Ch3-5 曲线的凹凸性与函数作图

第五节二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束曲线的凹凸性与函数作图第三章一、曲线的凹凸性定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点

.图形是凸的.一、曲线的凹凸性与拐点机动目录上页下页返回结束定理1.(凹凸判定法)(1)在

I内则在I

内图形是凹的;(2)在

I内则在

I

内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数证毕例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束无渐近线.点M

与某一直线L的距离趋于0,二、曲线的渐近线定义.

若曲线

C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”机动目录上页下页返回结束1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束2.斜渐近线斜渐近线若机动目录上页下页返回结束例2.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.机动目录上页下页返回结束三、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束例3.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)机动目录上页下页返回结束例4.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束又因即5)求特殊点为斜渐近线机动目录上页下页返回结束6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动目录上页下页返回结束无定义例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于

y

轴.2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(拐点)(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动目录上页下页返回结束水平渐近线;垂直渐近线;

内容小结2.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行3.函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束1.曲线凹凸性与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点

.1.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;第五节目录上页下页返回结束思考与练习

2.

曲线(A)没有渐近线;(B)仅有水平渐近线;(C)仅有铅直渐近线;(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动目录上页下页返回结束拐点为

,凸区间是

,3.

曲线的凹区间是

,提示:及渐近线

.机动目录上页下页返回结束4

求笛卡儿叶形线的渐近线.

解:

令

y=t

x,代入原方程得曲线的参数方程

:因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机动目录上页下页返回结束笛卡儿叶形线参数的几何意义