二阶系统的动态性能(上)

3.3二阶系统的动态性能

凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有非常重要的地位。或为二阶系统的阻尼系数（阻尼比），称为二阶系统的无阻尼自然振荡频率．或图3.3.1标准化的二阶系统1、数学模型的标准式通常都把二阶系统的方程化成标准的微分方程形式：二阶系统的传递函数为：3.3.1二阶系统的数学模型2、学习过的二阶系统的数学模型设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉普拉斯变换式为闭环特征方程其特征根即为闭环传递函数的极点为

闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃信号下响应的不同性质。3.3.2二阶系统的单位阶跃响应1.无阻尼（ζ=0）状态时特征根闭环特征方程图3.12ζ=0时特征根其输出量的拉普拉斯变换上式取拉氏反变换，得响应曲线为等幅振荡曲线，称为无阻尼状态。系统有一对共轭纯虚根，见图3.12图3.13ζ=0时二阶系统的单位阶跃响应曲线2.欠阻尼（0<ζ<1

）状态特征根闭环特征方程系统有一对共轭复根，见图3.14．阻尼自然振荡频率图3.140<ζ<1时特征根其输出量的拉普拉斯变换上式取拉氏反变换，得令(1)衰减的正弦振荡曲线,振幅按指数衰减,振荡频率为，称为阻尼自然振荡频率；(2)越小，振荡越强；(3)阻尼角只与阻尼系数有关。图3.140<ζ<1时特征根3.临界阻尼（ζ=1）状态闭环特征方程特征根系统特征根为一对相等的负实根，见图3.16图3.16ζ=1时特征根其输出量的拉普拉斯变换上式取拉氏反变换，得出输出的表达式1、响应具有非周期性，没有振荡和超调，其响应曲线如图所示。图3.17ζ=1时二阶系统的单位阶跃响应曲线3、动态性能指标为：4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。2、该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应。4.过阻尼（ζ>1）状态闭环特征方程特征根令系统特征根为一对不等的负实根，见图3.18图3.18ζ>1时特征根其输出量的拉普拉斯变换上式取拉氏反变换，得图3.19ζ>1时二阶系统的单位阶跃响应曲线1、响应具有非周期性，没有振荡和超调，该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应。2、动态性能指标为：3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加而变大，在所有无超调的二阶系统中，临界阻尼时，响应速度最快。图3.20二阶系统在单位阶跃作用下的响应曲线3.3.3典型二阶系统的动态性能指标1.欠阻尼二阶系统的动态性能指标

当0<ζ<1时,二阶系统的单位阶跃响应为（1）上升时间tr

根据上升时间的定义,当t=tr时，y(tr)=1∵上升时间tr是y(t)第一次达到稳态时间弧度制计算（2）峰值时间tP

tP处有极值，故该处导数值为0

峰值对应振荡第一个周期内极大值（3）超调量σ%

当t=tP时,y(t)有最大值上式表明，超调量σ％仅是阻尼比ζ的函数，与自然频率ωn无关。图3.21σ％

和ζ的关系（4）调节时间ts可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为当t=t’s时，有：

由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。当z较小时，近似取，且所以（5）振荡次数N由此可见振荡次数N仅与阻尼系数ζ

有关。阻尼系数z是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在z≥1的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但ts长。当z≤0时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。[总结]在欠阻尼情况下工作时，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。注意到只与有关，所以一般根据来选择。

越大，（当一定时）为了限制超调量，并使较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。最佳阻尼比0.707,此时超调量为4.3%.2.过阻尼二阶系统的动态性能指标

阶跃响应是从0到1的单调上升过程，超调量为0。用ts即可描述系统的动态性能。

需要说明的是，在所有非振荡过程中，临界阻尼系统的调节时间最小。通常，都希望控制系统有较快的时间响应，即希望系统的阻尼系数在0.7左右。而不希望处于过阻尼情况(调节时间过长)。但对于一些特殊的不希望出现超调系统(如液位控制)和大惯性系统(如加热装置，舰船靠岸)，则可采用ζ

>1的过阻尼系统。【例3-2】设控制系统方框图如图所示。当有一单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标tr、tp、ts、N和σ%.解:闭环传递函数为因此有:振荡次数：性能指标：【例3-3】一位置随动系统，K＝4。求①该系统的阻尼比、自然振荡角频率和单位阶跃响应；②系统的峰值时间、调节时间和超调量；③若要求阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大系数K值。Y(s)R(s)_解：(1)系统的闭环传递函数为则单位阶跃响应为：(2)峰值时间为：调节时间为：超调量为：

从上可以看出，降低开环放大系数K值能使阻尼比增大、超调量下降，可改善系统动态性能。但在以后的系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大。

(3)要求ζ=0.707时:【例3-4】设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。解：根据题意33单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅周期振荡一对共轭虚根

典型二阶系统响应特性的小结1.极点位置与阶跃响应形式的关系34z=0z=0.3z=1z=2z=00<z<1z=1z=2-1<z<0z=－0.05z=-1z=－1①阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系z=cos-1zd%z

=cos-1zd%0.184.26°72.90.6946.37°50.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7838.74°20.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.15⒉极点位置与特征参数z、wn及性能指标的关系36②wn是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。36③极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比(0<Z<0.8)对于临界阻尼和过阻尼时，此规律也存在。-1-2-3-40ts=4ts=2ts=1【例3-5】求如下随动系统的特征参数,分析与性能指标的关系。+n-电压放大器+-+-功放若假设电枢电感La=0，则Ta=0，方程为当只考虑

ua时，电动机的微分方程方程为电动机传递函数为电压放大器和功放的传递函数分别为K1和K2，可得方框图因所以Y–K1K2R设Y–K1K2R，则闭环传递函数为：401、T不变，K↑下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设):→

N↑。→z

↓→

d

%↑→