Black-Scholes期权定价模型的数值求解-梅树立庞守林

Black-Scholes期权定价模型的数值求解梅树立内容简介期权（Option）基本概念Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度数值求解方法3选择权选择权(option)是一种衍生性证券(derivativesecurity)，持有人有权利在未来某一段期间内（或某一特定日期），以约定的价格向卖方买入或卖出一定数量的标的资产(underlyingasset)。4选择权选择权依买入或卖出的权利可分为买权(看涨期权，CallOption)及卖权(看降期权，PutOption)两种。买权赋予持有人买入标的资产之权利。卖权赋予持有人卖出标的资产之权利。5选择权履约价格选择权契约中，在未来某一段期间内以约定的价格，买卖某一定数量的标的资产，此约定的价格称为履约价格(Exerciseprice)或执行价格(Strikeprice)。6选择权到期日选择权契约中约定的未来某一特定日期称为到期日(Maturitydate;Expirationdate)，此某一段期间亦即权证的存续期间。7选择权美式选择权与欧式选择权选择权可依履约时间的不同，分为美式选择权及欧式选择权。美式选择权(Americanoption)可在到期日前（含）的任何一天履约，向卖方买入或卖出股票或约定的标的资产；而欧式选择权(Europeanoption)仅能在到期日当天履约，买入或卖出股票。美式选择权此种提早买入或卖出股票的特性，称为提早履约(earlyexercise)。8选择权价内、价外及价平选择权一般习惯上，将选择权的履约价格相对于股价的大小，区分为价内、价外及价平三种选择权。1.价内选择权(in-the-moneyoption)对买权而言，当股价大于履约价格时，称此买权为价内买权。9选择权2.价外选择权(out-of-the-moneyoption)对买权而言，当股价小于履约价格时，称为价外买权。3.价平选择权(at-the-moneyoption)对买权或卖权而言，当股价等于履约价格时，称为价平选择权。10选择权内含价值与时间价值选择权的价格或称为权利金(premium)，是指买方所支付或卖方所收到的价款。权利金可分为两部分：内含价值(intrinsicvalue)与时间价值(timevalue)。11选择权选择权价值＝内含价值＋时间价值买权(C)的价值可表示如下：

C＝max(0,S－K)＋时间价值卖权(P)的价值可表示如下：

P＝max(0,K－S)＋时间价值12选择权买权卖权等价理论

C－P＝S－K(1＋r)-T

对同一标的资产（如同一支股票）、同一履约价格、同一到期日之买权与卖权来说，在某个时点的买权、卖权相对价格（买权减去卖权）应该等于当时股价减去履约价格之折现，否则会有套利的机会。13选择权有股利情况下，欧式的买权卖权等价理论

C－P＝S－D(1＋r)－t－K(1＋r)－T

14选择权没有股利情况下，美式的买权卖权等价理论

S－KCa－PaS－K(1＋r)－T

有股利情况下，美式买权卖权等价理论S－D(1＋r)－t－KCa－PaS－K(1＋r)－T15选择权影响选择权价格的因素股价履约价格到期日的长短标的资产价格的波动幅度无风险利率股利16选择权17选择权18选择权19选择权内容简介期权（Option）基本概念Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes模型的差分法求解小波多尺度数值求解方法期权定价（B-S公式）1973年，芝加哥大学教授Black和MIT教授Scholes在JournalofPoliticalEconomy上发表了一篇题为《期权定价和公司负债》的论文；同年，哈佛大学教授Merton在《贝尔管理科学学报》上发表了另一篇论文《期权的理性定价理论》。这两篇论文奠定了期权定价理论基础。维纳过程(Wienerprocess)若一个随机过程{X(t),t>=0}满足：

(1)X(t)是独立增量过程；

(2)任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望为0，方差为c^2*t的正态分布；

(3)X(t)关于t是连续函数。则称{X(t),t>=0}是维纳过程(Wienerprocess)或布朗运动。维纳过程的特点：（1）它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。（2）维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。（3）它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。

