三角函数图像及性质

4.3、诱导公式设0°≤α≤90°，那么90°—180°间的角，可以写成180°-α

或90°+α180°—270°间的角，可以写成180°+α

或270°-α270°—360°间的角，可以写成360°-α

或-α或270°+α为使讨论具有一般性，这里假定α为任意角。对于90°—360°的角，可用下面的形式来表示：公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式：sin(k.360°+α)=sinαcos(k.360°+α)=cosαtan(k.360°+α)=tanα(k∈α)公式一公式三sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanα公式五sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式二公式四sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαsin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanα概括为：k360°+α（k∈Z），180°-α。180°+α，360°-α，-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号除公式一、二、三、四、五外，还有诱导公式六、七、八、九：sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinαtan(90°-α)=cotα公式六公式七sin(270°-α)=-cosαcos(270°-α)=-sinαtan(270°-α)=cotα公式八sin(270°+α)=-cosαcos(270°+α)=sinαtan(270°+α)=-cotα概括为：90°-α，90°+α，270°+α,270°-α的三角函数值等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号sin(90°+α)=cosαcos(90°+α)=-sinαtan(90°+α)=-cotα公式九诱导公式：sin(k.360°+α)=sinαcos(k.360°+α)=cosαtan(k.360°+α)=tanαcot(k.360°+α)=cotα(k∈α)公式一公式三sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanαcot(180°+α)=cotα公式五sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式二公式四sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαcot(180°-α)=-cotα

sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanαcot(360°-α)=-cotα

sin(4k.90°+α)=sinαcos(4k.90°+α)=cosαtan(4k.90°+α)=tanα(k∈α)sin(2×90°+α)=-sinαcos(2×90°+α)=-cosαtan(2×90°+α)=

tanα

sin(0×90°-α)=-sinαcos(0×90°-α)=cosαtan(0×90°-α)=-tanαsin(2×90°-α)=sinαcos(2×90°-α)=-cosαtan(2×90°-α)=-tanαsin(4×90°-α)=-sinαcos(4×90°-α)=cosαtan(4×90°-α)=-tanα诱导公式一、二、三、四、五可记为：

函数名不变符号看象限诱导公式六、七、八可记为：函数名称变符号看象限sin(90°+α)=cosαcos(90°+α)=-sinαtan(90°+α)=-cotα公式七公式八sin(270°-α)=-cosαcos(270°-α)=-sinαtan(270°-α)=cotα公式九sin(270°+α)=-cosαcos(270°+α)=sinαtan(270°+α)=-cotαcot(270°+α)=-tanα

诱导公式总结概括为：奇变偶不变符号看象限sin(1×90°+α)=cosαcos(1×90°+α)=-sinαtan(1×90°+α)=-cotαsin(3×90°-α)=-cosαcos(3×90°

-α)=-sinαtan(3×90°

-α)=cotαsin(3×90°+α)=-cosαcos(3×90°+α)=sinαtan(3×90°+α)=-cotα公式六sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinαtan(90°-α)=cotαsin(1×90°-α)=cosαcos(1×90°-α)=sinαtan(1×90°-α)=cotα90°的奇数倍还是偶数倍总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤任意负角的三角函数用公式五、任意正角的三角函数用公式一0°—360°间角的三角函数用公式二、三、四、及六、七、八、九0°—90°间角的三角函数查表求值1-123/2/2oyx.....关键点：(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0).的图象注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值的点.§

5、6正弦函数、余弦函数y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

定义域值域周期性xR.y[-1,1].T=2.正弦、余弦函数定义域、值域、周期:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx正弦、余弦函数的奇偶性yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πsin(－x)=－sinx

y=sinx是奇函数cos(－x)=cosx

y=cosx是偶函数定义域关于原点对称y=cosx正弦函数的单调性

？？yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinx(xR)x…0……π…sinx－1010－1增区间为，

其值从－1增至1.减区间为，

其值从1增至－

1.余弦函数的单调性

y=cosx(xR)yxO1-1π2π4π-π-2π3πx-π……0……πcosx－1010－1

？？增区间为[－π，0]

，其值从－1增至1.减区间为[0，

－π]，其值从1增至－

1.[－π+2kπ，2kπ]，(k∈z)[2kπ，2kπ+π]，(k∈z)正弦、余弦函数的对称轴、对称中心:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx对称轴对称中心y=sinxy=cosx函数轴、中心函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性1-1时，时，时，时，增函数减函数增函数减函数1-1对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：奇函数偶函数§7正切函数的性质和图象1.正切函数的性质：定义域：值域：周期性：正切函数是周期函数，周期是奇偶性：奇函数单调性：在内是增函数xyo对称性：对称中心是对称轴呢？例1、试研究、与的图象关系1-1oxy§8、y=Asin(ωx+φ)的图像和性质一、函数y=sin(x+)

图象

函数y=sin(x+)（≠0）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动个单位而得到的。函数、与的图象间的变化关系。1-1oxy2-3

函数y=sinx(>0且≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的。二、函数y=sinx(>0)图象函数、与的图象间的变化关系。y=sinxy=2sinx

y=sinx

1-１2-2oxy3-3

函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。y=Asinx，x∈R的值域是［-A，A］，最大值是A，最小值是-A。三、函数y=Asinx(A>0)图象用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.

x

0

A

0

-A

00例1

作函数y=3sin(2+)的简图分析

因为T=，所以用“五点法”先作长度为一个周期的闭区间上的简图设那么且当X取0，，，，时，可求得相对应的、y的值，得到“五点”，再描点作图。然后将简图左右扩展。y=3sin(2x+

)

(2)描点，，，，（3）连线：（4）根据周期性将作出的简图左右扩展。0000332（1）列表xyo3-3例1

作函数y=3sin(2+)的简图函数y=sinxy=sin(x+)的图象（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象y=sin(2x+)的图象（1）向左平移纵坐标不变（2）横坐标缩短到原来的倍方法1：1-１2-2oxy3-32y=sin(2x+

)

y=3sin(2x+

)

y=sin(x+

)

y=sinx

（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3Sin(2x+)的图象y=Sin(2x+)的图象（1）横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变（2）向左平移

函数y=Sinxy=Sin2x的图象方法2：1-１2-2oxy3-32y=sin(2x+

)

y=sinx

y=sin2x

y=3sin(2x+

)

函数,A称为振幅称为周期称为频率称为相位称为初相中小结：1、作正弦型函数y=Asin(x+)的图象的方法：（1）用“五点法”作图；（2）利用变换关系作图。2、函数y=sinx的图象与函数y=Asin