郑州大学电路分析宋家友课件1-5

电路分析基础

宋家友郑州大学信息工程学院songjy@电路分析基础是通信、电子信息工程、计算机科学与技术、自动控制等专业的基础课程。通过本课程的学习，使同学们掌握电路的基本理论、基本分析方法和进行电路实验的基本技能，为后续专业课程打下必要的基础。学习电路分析要求透彻理解其中的重要概念，掌握基本定理、定律和分析电路的方法，并能运用它们分析和解决电路中的实际问题。电路分析是“电路理论”学科的重要分支

电路理论(circuittheory)是物理学中电磁学的一个分支，若从欧姆定律（1827年）和基尔霍夫定律（1845年）的发表算起，至今已有170多年的历史。随着电力和通信工程技术的发展，电路理论逐渐形成一门比较系统且应用广泛的工程学科。自20世纪60年代以来，新的电子器件不断涌现，集成电路、大规模集成电路、超大规模集成电路的飞跃发展、计算机技术的迅猛发展和广泛应用等等，都给电路理论提出了新课题，也促进了电路理论的发展。电路理论的内容十分广泛，它是电工、电子和信息科学技术的重要理论基础之一。

电路理论(circuittheory)主要包括电路分析和网络综合(与设计)两类问题。

电路分析(circuitanalysis)：根据已知的电路结构和元件参数，求解电路的特性。

网络综合(networksynthesis)：根据所提出的对电路性能的要求，确定合适的电路结构和元件参数，实现所需要的电路性能。

课程主要任务(task)：在给定电路结构和元件参数条件下，学习各种电路所共有的基本规律（电路元件的伏安关系、基尔霍夫定律和电路定理等）以及电路的各种基本分析计算方法。课程主要目的(aim)：深入理解电路的基本规律、定律和定理及有关物理概念，系统掌握求解电路的基本分析方法及一些典型电路的特殊分析方法和技巧等。充分了解这些规律、概念、方法的适用范围和使用条件，能用所学的电路基础理论知识去解决今后在学习和工作中所遇到的实际电路问题。

课程研究对象(researchobject)：各种电路模型（而不是实际电路）。课程特点(coursecharacter)：1）偏重电路元件的外特性，很少涉及元件内部的物理性质。2）偏重理论分析和计算。

课程分析方法(method)：1）等效法(equivalence)：先将原电路化为最简形式，达到不需列方程组即可求解。该方法只适合求解某一支路（或局部）的变量，又称为分解法(partition)。

2）方程法(equation)。方程法：

理想化实际电路电路模型

针对研究目的

选变量u,i,p

依据三类约束关系

列求解方程组

数学方法

求解分析主要参考书(reference)：《电路分析基础》李翰荪编(第四版)（上、下册）《电路》邱关源课程主要内容(contents)第一篇：总论和电阻电路的分析（第1－4章）约20学时。第二篇：动态电路的时域分析（第5－7章）约10学时。第三篇：动态电路的相量分析（第8－11章）约20学时学习本课程的几点要求：1、课前预习（非常重要）；2、课堂认真听讲，掌握重点、思路和方法；3、课下及时复习，通读教材（非常重要）；4、独立完成作业，要认真抄题，要画电路图；第一篇：总论和电阻电路的分析第一章集总电路中电压、电流的约束关系第二章网孔分析和节点分析第三章叠加方法与网络函数第四章分解方法及单口网络第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1-1电路及集总电路模型§1-2电路变量：电流、电压及功率§1-3基尔霍夫定律§1-4电阻元件§1-5电压源§1-6电流源§1-7受控源§1-8分压公式和分流公式§1-9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1-10支路分析§1-1电路及集总电路模型一.实际电路(actualcircuit)由电阻器、电容器、电感线圈、电源等元件和半导体器件等相互连接而构成的电路称为实际电路。此外，现代微电子技术已经可以将若干部、器件不可分离地制作在一起，电气上互连，电路成为一个整体，这就是集成电路。电阻器电容器线圈电池运算放大器晶体管典型的元器件实物照片低频信号发生器的内部结构变压器电容器电阻器简易手电筒电路实际电路中最简单最有代表性的就是手电筒电路，它由电池、灯泡、开关和手电筒壳（起导线作用）组成，如下图所示。手电筒实物

即使最简单的像手电筒这样的实际电路，要想画的既好看又快速，没有极好的美术功底是不可能的，因此，一般都将各种元、器件用图形符号表示。下页表1-1列举了一些国标中的电气图形符号。(a)实际电路(b)电气图(c)电路模型(电路图)(d)拓扑结构图采用符号绘出实际电路元器件及其相互连接关系的电气图将使实际电路一目了然，可读性强，如图(b)所示。二.电路模型

实际电气装置种类繁多，如电视机，收音机、手机以及通信系统等；实际电路的几何尺寸相差甚远，如电力系统或通信系统可能跨越省界、国界甚至是洲际的，而集成电路芯片小的如同指甲。

另外，实际电路器件品种也繁多，电磁特性复杂，把实际元器件直接画在电路图中既困难又繁琐，且不易定量描述。因此，在电路分析中，为了便于对实际电气装置进行分析研究，通常是在一定条件下对实际电路采用模型化处理，即用抽象的理想电路元件及其组合近似地代替实际元器件，从而构成了与实际电路相对应的电路模型。

理想电路元件是实际电路元器件的理想化和近似，其电磁特性唯一、精确，可定量分析和计算。理想电路基本元件分有源和无源两大类RC+

US–电阻元件只具耗能的电特性电容元件只具有储存电能的电特性理想电压源输出电压恒定，输出电流由它和负载共同决定理想电流源输出电流恒定，两端电压由它和负载共同决定L无源二端元件有源二端元件电感元件只具有储存磁能的电特性IS5种基本理想电路元件有三个特征：（a）只有两个端子；（b）可以用电压或电流按数学方式描述；（c）不能被分解为其他元件。注意三.集总参数电路(lumpedparameter

circuit)指由集总参数元件连接组成的电路,即用理想元件的组合取代实际电路元器件和设备所得到的理想电路，又称电路模型，简称电路。集总参数元件：实际元件的电能消耗及电、磁能的贮存等现象往往交织在一起并发生在整个部件中。若假定这些现象可以分别研究，并且这些电磁过程都分别集中在各元件内部，这样的元件就称为集总参数元件，简称集总元件，它是实际器件的抽象模型，是用来模拟某一电磁现象的理想元件。常用的理想元件：电阻(resistor)、电感(inductor)、电容(capacitor)、电压源(voltagesource)、电流源(currentsource)、受控源(controlledsource)。