期货定价模型BS模型中，期货价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响，两者也都是遵循相同的维纳过程。24Black-Scholes选择权评价模型Black-Scholes模型的主要概念假设有一包含股票及其买权的投资组合，藉由不断调整适当的股票与买权之比率，可使投资组合在短时间内达到无风险的状态。在无套利情形下，该投资组合应赚得无风险报酬。因此得到买权对股价及时间的偏微分方程式，另外再加上到期日买权价值的边界条件，而得到买权公式解。25Black-Scholes选择权评价模型B-S模型中假设股价服从对数常态分配，有时称股价服从几何布朗运动(GeometricBrownianMotion)26Black-Scholes选择权评价模型Black-Scholes偏微分方程式27Black-Scholes选择权评价模型Black-Scholes买权价格公式(无配息)C＝S．N(d1)－Ke－rTN(d2)其中，d1=

d2=28Black-Scholes选择权评价模型C：买权目前理论价值callpriceS：目前的股价stockpriceK：履约价格strikepricer：无风险利率（以年为标准）risklessrateT：到期日之长短（以年为单位）maturityln：自然对数logrithm：股价报酬波动度（以年为标准）volatilityN(d1):为标准正态分布概率密度函数Normaldistribution29Black-Scholes选择权评价模型Black-Scholes卖权价格公式(无配息)

P＝Ke－rTN(-d2)－S．N(-d1)其中，d1=

d2=30Black-Scholes选择权评价模型Black-Scholes买权价格公式(配息yieldq)C＝Se－qTN(d1)－Ke－rTN(d2)其中，d1=

d2=31Black-Scholes选择权评价模型Black-Scholes卖权价格公式(配息yieldq)

P＝Ke－rTN(-d2)－Se－qTN(-d1)其中，d1=

d2=32Black-Scholes选择权评价模型B-S公式中的N(d1)一般称为避险比率(hedgeratio)或对冲率，或delta。

N(d1)=其中，ΔC：买权变动的大小

ΔS：股价变动的大小33Black-Scholes选择权评价模型Black-Scholes公式中变数的选取1.到期期限一般用年（1年以365天计）来表示，亦即使用与计算利息一致的方式来计算到期期限。2.无风险利率无风险利率(risk-freerate)是指没有任何违约风险的资产之收益率，所以政府发行的公债或国库券之利率，均可视为无风险利率。34Black-Scholes选择权评价模型3.股价波动度之估算(1).历史波动度(historicalvolatility))，其公式如下：35Black-Scholes选择权评价模型时间平方根法则如果我们以日数据来计算波动率，所得到的是每日波动率的估算值，至于延伸为N天期的波动率，则一般都利用时间平方根法则来求取。估算周波动率，N=5；估算月波动率，N=21；估算年波动率，N=252。36Black-Scholes选择权评价模型移动平均在以上的历史波动率估计中，我们可以加上窗口的设计，在每一个时间点，我们选取过去Ｎ个数据为样本，计算其标准偏差当时间往前，则窗口也往前移一个数据点，并且删除最后一个数据37Black-Scholes选择权评价模型(2).隐含波动度(impliedvolatility)

利用市场上选择权的交易价格，代入B-S公式反求出报酬的波动度。国外学者发现同样的股票，由价内选择权及价外选择权所求出来的隐含波动度常常不一样，通常价内的隐含波动度会高于价外的隐含波动度，一般称为笑状波幅

(volatilitysmile)。38Black-Scholes选择权评价模型(3).指数加权移动平均(EWMA)

