由指数函数的性质知，

〔x〕，1要使y＝

g〔〕的值域为0，＋．应使g(＝ax－4＋3值域为，因此只能a＝0.(因为假设≠0，那么g()二次函数，其值域不可能为R)故()值域(，＋∞)a的值0.有关指数型函数性质的常考题型及求解策略题型比拟幂值的大小解简单指数不等式探究指数型函数的性质

求解策略(1)能化成同底数的先化成底数再利用单调性比拟大.(2)不能化成同底数的，一般引“1〞等中间量比拟大小先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解与研究一般函数的定义域、单调区间、奇偶性、最值值域等性质的方法一致[通练习]

axb1xx1axb1xx111．函数yx2

＋2－1值域是)

.A．(－∞，4)C．(0，4]

B．(0，＋D．[4，＋1解析：选C.设＝＋2x－1，那么y.21因为，21所以y＝()为于t的函数．2因为t＝(－2－211所以0<＝(≤()＝422故所求函数的值域为0，4]．2．(2021·河南南阳、信阳等六模)、b∈(0，1)∪(1＋∞)当>0时，1<<，那么()A．0<<<1C．1<<

B．0<<b<1D．1<<b解析：选C.因x>0时1<，所以>1.x因为x>0时，所以x时a所以>1，以a>.b所以1<<，选C.3．函数y＋·3－3在区间－2上单调减，那么的值范围________．解析：设t＝3，那么＝9＋·3－3t＋mtx∈[－2，2]所以∈

.又函数y＝9

＋·3－3区间，2]单调递减，即＝m故有－≥9，得m≤2所以m的取值范围为(－∞，．答案：(－∞，－18]

＋－3在间

上单调递减，

21213.21213n

na与)区别n(1)a是数

的次方，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这式子的值受n的奇偶限制．n(2)(a)是数a的n次方的n次幂，其中数的值由的偶决定．指数函数的图象与性质(1)利用性质判断根据指数函数＝图象及性质，判断所给函数的定义域、单调性、函数(负等．(2)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在轴右，图象从下到上相应的底数由小到大；在左侧，图象从下到上相应的底数由大到小．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域(1)y＝的义域就是()的定义域．(2)求＝a

和＝()值域的解法．①形如y＝

的值域，要先令u＝x)，出u＝()的值域，再结合y＝的调性求出y＝的值域．假设a取值范围不确定，那么需要对a展分类讨论：当0<<1时＝u

为减函数；当a>1时y＝为函数．②形如y＝a)的值域，要先求出u＝x值域，再结合f(u)的单调性确定y(的值域．与指数函数有关的复合函数的单调性利用复合函数的单调性判断形如＝a的数的单调性，它的单调区间与fx)的单调区间有关：(1)假设>1，函数()单调增减区即函数y＝的调增减)间．(2)假设0<a<1函数(的单调增(减)区间即函数y＝的调(增区间．易错防范(1)指数函数y＝(>0，a≠1)的图和性质与a的值有关要特别注意区分a>1或0<a(2)在解形如＋·a＋＝0或＋·a＋c≥0(≤0)的数程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元〞的范围．21．化简a3·－÷a－b33

的结果()

3bb11解析：选A.因为)＝3－，且定义域为R所以f－)＝3－113bb11解析：选A.因为)＝3－，且定义域为R所以f－)＝3－1112A．－6C．－112解析：选C.原＝4÷－(－－－3336＝－6ab＝，选C.b

8B．D．－6ab12．(2021·高考北京卷函(x)＝3－A．是奇函数，且在R上增函数B．是偶函数，且在R上增函数C．是奇函数，且在R上减函数D．是偶函数，且在R上减函数

x，那么()()xx

－xx＝＝x3－

＝－f()，即函数(x)是奇函数又＝3

在R上增函数y＝

x在R上减1函数，所以f(x)＝3－

x在上是函数．应选A.3．(2021·湖北四市联)函数()＝2－2那么函数＝|()|的图象可能是()，解析：选B.＝|(＝|2＝易函数，

＝|(x)|的象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)()|≥0.又|()|在－∞，1)上单调递减，应选B.14．假设x2＋1≤1A．[，2)81C．(－∞，]8

x，那么函数y＝2的域是)1B，2]8D．[2，＋1解析：选B因22≤

－2

x

，那么x＋1≤4即x＋2x－3≤0.所以3≤≤1.