集总参数电路是本门课程讨论的对象。电路是指用“理想导线”将一些电路元件符号按一定规律连接组成的图形。电路图中，元件符号的大小，连线的长短和形状都是无关紧要的，只要能正确表明各电路元件之间的连接关系即可。

当然，用集总参数电路模型描述实际电路是有条件的，它要求实际电路的尺寸l(长度)要远远小于电路工作时电磁波的波长λ,即

这样，可以认为传送到实际电路各处的电磁能量是同时到达的。这时，与电磁波的波长相比，电路尺寸可以忽略不计。从电磁场理论的观点来看，整个实际电路可看作是电磁空间的一个点，这与经典力学中把小物体看作质点是相类似的。实际电路的几何尺寸相差甚大。对于电力输电线，工作频率为50Hz，相应的波长为6000km，因而30km长的输电线只有波长的1/200，可以看作是集总参数电路，而远距离输电就不能看作是集总参数电路。对于电视天线及其传输线来说，其工作频率为108Hz数量级，譬如某频道，工作频率约为200MHz，相应的工作波长为1.5m，这时0.2m长的传输线也不能看作是集总参数电路。对于不符合集总化假设的实际电路，就需要用分布(distributed)参数电路理论或电磁场理论来研究，这将会在以后见到。本书只讨论集中参数电路，而今后所说的“元件”、“电路”均指理想化的集总参数的元件和电路。四.电路的主要功能(function)：进行能量的传输、分配与转换典型的例子是电力系统中的输电电路。发电厂的发电机组将其他形式的能量(或热能、或水的势能、或原子能等)转换成电能，通过变压器、输电线等输送给各用户负载，在那里又把电能转换成机械能(如负载是电动机)、光能(如负载是灯泡)、热能(如负载是电炉等)，为人们生产、生活所利用。实现信息的传递与处理典型的例子有电话、收音机、电视机电路。接收天线把载有语言、音乐、图像信息的电磁波接收后，通过电路把输入信号(又称激励)变换或处理为人们所需要的输出信号(又称响应)，送到扬声器或显像管，再还原为语言、音乐或图像。五.电路分类

集总参数电路：电路尺寸远小于电路工作时电磁波的波长。非集总参数电路：电路尺寸与电路工作时电磁波的波长可以比拟。线性电路(linear)：电路中所有元件都是线性元件（指元件参数与电流和电压无关）。非线性电路(nonlinear)：电路中含有非线性元件。{{时变电路(time-varying)：

元件参数随时间变化。非时变电路(time-invariant)：

元件参数与时间无关。{第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析§1.2电路变量电流、电压及功率电路的基本物理量

电路的特性是由电流、电压和电功率等物理量来描述的。电路分析的基本任务就是计算电路中的电流、电压和功率。一、电流(current)1、定义：电荷有规则的定向运动。

通常，自由电子在金属导体内作无规则的热运动，如下图(a)所示，并不形成传导电流。如果接上电源，带负电荷的自由电子逆电场方向运动，这样就有电荷作规则的定向运动形成传导电流，如图(b)所示，图中E为电场强度(electric-fieldintensity)。电流强度(currentintensity)：单位时间内通过导体某一横截面的电荷量，如图所示。电流强度用i(t)表示，即式中，q(t)为通过导体横截面的电荷量。若dq(t)/dt为常数，即是直流电流，常用大写字母I表示。电流强度的单位是安培(A)，简称“安”。电流的单位及换算：安培(A)=库仑(C)/秒(s)1A=103mA=106μA=109nA2、电流的方向：规定为正电荷运动的方向。在一些很简单的电路中，电流的方向是显而易见的，从电源正极流出，到电源负极。但在复杂电路里，实际电流方向并不能一看便知。

如图所示桥形电路中，R5上的电流实际方向就不是一看便知的。不过，R5上电流的实际方向只有3种可能：(1)从a流向b;(2)从b流向a;(3)既不从a流向b,又不从b流向a(R5上电流为零)。3、电流的参考方向(referencedirection)：假定的正电荷运动的方向。参考方向可任意指定，一般用箭头标在电路图上，也可用双下标表示，如iab表示参考方向由a指向b。今后若无特殊说明，就认为电路图上所标箭头是电流的参考方向。iab

参考方向ABi>0i<0实际方向实际方向参考方向与实际方向的关系：i

参考方向ABi

参考方向AB

大小方向(正负）电流(代数量)二、电压(voltage)

1、定义：两点之间的电位差。

从电场力做功概念定义，电压就是将单位正电荷从电路中某点移到电路中另一点电场力做功的大小，用u或u(t)表示。在下图所示参考方向下，用数学式表示，即为电压、电位和电动势区别：电压的定义为：Uab=Wa－Wbq电位的定义为：Va=Wa－W0q电动势的定义为：E=W源q三者定义式的形式相同因此它们的单位相同

电压和电位是衡量电场力作功本领的物理量，电动势则是衡量电源力作功本领的物理量；电路中两点间电压的大小只取决于两点间电位的差值，是绝对量；电位是相对量，其高低正负取决于参考点；电动势只存在于电源内部。IERL+_R0Sa电位V是相对于参考点的电压。参考点的电位:Vb=0；a点电位：Va=E-IR0=IRL电压U是反映电场力作功本领的物理量，是产生电流的根本原因。电压的正方向规定由“高”电位指向“低”电位。电动势E只存在于电源内部，其大小反映了电源力作功的本领。其方向规定由电源“负极”指向电源“正极”。b+

U–2、电压的实际方向：规定为电位真正降低的方向。若正电荷由a转移到b获得能量，则a点为低电位（负极），b点为高电位（正极），常将这种在电路中转移时电能的获得称为电压升。反之，若正电荷由a转移到b失去能量，则a点为高电位，b点为低电位，又称电压降。3、电压参考方向：假设的电位降低方向。