虽然市场上最近的讯息比远久以前的讯息来的重要，但是移动平均法给所有的数据点权重是一样的。EWMA的作法是，越近的数据，权重给的越大，因此捕捉了波动群聚的现象。因此与移动平均相比，EWMA对于市场冲击反应较快。39Black-Scholes选择权评价模型EWMA公式过去的第i天，权重是。40Black-Scholes选择权评价模型估计Lambda务实上，RiskMetrics使用以下的优化方法，来求算个别资产最佳的值

minRMSE=s.t.41Black-Scholes选择权评价模型EWMA模型是由JPMorgan于其发展的风险控管系统RiskMetrics中使用。计算的结果，日数据的最佳的值为0.94，月数据最佳的值为0.97。42Black-Scholes选择权评价模型(4).随机波动度(StochasticVolatility)GAHCHModel43敏感度分析(sensitivityanalysis)用来衡量因五个变量发生变动时，选择权价格变化的情况。由于一般习惯上常常用希腊字母(Greek)来表示这些变量变动对选择权价格的影响，因此选择权敏感度分析有时称为选择权Greeks。44敏感度分析(sensitivityanalysis)买权敏感度delta()delta是用来衡量选择权标的资产价格变动对选择权价格的影响。45敏感度分析(sensitivityanalysis)买权敏感度gamma()gamma是用来衡量delta的敏感度，也就是当股价变动时，避险比率delta变动的情况。46敏感度分析(sensitivityanalysis)买权敏感度vega(v)vega或称kappa，是用来衡量标的价格波动度改变对选择权价格的影响，也就是波动度每上升一单位对选择权价格的影响。47敏感度分析(sensitivityanalysis)买权敏感度是用来衡量无风险利率变动对选择权价格的影响，或者是说选择权价格对无风险利率变动的敏感度。48敏感度分析(sensitivityanalysis)买权敏感度theta(θ)theta是用来衡量到期期限变动对选择权价格的影响。49敏感度分析(sensitivityanalysis)买权敏感度履约价格对选择权价格的影响50敏感度分析(sensitivityanalysis)买权敏感度lambda()lambda是用来衡量当股价变动1%时，选择权价格变动多少百分比。换句话说，delta是衡量绝对价格的变动，而lambda是衡量相对价格的变动。即为实际杠杆比率(effectivegearing)，而就是杠杆比率(gearing)。51选择权评价选择权的评价除了Black-Scholes公式的封闭解外，另外也可以采用数值分析方法求解(numericalanalysis)。数值分析法包括蒙地卡罗模拟法(MonteCarloSimulation)、二项式评价法(BinomialOptionPricingModel)有限差分法(FiniteDifferenceMethod)。52选择权评价蒙地卡罗仿真法进行程序步骤1：选定标的资产价格产生模型、均数及标准偏差。步骤2：抽取随机数值，产生下一期股价，如此一直循环产生一条股价路径及到期日股价ST。步骤3：依据选择权到期的定义，求最终选择权价值。53选择权评价步骤4：将上述步骤2、3重复N次，求N次选择权的平均值。步骤5：以无风险利率将平均值折现，即为选择权目前价值。54选择权评价二项式评价法一期模型55选择权评价二项式评价法两期模型56选择权评价二项式评价法二项式多期评价公式57选择权评价二项式评价法二项式中u、d、p的取法内容简介期权（Option）基本概念Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度数值求解方法BS定价模型的matlab计算语法：[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)Price:标的资产市场价格Strike：行权价格Rate:无风险利率Time:距离到期时间Volatility:标的资产波动率Call:看涨（买入）期权价格Put:看跌（卖出）期权价格