31122.311221所以≤y815．假设函数fx＝(a>0，≠1)足(1)＝，么f(的单调递减区间()9A．(－∞，2]C．[－2，＋11解析：选B.由(1)得a＝.99又>0，

B．[2，＋D－，－2]1所以a＝，因此f()＝3

|2－4|.因为g(＝|2x－4|[2，＋∞)上单调递增，所()的单调递减区间是2，＋∞)．10－26．化简：×－(0.01)．1111211116解析：原式1＋××－＋－＝.443106101516答案：157．(2021·陕西西安模拟)假设数f()＝

－2a>0，≠1)图象恒过定点

，那么函数f(x在0，3]上的最小值等于________．解析：令x－2得＝2且(2)＝1－2，以函数x)的图象恒过定点(2，1－2)，1因此x＝2a＝，是f(x＝3

x－2－，x在上单调递减，故函数f(x)在031上的最小值为(3)－31答案：－38．函数fx＝＋(a＞0，≠1)定义域和值域都[－1，0]那么a＋＝________，解析：①当a时，数()＝＋在[－1，0]为增函数，由题意无解．②当0<<1时，函数fx)＝＋b

在，0]上减函数，由题意

a＋＝0a＋＝－1

解得1，3所以＋＝－2，

2.23答案：－229．函数fx＝

||－.(1)求(x的单调区间；9(2)假设x)的最大值等于，a的．4解：(1)令＝||－a，那么()＝

t，不管取何值在－，0]单调递减，在2[0，∞)上单调递增，又y

t是单调递减的，因此f(的单调递增区间(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．9(2)由于x)的最大值是，49且＝4

－2，所以g(＝||应有最小值2，从而a＝2.10．数fx＝(>0，∈R)(1)假设x)为偶函数，求b的值(2)假设x)在区[，∞)上是增函数，试求，应足的条件．解：(1)因为fx)为偶函数，所以对任意的∈R都有(－＝)，即＝

，|＋b|＝|－＋b|，解得＝0.，(2)记(x＝|＋－b.①当a>1时)在区间[2，＋上增函数即()区间，＋∞)是增函数，所以－≤2≥②当0<<1时，)在区间[2，＋∞)上是增函数，即()在区[2，＋∞)是减函数，但h()在区间－，＋∞)是增函数，故不存在，的，使f(在区[，＋∞)是增函数．所以f(在区间2，＋上是增函数时，b应满的条件为>1且b≥

1解析：－)2－11解析：－)2－111．(2021·河南濮阳检测假“>a〞是函数()

x＋－的象过第三象限〞3的必要不充分条件，那么实数a取的最大整数()A．－2B．－1CD．12解析：选B.因为(0)m＋，以函数fx)图象不过第三象限等价于＋≥0即≥322－，以>〞是“≥－〞必要不充分条件，所以－，那实数a能的最大整33数为－2．(2021·高考全国卷Ⅰ)设x，，为数，且＝3＝5，那(A．2x<3<5C．3y<5<2

Bz<2<3Dy<2<5解析：选D设2＝3＝5＝k>1，所以＝log，＝logk，＝log因为x9log232log3－3log2log3－log8－3logk＝－＝＝＝>0，所2>3；logloglog2·log3log2·log3log2·log3kkkkk353log5－5log3log5－log因为3－＝3logk－5log－＝＝＝logloglog3·log5log5kkk125log243log3·log5k

25<0，所以3<5z；为2－5＝2log－5log＝－＝loglog5k25log2log5－5log2log－log232＝＝<0所以5>2.所以5>2>3，应选D.log2·log5log5log2·log5kkkk13．假设不等式m－)2－．

x<1对一x－∞，－1]成立，那么实数的值范围是x形为m－<

2.设＝

x，那么原条件等价于不等式m－<＋t≥2时成立．显然＋

在≥2时的最小值为6，所以

－<6解得2<m<3.答案：－2，3)，0≤<1，4．函数f(x＝1设>≥0假设a)＝(b，那么·(a的值范围是2－，≥12．

3.3解析：画出函数图象如下图，由图象可知要使>≥0f()＝(同时成立，1那么≤b2b·()＝b·(b)＝