电压的参考方向也是任意指定的，一般用“+”、“-”表示，有时也用箭头。箭头由“+”极指向“-”极；也可用双下标表示，如uab，表示a点为“+”极，b点为“-”极。大小、方向均恒定不变时为直流电压，常用大写U表示。4、关联(associated)参考方向：同一元件中电流的参考方向和电压的参考极性一致，即电流与电压降参考方向一致。如图(a)所示。这样，在电路图上就只需标明电流参考方向或电压参考极性中的任何一种即可。电流、电压参考方向相反时称为非关联参考方向，如图(b)所示。(a)关联参考方向i+-u(b)非关联参考方向+-iu分析电路前必须选定电压和电流的参考方向参考方向一经选定，必须在图中相应位置标注(包括方向和符号)，在计算过程中不得任意改变参考方向不同时，其表达式相差一负号，但电压、电流的实际方向不变。例电压电流参考方向如图中所标，问：对A、B两部分电路电压电流参考方向关联否？答：A电压、电流参考方向非关联；

B电压、电流参考方向关联。注意＋－uBAi2、功率的计算：设t时刻采用关联电压、电流参考方向如图所示，dt时间内由a转移到b的正电量为：abu(t)i(t)1、定义：单位时间做功大小，或者说做功的速率，用符号p(t)表示。数学定义为：

三、功率(power)在转移过程中，电荷dq失去的能量（即电路所吸收的能量）为：电路吸收电能的速率（电功率）为：abu(t)i(t)

当u、i为非关联参考方向时：

无论关联还是非关联，都有：

p>0时，表明电路吸收或消耗能量

p<0时，表明电路产生能量或提供能量3、功率的参考方向－假设为能量传输的方向

当p、u、i为关联参考方向时：

设t=t0时元件的能量为w(t0)，时刻t元件的能量为w(t)，对式从t0到t积分，可求得从t0到t时间内元件吸收的能量(u，i为关联参考方向)为：

四、能量(energy)则称该元件（或电路）是无源的(passive)，否则就称其为有源的(active)。对于一个二端元件（或电路），如果对于所有的时刻t，有它是直到时刻t，元件吸收的能量。以上关于功率、能量的论述也适用于任何一段电路。若选t0=-∞，且假设w(-∞)=0，则

用电器铭牌数据上的电压、电流值称额定值，所谓额定值是指用电器长期、安全工作条件下的最高限值，一般在出厂时标定。其中额定电功率反映了用电器在额定条件下能量转换的本领。例如额定值为“220V、1000W”的电动机，是指该电动机运行在220V电压时、1秒钟内可将1000焦耳的电能转换成机械能和热能；“220V、40W”的电灯，说明在它两端加220V电压时，1秒钟内它可将40焦耳的电能转换成光能和热能。注意例1.

已知i=-4A，u=6V，求其功率。解：实际提供24W功率。abu(t)i(t)例2.

已知i=2A，u=-5V，求其产生的功率和0－2秒产生的电能。解：产生的电功率为0－2秒产生的电能为:abu(t)i(t)例3.

如图所示电路，已知i=1A,u1=3V,u2=7V,u3=10V,求ab、bc、ca三部分电路各吸收的功率p1,p2,p3。解：对ab段、bc段，电压电流参考方向关联，所以吸收功率

对ca段电路，电压电流参考方向非关联，所以这段电路吸收功率

实际上ca这段电路产生功率为10W。由此例可以看出：p1+p2+p3=0,即对一完整的电路来说，它产生的功率与消耗的功率总是相等的，这称为功率平衡。验证电路计算结果是否正确的准则之一能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为别的形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中其总量不变。因此，对于任何电路均有：你能确定图示电路中电压Uab的实际极性吗？为什么？答案：随着10kΩ电位器的变化，Uab的实际电压方向会发生变化。作业一：P51:1-1,P52:1-3,1-4第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析

基尔霍夫定律包括结点电流定律（KCL）和回路电压（KVL）两个定律，是集总电路必须遵循的普遍规律。基尔霍夫将物理学中的“液体流动的连续性”和“能量守恒定律”用于电路中，总结出了他的第一定律（KCL）；根据“电位的单值性原理”又创建了他的第二定律（KVL），从而解决了电路结构上整体的规律，具有普遍性。基尔霍夫两定律和欧姆定律合称为电路的三大基本定律。§1.3

基尔霍夫定律

1、二端元件(two-terminal)－指有两个引出端的元件，如下图（a）所示。具有两个以上端子的元件称为多端元件，像晶体管是三端元件，变压器是四端元件等。在集总参数假设条件下，通常只关心元件端子上的特性（称为外部特性），而不注意内部的情况。一、电路图术语(a)二端元件(b)三端元件(c)四端元件IbIcIbIcIf+-

Uab+_R1US1+_US2R2R31123322、支路(branch)：电路图中的每一个元件，即图中的每一条线段，甚至某些元件的串联组合或并联组合，称为支路。3、节点(node)：支路的连接点。4、路径(path)：从某一节点出发，连续经过一些支路和节点（只能各经过一次）而到达另一节点的路线。5、回路(loop)：如果路径的最后到达点就是出发点，这样的闭合路径称为回路。6、网孔(mesh)：在平面图中，构成回路的各支路围成一个区域，并且在区域内部不包含支路和节点的回路称为网孔。7、平面电路(planarcircuit)：指可画在一个平面上且不使任何两条支路交叉的电路。否则，称立体或非平面(nonplanarcircuit)。（直流电路中电流）I=0i=0（任意波形的电流）任一瞬间，流向某一节点电流的代数和恒等于零。

根据电流连续性原理，电荷在任何一点均不能堆积(包括节点)。故有：数学表达式为：I1I2I3I4a–I1+I2–

I3–I4=0

若以指向结点的电流为正，背向结点的电流为负，则根据KCL，对左图结点a则有：二、基尔霍夫电流定律(Kirchhoff’sCurrentLaw)

