深圳市2018届高三年级第一次调研考试(理数)

PAGEPAGE13深圳市2018届高三年级第一次调研考试数学（理科）本试卷共6页，共23小题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则=A．（0，3]B．[1，2)C．[-1，2)D．[-3,2)2．已知，i为虚数单位，若复数，且则a=A．B．1C．2D．13．已知，则的值为A．B．C．D．4．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海。一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为A．0.05B．0.0075C．D．5．若双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为A．3B．C．D．6．设有下面四个命题：R,“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；“”是真命题，则一定是真命题。其中真命题的是A．B．C．D．7．中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高?如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的应填入A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为A．B．C．D．9．在中，，则A．B．C．D．10．已知函数是定义在R上的奇函数，且在区间上恒成立，若，令，，则A．B．C．D．11．设等差数列满足：，公差，则数列的前项和的最大值为A．100B．54C．77D．30012．一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为

A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为.14．展开式的的系数为.15．已知F为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则=.16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=2BC=，P是△ABC内一动点，∠BPC=120°，则AP的最小值为.

三、解答题：本题共6小题，共70分。请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）

设数列的前n项和为，，,.

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，证明：.18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为边长为的等边三角形，BB1=4，A1C1⊥BB1，且∠A1B1B=45°.（I）证明：平面BCC1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值。

19．（本小题满分12分）

某重点中学将全部高一新生分成A，B两个成绩相当（成绩的均值、方差都相同）的级部，A级部采用传统形式的教学方式，B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式.期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成绩进行统计，其频率分布直方图如下：

记成绩不低于130分者为“优秀”。

（I）根据频率分布直方图，分别求出A,B两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计值（精确到0.01)；请根据这些数据初步分析A，B两个级部的数学成绩的优劣.（Ⅱ)根据频率分布直方图填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关?是否优秀级部优秀不优秀合计A级部B级部合计（Ⅲ）①现从所抽取的B级部的100人中利用分层抽样的方法再抽取25人，再从这25人中随机抽出2人去参加“信息化的自主学习”的学习体会座谈，求抽出的两人中至少有一个为“优秀”的概率；②将频率视为概率，从B级部所有学生中随机抽取25人去参加“信息化的自主学习”的学习体会座谈，记其中为“优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差。附：

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（I）求的值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围.请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时。

请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.在O为极点、

x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为

（I）求直线和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ)已知点P(a,1)，设直线与曲线C的两个交点为A，B，若.求的值。

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知且.

（I）恒成立，求x的取值范围；

（Ⅱ）证明：.

数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D7.B 8.D 9.D 10.C 11.C 12.A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．-6 14．172 15． 16．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．解：(I)由①，可得②．①一②得：，所以…………2分故.…………4分当时，，所以…………6分(Ⅱ)由(I)得，……………8分所以.………12分18．解：(I)过点在平面内作的垂线，垂足为，连接平面…………1分平面.…2分由题可知在中，，在中，……3分平面.…………4分平面，平面平面.…5分(Ⅱ)由（I）可知两两垂直，故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.又………………7分设，为平面的法向量，则有即可取…………9分设，为平面的法向量，则有即可取.……………11分所以二面角的余弦值为.………12分19．解：(I)设A级部的数学成绩的中位数为则解得分.众数：分，………2分设B级部的数学成绩的中位数为，则解得分．众数：分．从A、B两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计值看，B级部的数学成绩的三个数据都大于A级部的数据，故初步分析B级部的数学成绩优于A级部的数学成绩.…………4分(Ⅱ)是否优秀级部优秀不优秀合计A级部793100B级部2476100合计31169200……………5分由列联表可知的观测值：所以有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关；…………8分(Ⅲ)①依题意B级部的100个样本利用分层抽样的方法再抽取的25人中“优秀”的有6人，“不优秀”的有19人．则这25人中随机抽出2人至少有一个为“优秀”的概率为.……………10分②由题意可知，随机变量服从二项分布(25，0.24)，则………12分20．解：(I)由，得，则椭圆的方程为，则消去，得①，由，得椭圆的方程为…………4分由①得，所以点的坐标为.…5分(Ⅱ)设直线的方程为，由得点的坐标为，所以.……………6分设联立消去得则有………………7分，所以.………9分同理所以，，……………10分所以为定值．………………12分21．解：(I)，所以直线过点(0，1)，故，又，由于直线的斜率为1，所以，所以.综上.………………4分(Ⅱ)由(I)可知，即.所以在时，恒成立．设，显然又，设则.…………6分当时，，故单调递增，所以，故也单调递增，所以，与题设矛盾；………………8分当时，，故①当时，，在上，故单调递减，又故也单调递减，所以恒成立；………10分②当时，，当时，，当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减；又，所以在时，故在上单调递增，所以，与题设矛盾．综上，.…………12分22．解：(I)因为所以