山东省青岛市开发区致远中学2023年高二数学理联考试题含解析

山东省青岛市开发区致远中学2023年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆与的关系为（

）A、有相等的长、短轴

B、有相等的焦距C、有相同的焦点

D、有相等的离心率参考答案：B略2.设正方体的棱长为2，动点在棱上，动点P,Q分别在棱AD,CD上，若EF=1,则下列结论错误的是（

）A.B.二面角P-EF-Q所成的角最大值为C.三棱锥P-EFQ的体积与的变化无关，与的变化有关D.异面直线EQ和所成的角大小与变化无关参考答案：C3.下列说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．若命题，则命题C．命题“若，则”的逆否命题为真命题D．“”是“”的必要不充分条件参考答案：C略4.已知a为实数，函数f（x）=（x2+）（x+a），若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f'（x）=0有实数解，从而可求a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+，∵函数f（x）的图象上存在与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解，∴△=4a2﹣4×3×≥0，∴a2≥，解得a≤﹣或a，因此，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故选D．5.在空间直角坐标系中，平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，平面α的一个法向量为=（3，1，2），则m等于（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3参考答案：C【考点】平面的法向量．【分析】先求出=（﹣m，m+2，2），由题意得，从而利用=0，能求出m的值．【解答】解：∵平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，平面α的一个法向量为=（3，1，2），∴=（﹣m，m+2，2），由题意得，则=﹣3m+m+2+4=0，解得m=3．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6.学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为，则这组数据的平均数不可能为（

）． A． B． C． D．参考答案：A由题意，当时，平均数为，当时，平均数为，即平均数在区间内，项排除．故选．7.下列命题是假命题的是(

)A.若,则

B.5≥3

C.若M=N则D.”若sinα=sinβ,则α=β”的的逆命题.参考答案：C8.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.如图：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，的取值范围是（

）＞4

≥4

0＜＜4

0＜≤4参考答案：A略10.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5

听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆的半径为，、为该圆的两条切线，、为两切点，那么

的最小值为________．参考答案：略12.函数f(x)=－x+在[－2，]上的最大值是．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）在上递减，计算即可得到所求最大值．【解答】解：函数的导数为f′（x）=﹣1﹣，在上f′（x）＜0，可得f（x）在上递减，可得f（x）的最大值为f（﹣2）=2﹣=．故答案为：．13.设函数，集合，，若PM，则实数a的取值构成的集合是______.参考答案：{0,1}【分析】求出导函数，由求得或，结合分类讨论．【详解】由题意，令得或，若，则满足题意；时，首先有，即，，则，由PM得，解得或（舍去）．∴的取值集合是．故答案为：．【点睛】本题结合导数，考查集合之间的包含关系．考查学生的推理论证能力和运算求解能力．14.已知复数，其中i是虚数单位，则|z|＝________.参考答案：15.已知函数f（x）=在R上单调递减，且方程|f（x）|=2有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

．参考答案：[，]【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，∴y=x2+（2﹣4a）x+3a在（﹣∞，0）上单调递减，y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤1．∵方程|f（x）|=2有两个不相等的实数根，∴3a≤2，即a≤．综上，≤a≤．故答案为[，]．【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，判断端点值的大小是关键，属于中档题．16.★★★★★★．参考答案：略17.如图所示坛内有五个花池，有五种不同颜色的花可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，最多的栽种方案

参考答案：420三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点，AP=1，AD=．（I）证明：PB∥平面AEC；（II）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（Ⅲ）设三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接AC、BD相交于G，连接EG．由三角形中位线定理可得EG∥PB，再由线面平行的判定得PB∥平面AEC；（II）由PA⊥面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，结合CD⊥AD，得CD⊥面PAD，则∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求解直角三角形得答案；（Ⅲ）由已知求得AB，再由等积法求得A到平面PBC的距离．【解答】（I）证明：连接AC、BD相交于G，连接EG．∵E为PD的中点，∴EG∥PB，又EG?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（II）解：∵PA⊥面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又CD⊥AD，∴CD⊥面PAD，则∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，在Rt△PAD中，∵AP=1，AD=，∴tan∠PDA=，则∠PDA=30°；（Ⅲ）解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，则PA是三棱锥P﹣ABD的高，设AB=x，A到平面PBC的距离为h，∵，∴．由VP﹣ABC=VA﹣PBC，得，解得h=．19.（本小题满分14分）已知四棱锥C-ABDE中，平面ABDE⊥平面ABC，底面ABDE是正方形，AB=1,CD=，AB⊥BC，（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面ABC；（Ⅱ）求CD与平面BCE所成角的正弦值.参考答案：证明：（Ⅰ）在正方形ABDE中，EA⊥AB，

又AB=平面ABDE∩平面ABC，平面ABDE⊥平面ABC

所以，EA⊥平面ABC，

………………4分

又EA在平面ACE内，所以，平面ACE⊥平面ABC。…………7分

（Ⅱ）同理，由AB⊥BC可知：BC⊥平面ABDE，进而知，BC⊥AD在正方形ABDE中，AD⊥BE，又BC∩BE=B，知AD⊥平面BCE。………10分`设BE∩AD=O，连结OC，则CD与平面BCE所成的角就是∠DCO，………12分且DO⊥CO在正方形ABDE中，由AB=1知，DO=，在直角三角形CDO中，依前知，sin∠DCO=，即CD与平面BCE所成角的正弦值是

…………

14分

略20.设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，]．（1）若Q（，），求cos（α﹣）的值；（2）设函数f（α）=sinα?（?），求f（α）的值域．参考答案：【分析】（1）利用差角的余弦公式计算；（2）利用三角恒等变换化简f（α），再利用α的范围和正弦函数的性质求出f（α）的最值．【解答】解：（1）由已知得cosα=，sinα=，∴cos（）=+×=．（2）=（，），=（cosα，sinα），∴=cosα+sinα，∴f（α）=sinαcosα+sin2α=sin2α﹣cos2α+=sin（2α﹣）+．∵α∈[0，]，∴2α﹣∈[﹣，]，∴当2α﹣=﹣时，f（α）取得最小值+=0，当2α﹣=时，f（α）取得最大值=．∴f（α）的值域是[0，]．21.已知成等差数列.又数列此数列的前n项的和（）对所有大于1的正整数n都有.（1）求数列的通项公式；（2）若的等比中项，且为的前n项和，求.参考答案：解：（1）成等差数列，∴∴∵，∴Ks5u∴{}是以为公差的等差数列.∵，∴

∴当时，

当