KCL的扩展应用仍有I=0IA+IB+IC=0

可见，在任一瞬间通过任一封闭面的电流代数和也恒等于零。IAIBIABIBCICAICABC

对A、B、C三个结点应用KCL可列出：IA=IAB–ICAIB=IBC–IABIC=ICA–IBC上列三式相加，得KCL的扩展范围二端网络的两个对外引出端子上电流相等，一个流入、一个流出。只有一条支路相连时：

i=0。ABi1i3i2ABiiABi？AB1.i2i1i1

=i2+_1Ω+_1Ω1Ω3V1Ω1Ω1Ω2V2.+_1Ω+_1Ω1Ω3V1Ω1Ω1Ω2VABi4i3i3

=i4右封闭曲面上两引出端子上电流不等，不能视为广义结点右封闭曲面可视为广义节点i3

=0.8Ai4=1AKCL是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意节点的反映；KCL是对节点支路电流所加的约束，与支路上接什么元件无关，与电路是线性还是非线性也无关；KCL方程是按电流参考方向列出的，与电流实际方向无关。当支路电流参考方向选定后，依据参考方向是流入或流出取号(流出者取正号，流入者取负号，或者反之)列写KCL方程。KCL具有普遍意义，它适用于任意时刻、任何激励源(直流、交流或其他任意变动激励源)情况下的一切集总参数电路。注意！

例：如图电路，已知i1=4A,i2=7A,i4=10A,i5=-2A,求电流i3、i6。

解：选流出节点的电流取正号。对节点b列KCL方程，有则对节点a列KCL方程，有

则

还可应用闭曲面S列KCL方程求出i6,设流出闭曲面的电流取正号，列方程

得对任何集总参数电路，在任意时刻，沿任意闭合路径绕行，各段电路电压的代数和恒等于零。其数学表示式为：（沿任一回路）式中，uk(t)代表回路中第k个元件上的电压，m为回路中包含元件的个数。（代数和是指与回路绕行方向一致的支路电压取正号，相反的取负号。）三、基尔霍夫电压定律(Kirchhoff’sVoltageLaw)

KVL反映的是集总参数电路遵从能量守恒定律。依据KVL：

U=0I1+US1R1I4US4R4I3R3R2I2_U3U1U2U4得：-U1-US1+U2+U3+U4+US4=0–R1I1–US1+R2I2–R3I3+R4I4+US4=0–R1I1+R2I2–R3I3+R4I4=US1–US4电阻压降可得KVL另一形式：∑IR=∑US电源压升推论：电路中任意两点间的电压等于两点间任一条路径经过的各元件电压的代数和。I1+US1R1I4US4R4I3R3R2I2_U3U1U2U4ABUAB沿左和沿右计算结果相同，符合电位的定义。AB··UAB=U2+U3UAB=US1+U1－US4－U4

电路中任意两点的电压，与绕行路径无关。因此，可灵活运用KVL，求任意两点间的电压。

KVL不仅适用于电路中的具体回路，对于电路中任何一假想的回路，它也是成立的。例如对图中假想回路B，可列如下方程：

式中ux(t)为假想元件上的电压，这样

例：求图示电路中U和I。UIKCL：-3-1+2-I=0→I=-2AVAR:U1=3I=3×(-2)=-6VKVL：U+U1+3-2=0→U=5V3A3V2V3WU11A2A解：例：求图示电路中的未知电流和未知电压。解：对于节点(1)所以对于节点(2):所以由节点(3)得：

则：

根据KVL得：所以：又则：

电路图的电位表示法

关于KVL的应用，也应注意两点：

(1)KVL适用于任意时刻、任意激励源情况的一切集总参数电路。(2)应用KVL列回路电压方程时，首先要设回路中各元件(或各段电路)上电压参考方向，然后选一个绕行方向(顺时针或逆时针均可)，自回路中某一点开始，按所选绕行方向沿着回路“走”一圈。“走”的过程中遇各元件取号法则是：“走”向先遇元件上电压参考方向的“+”端取正号，反之取负号，即属电压降时取正号。

1、欧姆定律解决的是元件上电压、电流的约束关系，这种约束取决于支路元件的性质，与电路结构无关；KCL和KVL解决的是电路结构上电压、电流的约束关系，取决于电路的连接形式，与支路元件的性质无关。2、应用KCL解题首先约定电流的参考方向，其目的是为了给出方程式中各项取正、负号的依据。若计算结果为负值，说明该电流的实际方向与电路图上标示的参考方向相反。小结第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析§1.4

电阻元件

1、定义：一个二端元件，如果在任意时刻t，不论电压或电流的波形如何，两端电压u与流经它的电流i之间存在代数关系，也即这一关系能用u~i平面（或i~u平面）上的曲线所确定，就称为二端电阻元件，简称电阻元件(resistor)，其数学表达式为：如图曲线就是某电阻的特性曲线，它表明了电阻两端电压与流过它电流间的约束关系(VoltageCurrentRelationship，简称为VCR，或称伏安关系VAR，VoltAmpereRelation)。

常用的各种二端电阻器件电阻器晶体二极管

2、分类：如果电阻元件的电压电流关系(VCR或伏安关系VAR)不随时间变化，称为时不变的，否则称为时变的；如过伏安特性是通过原点的直线，即电阻值不随其上电压或电流数值变化，则称为线性的，否则称为非线性的。

a)线性时不变电阻b)线性时变电阻c)非线性时不变电阻d)非线性时变电阻

本课程主要研究线性时不变电阻，即元件阻值不随时间t变化。3、线性时不变电阻：其伏安特性是u~i平面上一条通过原点的直线，如下图(b)所示。在电压、电流参考方向关联（图(a)）条件下,其电压与电流的关系就是熟知的欧姆定律(Ohm‘sLaw,简记OL)，即：这就是电阻的VCR（VAR）。4、有源电阻和无源电阻：

从电阻元件能否发出功率角度出发，可以把电阻分为无源电阻和有源电阻。线性正电阻是无源电阻；线性负电阻是有源电阻。一般来说，特性曲线落入一、三象限的电阻为无源电阻，否则就是有源电阻。电阻的倒数称电导(conductance)，以符号G表示，即电导的单位是西门子，简称西(S)。应用电导表示电流与电压之间关系时，欧姆定律可写为：如果电阻R上的电流电压参考方向非关联，则欧姆定律公式中应加负号，即：注！这里的“-”号不是负电阻。

