ch07-一阶与二阶电路

动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路的零输入响应7.2一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应7.6第7章一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8*一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；重点一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。特点例0ti过渡期为零电阻电路+-usR1R2（t=0）ii=0,uC=Usi=0,uC

=0

k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期uL=0,i=Us/Ri=0,uL

=0

k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期

(t→)+–uLUsRi+-k未动作前，电路处于稳定状态：uL=0,i=Us/Rk断开瞬间i=0,uL

=工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。注意k

(t→)+–uLUsRi+-过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2.动态电路的方程

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC电路应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：

(t>0)+–uLUsRi+-RL电路有源电阻电路一个动态元件一阶电路结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。二阶电路

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC电路应用KVL和元件的VCR得：含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。结论高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；复频域分析法时域分析法求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的通解任意激励直流时

t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值。注意0f(t)0－0＋t图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例解特征根方程：通解：代入初始条件得：在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。明确R－+CiuC(t=0)t=0+

时刻iucC+-电容的初始条件0当i()为有限值时q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q

=CuC电荷守恒结论电感的初始条件t=0+时刻0当u为有限值时iLuL+-L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。注意电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)电容开路+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k电容用电压源替代注意iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求

uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解电感短路iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V14+-注意求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。小结iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-

RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－电路得：由0+电路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－电路uL+–iCRiSRiS+–例4求k闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：由0+电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+－uC12A24V+-48V32+-iiC+-uL求k闭合瞬间流过它的电流值解确定0－值给出0＋等效电路例5iL+20V-10+uC1010－iL+20V-LS10+uC1010C－1A10V+uL－iC+20V-10+1010－7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零输入响应iS(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0则代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR或tU0uC0I0ti0令

=RC,称为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;表明时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短电压初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0小大C

大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义a.:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过3－5

,

过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

注意＝

t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于U0tuc0t1t2次切距的长度b.

时间常数的几何意义：能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设

uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例1图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：+uC45F－i1t>0等效电路i3S3+uC265F－i2i1+uC45F－i1分流得：i3S3+uC265F－i2i1例2求:(1)图示电路k闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：u

(0+)=u(0－)=20Vu1（0-）=4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=24V250k+uk4F++--i20V250k初始储能最终储能电阻耗能2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLRtI0iL0连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明-RI0uLt0iL+–uLR响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;令

称为一阶RL电路时间常数

=L/R时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢，

大大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设

iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V损坏。例1t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50V解iLS(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+-例2t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路小结一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结

=RC

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：7.3一阶电路的零状态响应解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齐次线性常微分方程与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量）的特解全解uC

(0+)=A+US=0

A=－US由初始条件uC

(0+)=0

定积分常数

A从以上式子可以得出：-USuC‘uC“USti0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）表明+响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。表明RC+-US例t=0时,开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流,(2)uC＝80V时的充电时间t

。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC＝80V50010F+-100VS+－uCi2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tiL0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—uLUSt0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—例1t=0时,开关S打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：t>0iLS+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReq例2t=0开关k打开，求t>0后iL、uL及电流源的电压。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iL+–uL2HUoReq+－t>0iLK+–uL2H102A105+–u7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解=RCuC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0A=U0

-US由初始值定A强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰全响应=

零状态响应

+

零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC

(0－)=0零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0例1t=0

时,开关k打开，求t>0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：iLS(t=0)+–24V0.6H4+－uL8或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有：稳态分量：+–10V1A1+－uC1+－u1全响应：+–10V1A1+－uC1+－u13.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解答一般形式为：特解分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解直流激励时：A注意例1已知：t=0

时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.66701A213F+-uC例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1三要素公式三要素为：0＋等效电路+–20V2A55+–10Vi2i1例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：4+－4i12i1u+－2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。+–1H0.25F52S10Vi解三要素为：+–1H0.25F52S10Vi已知：电感无初始储能t=0

时合S1

,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2s解例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-t>0.2si10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.26207.5二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：以电感电流为变量：RLC+-iuc特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U02.零状态响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：U0tuc设|P2|>|P1|0电容电压t=0+

ic=0,t=

ic=0ic>0t=tm

时ic

最大tmictU0uc0电容和电感电流U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi减小,uL

<0t=2tm时

uL

最大RLC+-t0电感电压iC=i为极值时，即uL=0时的

tm

计算如下:由duL/dt

可确定uL

为极小时的

t.能量转换关系0<t<tm

uC

减小，i

增加。t>tmuC减小，i

减小.RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0uc

的解答形式：经常写为：共轭复根δωω0ω，ω０，δ的关系t=0时

uc=U0uC

=0：t=-，2-...n-t-2-20U0uCt-2-20U0uCiC

uL=0：t=，+，2+...n+ic=0：t=0，，2...n，为

uc极值点，ic

的极值点为uL

零点。能量转换关系：0<t<<t<--<t<t-2-20U0uciCRLC+-RLC+-RLC+-特例：R=0时等幅振荡tLC+-0相等负实根定常数可推广应用于一般二阶电路小结电路如图，t=0时打开开关。求uC并画出其变化曲线。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程为：

50P2+2500P+106=0例1（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：5Ω100F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-+-iLuC(3)

t0uC356257.6二阶电路的零状态响应和全响应uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程为：通解特解特解:

特征方程为:RLC+-uCiLUS(t)+-例1.二阶电路的零状态响应uC解答形式为：tuCUS0求电流i的零状态响应。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先写微分方程解2-ii1例二阶非齐次常微分方程+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai特征根为：

P1=－2，P2=－6解答形式为：第三步求特解i'由稳态模型有：i'

=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2第二步求通解稳态模型+u1-2i2A0.5u12第四步定常数由0+电路模型：+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)0状态2.二阶电路的全响应已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,

iR(1)

列微分方程(2)求特解解RiR-50V50100F0.5H+iLiC例应用结点法：(3)求通解特征根为：

P=-100j100(4)定常数特征方程为：(5)求iR或设解答形式为：定常数RiR-50V50100F0.5H+iLiCRiR-50V50+iC2A二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。小结求二阶电路全响应的步骤(a)列写t>0+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量（稳态）+自由分量（暂态）7.7一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数

定义t(t)01

单位阶跃函数的延迟t(t-t0)t001t=0合闸

i(t)=Is在电路中模拟开关的动作t=0合闸

u(t)=E单位阶跃函数的作用SUSu(t)u(t)Isku(t)起始一个函数tf(t)0t0延迟一个函数tf(t)0t0

用单位阶跃函数表示复杂的信号例1(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-(t-t0)例21t1f(t)0243例41t1f(t)0例31t1f(t)0243例5t1

02已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。t1

u(t)0－22t1

0－11t1

01

t1021和的区别2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应iC+–uCRuC

(0－)=0注意t01it0ituC10tiC0激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。t-t0(t-t0)不要写为：iC(t-t0)C+–uCRt0注意求图示电路中电流iC(t）例10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效应用叠加定理5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为（简洁）：5k+-ic100F5k+-ic100F分段表示为(复杂)：分段表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形：0.3682.二阶电路的阶跃响应对电路应用KCL列结点电流方程有例已知图示电路中uC(0-)=0,iL(0-)=0，求单位阶跃响应