假设欧式股票期权三个月后到期，执行价格95元，现价100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，则期权价格的为：[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)内容简介期权（Option）基本概念Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度数值求解方法2023/2/464基函数和三角板如何用数学公式表达这种基函数逼近？2023/2/465基函数如何用数学公式表达这种基函数逼近？如何提高逼近精度？2023/2/466基函数V0:在整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空间，可表示为以下形式：2023/2/467基函数空间V1:在半整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空间，可表示为以下形式：2023/2/468基函数空间V2:在1/4整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空间，可表示为以下形式：2023/2/469基函数空间V0V2V12023/2/470Vj:在1/2j整数区间内为常数的所有平方可积函数构成的空间，可表示为以下形式：2023/2/471基函数空间思考：将一个函数分别表达在V0空间和V1空间，这两种逼近表达之间的误差是多少？换句话说，我们能否找到误差补空间W0，满足:2023/2/472RECALL2023/2/473函数f(x)=a-(x-b)2在V0空间的映射（在V0空间被逼近）若a=b=1,则h=2/32023/2/474函数f(x)=a-(x-b)2在V1空间的映射（在V1空间被逼近）若a=b=1,则h1=5/12,h2=11/122023/2/475V0的补空间？2023/2/4762023/2/4772023/2/4782023/2/479TranslatingStretching2023/2/480f(x)=a-(x-b)2在V0空间内的逼近表达式（红色直线）：在V1空间内的逼近表达式（绿蓝色直线）：在补空间W1空间内的逼近表达式：2023/2/481….因此，有进一步可表示为2023/2/482Haar小波通过平移和伸缩可以得到Haar小波族2023/2/483平移2023/2/484伸缩2023/2/485小波的一般表达式Haar小波的正交特性2023/2/486多尺度分析Only0functioninallspaces如果某函数在所有空间中，必然在任意区间上是常数，而且平方可积，因此只能是0。所谓平方可积，即：2023/2/487多尺度分析可以逼近所有的平方可积函数f(x)以上尽管涉及到了内积运算，但实质属于插值。即以上讨论内容均在巴拿赫空间进行。完备的线性赋范空间称为Banach空间由于没有定义内积概念，只能用线性泛函代替内积。如插值算子，Laplace算子（微分算子）等。（算子是泛函的一种）。坐标就是线性泛函。完备的内积空间称为Hilbert空间。数值逼近理论在Hilbert空间定义。Banach空间和Hilbert空间设X是n维实向量空间，对其中向量内积举例定义内积正交的定义:(x,y)=0利用内积定义正交任何n维空间都存在正交基正交推论：Hilbert空间中的最佳逼近设线性内积空间的最佳逼近是线性内积空间X的n+1个线性无关元素，子集在中寻求对X的某一元素f的最佳逼近时指在中存在一元素S*，使对于任意都有定理：作为最佳逼近元素的充要条件是集对f的最佳逼近元素的充要条件是S1-f与所有的正交。假设f是集合中的元素，则，f可以被集合中的基函数精确线性表达。误差S1-f=0。若表达式的误差不为零，且误差仍然能被基函数表达，说明表达式还不完整。根据定理推导逼近向量表达式由下列方程组决定对应的矩阵形式为举例被逼近函数为Black-Scholes模型期权（option）又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。1973年，Black和Scholes在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列的假设下，运用连续交易保值策略推导出了著名的Black-Scholes期权定价模型：并建立了看涨期权定价公式：看涨期权定价公式线性Black-Scholes定价公式成立条件：标的资产的价格S(t)服从几何布朗运动W(t)漂移项(标的资产价格的平均增长率)、波动率（回归的标准偏差）以及无风险利率r为常数。市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；金融市场不存在无风险套利机会；金融资产的交易可以是连续进行的；可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。非线性Black-Scholes模型交易费用对定价公式的影响主要通过标的资产的波动率体现对于欧式期权，Black-Scholes模型变为以下非线性模型三种典型的非线性期权定价模型考虑交易费用的非线性模型主要有三种：（1）欧式期权的Leland模型（2）Barles-Soner模型（3）风险调整定价方法欧式期权的Leland模型其中Leland系数为k是单位交易额的交易费用，是以价格S买入或卖出标的资产数量。Leland的松弛对冲组合的基本思想是限定在离散时间进行交易。是两次交易之间的时间间隔。显然越小，交易越频繁，从而交易费用和V值也越高。是交易费用Barles-Soner模型采用指数函数作为效用函数风险调整定价方法该模型试图寻找两次相邻交易时间间隔的最优值，使交易费和无保护组合的风险率降到最低。这种情况下的波动率可采用以下形式：M是交易费，C是风险贴水率。非线性模型的分析及参数变换（1）非线性Black-Scholes模型具有终边值条件，且过宽的标的资产价格范围使得求解数值精度很难保证，一般做如下变换：非线性Black-Scholes模型变形为：其中非