线性电阻的两种特殊情况——开路和短路。(a)开路的电压电流关系曲线。(b)短路的电压电流关系曲线。二极管符号5、非线性电阻元件事例――二极管理想化后二极管uiui6、电阻元件上消耗的功率与能量

电阻R吸收的功率：

或

电导G吸收的功率：

或

电阻吸收的能量与时间区间相关。设从t0~t区间电阻R吸收的能量为w(t),它就等于从t0到t对它吸收功率p(t)的积分，即：

若从-∞直到时刻t，电阻吸收的能量：由以上可见，对于通常所说的电阻（即R≥0，G≥0）恒有：

p(t)≥0，w(t)≥0

这表明，在任何时刻，（正）电阻都不可能发出功率（或能量），它吸收的电磁能量全部转换为其它形式的能量。所以，（正）电阻不仅是无源元件而且是耗能元件。当R<0(或G<0)时，p≤0，这表明负电阻可以发出功率。

例：某学校有5个大教室，每个教室配有16个额定功率为40W、额定电压为220V的日光灯管，平均每天用4h(小时)，问每月(按30天计算)该校这5个大教室共用电多少kW·h?

解：kW·h读作千瓦小时，它是计量电能的一种单位。1000W的用电器加电使用1h，它所消耗的电能为1kW·h，即日常生活中所说的1度电。为保证不因电流过大，温度过高烧坏设备，制造工厂在电器名牌上标出的电压、电流或功率的限额称为额定值。第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析§1.5电压源电路中的耗能器件或装置有电流流动时，会不断消耗能量，因此，电路中必须有提供能量的器件或装置——电源。电源的种类很多，常用的直流电源有干电池、蓄电池、直流发电机、直流稳压电源和直流稳流电源等。为了得到各种实际电源的电路模型，定义了两种理想的电路元件——电压源和电流源。一、电压源定义：不管外部电路如何，两端电压保持定值或一定的时间函数的电源。

二、电压源模型

三．伏安关系：u(t)=uS(t)

i(t)=任意值注意！电压源的端电压与电流常采用非关联参考方向。说明：1）理想电压源的端电压与流经它的电流方向、大小无关，即使流经它的电流为无穷大，其两端电压仍为固定值，如图(b)所示。若理想电压源us(t)=0,实际相当于短路。如果us(t)随时间变化，则平行于电流轴的直线也随之改变位置，如图(c)所示。2）理想电压源的端电压由自身决定，而流经它的电流由它及外电路共同决定，即输出电流随外电路变化。电流可以从不同方向流过电源，因此，理想电压源既可以对电路提供能量(起电源作用)，也可以从外电路接受能量(当作其他电源的负载)，由流经理想电压源电流的实际方向而定。3）理论上讲，极端情况下，理想电压源可以供出无穷大能量，也可以吸收无穷大能量。开路I=0US+_RL+_U=USI=∞US+_RL短路+_U=0理想电压源不允许短路！关联参考方向下+UI+UIP发=－UIP吸=UI非关联参考方向下P发=UIP吸=－

UI四.电压源的开路与短路五、电压源的功率电压源的两种工作状态：零值电压源：零值电压源相当于一条短路线。

+-USI1.吸收功率，作为负载工作。+-USI2.产生功率，作为电源工作。+-uSabiabi例:

图示电路中，A部分电路为电压源,Us=6V;B部分电路即负载电阻R是电压源Us的外部电路，它可以改变。电流I、电压U参考方向如图中所标。求：(1)R=∞时的电压U，电流I，Us电压源产生的功率Ps;(2)R=6Ω时的电压U，电流I，Us电压源产生的功率Ps;(3)当R→0时电压U，电流I，Us电压源产生的功率Ps。

解(1)R=∞时即外部电路开路，Us为理想电压源，所以

依据欧姆定律：

(2)R=6Ω时

Us产生的功率

(3)当R→0时，显然

例：图示电路中，B部分电路是由电阻R与另一电压源Us2=12V串联构成，作为A部分电路Us1=6V电压源的外部电路，电压U、电流I参考方向如图中所标。求：R→0时电流I、Us1吸收功率Ps1。

解：a点电位Va=6V,b点电位Vb=12V，电压Uab=Va-Vb=6-12=-6V，根据欧姆定律，得电流

此时Us1吸收功率

理想电压源Us1供出的电流为负值，在R→0极端情况下，Us1电压源吸收功率为无穷大。

在R→0时第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析定义：不管外部电路如何，输出电流为定值或一定时间函数的电源。模型：伏安特性：

(u为任意值)§1.6电流源(1)电流源发出的电流i(t)=is(t)与其两端电压大小、方向无关，即使两端电压为无穷大。(2)理想电流源的输出电流由它本身决定，而它两端电压则由本身的输出电流与外部电路共同决定。(3)理论上讲，理想电流源可以供出无穷大能量，也可以吸收无穷大能量。说明：电流源的两种工作状态：零值电流源：零值电流源相当于开路。

1.吸收功率，作为负载工作。2.产生功率，作为电源工作。UISUISuiSababu例:

图示电路中，A部分电路为直流理想电流源Is=2A,B部分电路即负载电阻R为理想电流源Is的外部电路。设U、I参考方向如图中所标，求：(1)R=0时电流I，电压U及Is电流源产生的功率Ps;(2)R=3Ω时电流I，电压U及Is电流源产生的功率Ps;(3)R→∞时电流I，电压U及Is电流源产生功率Ps。

解(1)R=0时即外部电路短路，Is为理想电流源，所以电路由欧姆定律算得电压

对Is电流源来说，I、U参考方向非关联，所以Is电流源产生功率(2)R=3Ω时，电流

电压

Is电流源产生功率

(3)当R→∞时，根据理想电流源定义

例已知iS=3A，

us=5V，R＝5，求Pus、Pis、PR。

+-uSiSRu1u2解：（吸收）（实际产生）（吸收）作业P54:10,P55:12,P57:21,P59:34第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析§1.7受控源1.定义所谓受控源，是指大小、方向受电路中其它地方电压或电流控制的电源，即电压源的电压或电流源的电流不是确定的时间函数，而是受电路中其它支路电压或电流控制。受控源是有源二端口元件，其中，一个是电源端口(又称输出端)，输出电压us或电流is，能提供功率；另一个是控制端口(又称输入端)，控制电压为uC或控制电流为iC。+–受控电压源受控电流源2.符号3.受控源与独立源比较独立源电压(或电流)由电源本身决定，与电路中其它支路电压、电流无关，而受控源电压(或电流)由控制量决定。独立源在电路中起“激励”作用，在电路中产生电压、电流，而受控源反映电路中某处的电压或电流对另一处电压或电流的控制关系，在电路中不能作为“激励”。4.实际电路中的受控现象三极管IbIc

