cho1 第一节 环的定义和基本性质

《应用近世代数》

多媒体课件孔荫莹广东财经大学数学与统计学院数学可以把灵活引导到真理。―苏格拉底（Socrate,前469年—前399年）数学是科学的大门和钥匙。-R.培根(RogerBacon,1214-1294)Historiesmakemenwise;poets,witty;themathermatics,subtile;naturalphilosophy,deep;moral,grave;logicandrhetoric,abletocontend…----F.培根（FrancisBacon1561～1626）第三章二、环内一些特殊元素和性质四、小结与思考一、环的定义第一节机动目录上页下页返回结束环的定义和基本性质三、环的分类一、环的定义机动目录上页下页返回结束

1、定义1设是一个非空集合，在

中定义

两种二元运算，一种是加法，记为+

，另一种

称为乘法，记为.且满足：是一个可换群；（1）

（2）

是一个半群；（3）

左、右分配律成立，即对任何

有机动目录上页下页返回结束

则称代数系是一个环（ring）.即环是有两种运算，对加法是可换群，

对乘法

是半群，并适合分配律的代数系统.2、定义2如果环对乘法也是可交换的,

则称是可换环(Commutativering).例1都是环，

而且是可换环.

例2设对复数

加法和复数乘法构成环,称为Guass整数环.机动目录上页下页返回结束

例3设是整数模

的同余类

集合，定义模的加法和乘法:则是环，称为整数模的同余类环.

例4设则对矩阵的加法和乘法构成环,称为数环

上的全矩阵环.

例5

都是相应数环上的多项式环.二、环内的一些特殊元素和性质机动目录上页下页返回结束

1、设是一个环，加群

中的单位元,

记为，称为零元.

加群中的元素的逆元,

记为,称为的负元.

而环中的单位元是指乘法

半群中的单位元,记为环中元素的逆元

是指乘法半群中的逆元,记为机动目录上页下页返回结束

2、环中可定义减法:环中的零元和负元有如下性质:此外,元素的倍数和幂可定义为机动目录上页下页返回结束

3、定义3设是一个环,若

且则称为左零因子(leftzerodivisor)，为右零因子(rightzerodivisor).

若一个元素既是左零因子又是右零因子,则称其为零因子(zerodivisor).例6在中，由于所以是左零因子，而是右零因子.机动目录上页下页返回结束

又如在中,因为所以和都是零因子.4、定理1环中无(右)左零因子的充分必要条件

是乘法消去律成立.三、环的分类机动目录上页下页返回结束

1、定义4设是一个环.若可交换,且无零因子,则称

是整环(domain).若满足:(1)中至少有两个元

（2）构成乘法群,则称

是一个除环(divisionring).若是一个可换的除环,则称是域(field).机动目录上页下页返回结束

2、定理2是域的充要条件是为素数.3、具有有限个元素的域，称为有限域（finite

field）,是最简单的有限域.显然,在一个除环中,由于非零元成群,乘法消去律

成立,因而除环中无零因子.域中也无零因子,且域

必须是整环.机动目录上页下页返回结束

例7设则是一个除环,此环称为实四元数除环

(divisionringofrealquaternions).机动目录上页下页返回结束