根据控制量是电压还是电流，受控电源是电压源还是电流源，受控源有四种基本形式：电压控制电压源(VCVS)、电流控制电压源(CCVS)、电压控制电流源(VCCS)和电流控制电流源(CCCS)

，其电路符号分别如下图所示，受控源符号用菱形表示。5.受控源模型U1电压控电压源+-U电压控电流源U1I2电流控电流源I2I1I1+-电流控电压源U

VCVS：uS(t)=μuc(t)CCVS：uS(t)=riC(t)iC(t)=0，－转移电压比uc(t)=0，r－转移电阻VCCS：is(t)=g

uc(t)CCCS：is(t)=αic(t)iC(t)=0，g－转移电导uc(t)=0，

－转移电流比

6.受控源的VARU1VCVS+-UVCCSU1I2CCCSI2I1I1+-CCVSU说明：前面各受控源表达式中的μ、r、g、α均是控制系数，其中μ和α无量纲，r和g分别具有电阻和电导的量纲。当这些系数为常数时，被控电源数值与控制量成正比，这种受控源称为线性时不变受控源。受控源的VAR为代数方程，因此，受控源也称为双口有源电阻元件。受控源有两个端口，但由于控制口的功率恒为零（即当电压uc控制时，控制口电流iC为零；当电流iC控制时，控制口电压uC为零），它不是开路就是短路。所以，在电路图中，不一定要专门画出控制口，只要在控制支路中标明该控制量即可，如图(a)(b)，两者本质是相同的，但图(a)简单明了。求受控源的功率例1：7.例题

受控源是有源元件，在电路中它可能放出电能，也可能吸收电能。解：（吸收）例2：对图示电路，求ab端开路电压Uoc、电压源产生的功率及受控源产生的功率。解

设电流I1参考方向如图中所标，由KCL，得

对回路A应用KVL列方程

将(1)代入(2)式，解得

由欧姆定律得开路电压

(1)(2)所以

p受＝8I×Uoc＝144Wp源＝I×Us＝20W

例3：下图是放大器的简化模型。已知R1=2Ω，R2=15Ω，α=4，输入电压ui=2cost(V)，求输出电压uo。

解对于节点b，根据KCL，考虑到i2=ai1，有i3=i1+i2=(1+a)i1输入电压：ui=R1i3=R1(1+a)i1输出电压：uo=-R2

i2=-R2ai1所以即(V)

可见，输入电压被放大到6倍，但极性相反。第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析1.电路等效的概念

电路等效是指：若B与C具有相同的电压电流关系，即相同的VAR，则称B与C互为等效。§1.8分压公式和分流公式

利用电路的等效可以简化电路，能更方便地求出如图所示A(也就是电路未变化的部分)中的电流、电压、功率。2.电阻的串联分压

（1）电阻的串联等效

图(a)的VAR为图(b)的VAR为所以：等效电阻

结论：电阻串联，其等效电阻等于相串联各电阻之和。

（2）电阻串联的分压若已知串联电阻两端的总电压，求相串联各电阻上的电压，称分压。

由欧姆定律，得：

由图(b)的VAR可得：两个电阻串联时的分压公式：

同样：

结论：1.串联各电阻分压大小与其阻值成正比，即电阻值越大所分电压越大。2.串联电阻电路消耗的总功率等于相串联各电阻消耗功率之和，且阻值越大消耗功率越大。

（3）n个电阻串联分压

总电阻：分压公式：例1：对如图所示微安计与电阻串联组成的多量程电压表，已知微安计内阻R1=1kΩ，各档分压电阻分别为R2=9kΩ，R3=90kΩ，R4=900kΩ；这个电压表的最大量程(用端钮“0”、“4”测量，端钮“1”、“2”、“3”均断开)为500V。试计算表头所允许通过的最大电流及其他量程的电压值。

解：

当用“0”、“4”端测量时，电压表的总电阻

假如这时所测的电压恰为500V(这时表头也达到满量程)，则通过表头的最大电流：

当开关在“1”档时(“2”、“3”、“4”端钮断开)

当开关在“2”档时(“1”、“3”、“4”端钮断开)

当开关在“3”档时(“1”、“2”、“4”端钮断开)

由此可见，直接利用该表头测量电压，它只能测量0.5V以下的电压，而串联了分压电阻R2、R3、R4以后，作为电压表，它就有0.5V、5V、50V、500V四个量程，实现了电压表的量程扩展。

电阻并联后总电导和电阻：分流公式：两电阻并联，有，3.电阻的并联分流

电阻并联后各电阻分流大小与阻值成反比，阻值越大分流越小。

并联电阻电路消耗的总功率等于相并联各电阻消耗功率之和，但阻值越大消耗功率越小。

由此可得：，例2：多量程电流表如图所示，已知表头内阻RA=2300Ω，量程为50μA，各分流电阻分别为R1=1Ω，R2=9Ω,R3=90Ω。求扩展后各量程。

解：基本表头偏转满刻度为50μA。当用“0”、“1”端钮测量时，“2”、“3”端钮开路，这时RA、R2、R3是相串联的，而R1与它们相并联.同理，用“0”、“2”端测量时，“1”、“3”端开路，这时流经表头的电流仍应为50μA，由分流公式得：所以

当用“0”、“3”端测量时，“1”、“2”端开路，这时流经表头的电流IA(满刻度)仍是0.05mA则有

由此例可以看出，直接利用该表头测量电流，它只能测量0.05mA以下的电流，而并联了分流电阻R1、R2、R3以后，作为电流表，它就有120mA、12mA、1.2mA三个量程，实现了电流表的量程扩展。

定义：既有电阻串联又有电阻并联的电路称为混联电路。判别混联电路的串并联关系应掌握3点：(1)看电路的结构特点。(2)看电压电流关系。(3)对电路作变形等效。求解步骤：逐步用分流、分压公式求各元件电流和电压。4.电阻的混联例3：求图(a)电路ab端的等效电阻。

解：将短路线压缩，c、d、e三个点合为一点，如图(b)，再将能看出串并联关系的电阻用其等效电阻代替，如图(c)，由(c)图就可方便地求得：

这里，“∥”表示两元件并联，其运算规律遵守该类元件并联公式。

例4：如图所示电路中，已知：求：I、I1、U2。解：////例5：惠斯顿电桥电路如图所示。当电流Ig=0时，称之为电桥平衡。试求电桥平衡的条件。解：由于电桥平衡时Ig＝0，所以I1=I3,I2=I4,则由分压公式得：又由于电桥平衡时，所以因此：由此可得：这一条件就是要求的电桥平衡条件。当满足这一条件时：作业P57:23,24,27,P58:28第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析拓扑约束和元件约束是解决集总电路问题的基本依据。1.两类约束（1）拓扑约束：指组成网络的各个节点间电流以及回路间电压相互制约的关系，且这些约束关系仅决定于网络的结构（互连形式），而与网络中各支路元件的电特性无关。拓扑约束由基尔霍夫定律(KCL和KVL)体现。（2）元件约束：即每种元件自身对电压和电流所形成的约束，这种约束通过用VAR体现。§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性（1）（2）（3）（4）

将以上4个方程相加，结果为零，故它们是非独立方程组。但不难验证，其中任意3个方程可组成独立方程组。

对于如图所示电路的节点1、2、3、4可列出KCL方程(电流流出节点取“+”号，流入取“-”号)为：2.KCL方程的独立性结论：若电路中有n个节点，则只能得到（n-1）个独立的KCL方程。因为任一条支路一定与电路中两个节点相连，它上面的电流总是从一个节点流出，流向另一个节点。如果对所有n个节点列KCL方程时，规定流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，每一个支路电流在n个方程中一定出现两次，一次为正号(+ij),一次为负号(-ij),若把这n个方程相加，它一定是等于零的恒等式，即：

式中：n表示节点数；(∑i)k表示第k个节点电流代数和；表示对n个节点电流和再求和；表示b条支路一次取正号，一次取负号的电流和。

上式说明依KCL列出的n个KCL方程不是相互独立的。但从这n个方程中任意去掉一个节点电流方程，则与该节点相连的各支路电流在余下的n-1个节点电流方程中只出现一次。如果将剩下的n-1个节点电流方程相加，其结果不可能恒为零，所以这n-1个节点电流方程是相互独立的。

习惯上，把电路中能列出相互独立方程的节点称为独立节点。

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）3.KVL方程的独立性

同样，将上述各方程相加，结果也为0，说明相互之间不独立。如何得到独立KVL回路？方法1.每选一个回路，让该回路包含新的支路，选满L个为止。（如上例中1、3、7回路。）

方法2.对平面电路，L个网孔就是一组独立回路。（如上例中1、2、4回路。）结论：若电路有n个节点，b条支路，则有L＝(b-n+1)个独立KVL方程。与独立KVL方程对应的回路称为独立回路。第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系§1.1电路及集总电路模型§1.2电路变量电流、电压及功率§1.3基尔霍夫定律§1.4电阻元件§1.5电压源§1.6电流源§1.7受控源§1.8分压公式和分流公式§1.9两类约束KCL、KVL方程的独立性§1.10支路分析§1.10支路分析1.电路分析的典型问题给定了电路结构、元件特性以及电路的激励(各独立电源的电压或电流），如何求出各支路的响应(支路电压或支路电流)。2b分析法

如果电路有b条支路，n个节点，则电路共有2b个支路电压和电流未知量。根据两类约束可列出所需的2b个联立方程从而解出2b个支路电压、电流。这种方法称为2b分析法。

当然，如果在b条支路中，独立电压源支路及独立电流源支路总数为bs，则未知电压、电流数将减少为2b-bs。2b分析法的缺点是求解联立方程组的工作量太大。1b分析法

其基本思路是先求解支路电流或电压，再求解支路电压或电流的分析方法。此时，求解联立方程数量只有b个，可大大减少工作量。

1b分析法中，以支路电流为变量，建立联立方程组求解电路的方法称为支路电流法。同理，以支路电压为变量，建立联立方程组求解电路的方法称为支路电压法。支路分析法2b分析法和1b分析法由于均立足于支路，故合称为支路分析法。2.支路电流分析法支路电流分析法是以支路电流作为电路的变量，直接应用基尔霍夫电压、电流定律，列出与支路电流数目相等的独立节点电流方程和回路电压方程，然后联立解出各支路电流的一种方法。以下图例说明其方法和步骤：（1）该电路有6个支路，即m=6，则支路电流有i1、i2….I6共六个。（2）节点数n=4，可列出3个独立的节点方程。(3)根据KVL列回路方程时，独立方程数l=6-(4-1)=3，其独立回路就选3个网孔，选定绕行方向后，由KVL列出3个独立的回路方程。回路1-3：(4)将六个独立方程联立求解，得到各支路电流。计算结果，如果支路电流值为正，则表示实际电流方向与参考方向相同；如果某一支路的电流值为负，则表示实际电流方向与参考方向相反。(5)根据电路的要求，可进一步求出其他待求量，如支路或元件上的电压、功率等。例：用支路电流法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻上吸收的功率。解：（1）求各支路电流。该电路有三条支路、两个节点。首先指定各支路电流的参考方向，如图所示。列出节点电流方程如下：节点①

–

і

1+і

2+

і

3=0选取独立回路，并指定饶行方向，列回路方程如下：回路1

7

і1+11і

2=6–70=–64回路2

-11i2+7i3=-6联立求解，得到：

і

1=–6A

і

2=–2A

і

3=–4A支路电流і1、і2、і3的值为负，说明і1、і2、і3的实际方向与参考方向相反。

（2）求各电阻吸收的功率。电阻R1吸收的功率：

电阻R2吸收的功率：电阻R3吸收的功率：本章小结一.电路模型与电路中基本变量1.电路模型在集总假设的条件下，定义一些理想电路元件(如R、L、C等)，这些理想电路元件在电路中只起一种电磁性能作用，它有精确的数学解析式描述，也规定有模型表示符号。对实际的元器件，根据它应用的条件及所表现出的主要物理性能，对其作某种近似与理想化(要有实际工程观点)，用所定义的一种或几种理想元件模型的组合连接，构成实际元器件的电路模型。若将实际电路中各实际部件都用它们的模型表示，这样所画出的图称为电路模型图(又称电路原理图)。

2.电路中的基本变量1)电流电荷有规则的定向移动，其大小用电流强度表示，单位为安(A);规定正电荷运动的方向为电流的实际方向；假定正电荷运动的方向为电流的参考方向。2)电压两点之间电位之差。用移动单位正电荷电场力做功来定义，即u=dw/dq，单位为伏(V)；规定电位真正降低的方向为电压的实际方向；假定电位降低的方向为电压的参考方向。在分析电路时，所用到的电流、电压均必须首先设定它们的参考方向。

3)功率

做功的速率，即p=dw/dt，单位是瓦(W)。对二端电路(其内可以是单个电路元件，也可以是由若干电路元件组合连接构成)，若电压电流参考方向关联，该段电路吸收功率p吸=ui,供出功率p供=-ui(供出功率也称产生功率)；若电压电流参考方向非关联，则计算该段电路吸收功率和供出功率公式与参考方向关联时均差一负号。

二.电源

三.基本定律

定律名称描述对象定律形式应用条件OL电阻(电导)u=Ri(i=Gu)线性电阻(电导)；u、i参考方向关联，非关联时公式中加一负号KCL节点∑i(t)=0任何集总参数电路(含线性、非线性、时变、时不变电路)KVL回路∑u(t)=0(同KCL)四.电路等效

1.等效定义两部分电路B与C，若对任意外电路A，二者相互代换后能使外电路A中有相同的电压、电流和功率，则称B与C互为等效。2.等效条件B与C电路具有相同的VAR。3.等效对象任意外电路A中的电流、电压、功率。4.等效目的简化电路，方便分析(求解)。作业P58:30,P59:32,33,P61:36第一篇：总论和电阻电路的分析第一章集总电路中电压、电流的约束关系第二章网孔分析和节点分析第三章叠加方法与网络函数第四章分解方法及单口网络§2.1网孔分析法§2.2互易定理§2.3节点分析法§2.4含运算放大器的电阻电路§2.5电路的对偶性第二章网孔分析和节点分析§2-1网孔分析法

第一章在KVL的独立性一节中说过，对于具有b条支路和n个结点的平面电路，它的(b-n+1)个网孔电流是一组独立电流变量。因此，通过用网孔电流作变量建立电路方程进行分析的方法，称为网孔分析法。求出网孔电流后，用KCL可求出全部支路电流，再用VCR可求出全部支路电压。一、网孔电流

网孔电流是指设想在每个网孔中沿着构成该网孔的各支路循环流动的假想电流，如下图实线箭头所示。

网孔电流是一组完备的独立变量，即求出网孔电流后，所有支路电路均可通过网孔电流得到。例如下图中：

i1=iAi2=iB

i3=iC二、网孔电流方程及列写规律

设下图中网孔电流分别为iA,iB,iC,，参考方向即为列写方程的绕行方向。按网孔可列出三个独立的KVL方程。网孔A

R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0网孔B

R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0网孔C

R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0

规律（以第一式为例）：

iA前的系数(R1+R4+R5)恰好是网孔A内所有电阻之和，称它为网孔A的自电阻，以符号R11表示；

iB前的系数(+R5)是网孔A和网孔B公共支路上的电阻，称为网孔A与网孔B的互电阻，以符号R12表示。由于流过R5的网孔电流iA、iB方向相同，故R5前为“+”号；

iC前系数(-R4)是网孔A与网孔C的互电阻，以R13表示。由于流经R4的网孔电流iA、iC方向相反，故R4前取“-”号；

等式右端us1-us4表示网孔A中电压源的代数和，以符号us11表示；计算us11时遇到各电压源的取号法则是，在绕行中先遇到电压源正极性端取负号，反之取正号。其它两式也具有相同的规律。

由此可归纳总结出应用网孔分析法得到具有3个网孔电路的方程通式(一般式)，即：

如果电路有m个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为：

…写成矩阵的形式：

：网孔i与网孔j的公共电阻，称为互电阻，可正可负。当该两网孔电流在公共电阻上的方向一致时，互电阻为正，反之，互电阻为负；

矩阵中：

：主对角线上的电阻，称为自电阻，恒为正，为第i个网孔中所有电阻之和；等式右边为网孔中电压升的代数和。

若每个网孔电流的方向一律按顺时针或逆时针方向绕行，则互电阻均为负值。当电路中不含受控源时，R矩阵（称为电阻矩阵）为对称矩阵；含受控源时，R矩阵不对称。网孔分析法步骤：

1．在电路图上标明网孔电流及参考方向。若全部网孔电流均选顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。

2．用观察电路图的方法直接写出各网孔方程。3．求解网孔方程，得到各网孔电流。4．设定支路电流参考方向。根据支路电流与网孔电流的关系，求出各支路电流。5．用VCR方程求出各支路电压。

求下图电路中的电压

uab。三、含受控源电路网孔电流方程的列写

设网孔电流iA,iB如图所示。观察电路，应用方程通式列基本方程如下：

（1）（2）

将(2)式代入(1)式并化简整理，得：

（3）解(3)方程组，得：

所以：

列出下图电路的网孔电流方程。四、含电流源电路网孔电流方程的列写

本例中电流源支路属于一个网孔，且该网孔电流是已知的，因而可省掉该网孔的KVL方程。求图示电路各支路电流。

本题两个网孔公共支路上有一电流源，可将图(a)电路伸缩扭动变形，使理想电流源所在支路单独属于一个网孔，如图(b)所示。电流源支路单独属于网孔B，并设B网孔电流iB

与is方向一致，则：

因此，只需列出网孔A方程即可求解。网孔A的方程为：

所以：

进