试验优化设计(正交试验)2013课件

试验优化设计（1）

——正交试验丁海涛汽车仿真与控制国家重点实验室2013年3月试验优化设计讲义2导论汽车是一门“试验科学”试验优化设计讲义3导论汽车底盘匹配与优化性能指标：要求汽车的操纵性能达到最优1）不足转向度2）车身侧倾率3）侧向加速度响应时间4）横摆响应阻尼试验优化设计讲义4导论汽车底盘匹配与优化3）悬架结构硬点位置前悬架2水平因素15个（5个硬点）后悬架2水平因素15个（5个硬点）4）悬架主要橡胶衬套刚度前悬架2水平因素4个后悬架2水平因素4个全面试验次数：2（1+2+15+15+4+4）=241≈2万亿待优化的变量：1）轮胎侧偏刚度2水平因素1个2）前后悬架横向稳定杆直径2水平因素2个试验优化设计讲义5导论试验优化

试验优化就是在最优化思想的指导下，通过广义试验（包括实物试验和非实物试验）进行优化设计的一种优化方法，是应用数学的一个新兴分支。它从不同的优良性出发，合理设计试验方案，有效控制试验干扰，科学处理试验数据，全面进行优化分析，直接实现优化目标，已成为现代优化技术的一个重要方面。试验优化设计讲义6导论离散优化与序贯优化离散优化：就是在试验区域内有目的、有规律地散布一定量的试验点，多方向同时寻找优化目标。离散优化不能真正实现全局优化，最优点也只是较优点。常用方法：正交设计、SN设计、均匀设计等。序贯优化：就是遵循一定优化路径逐渐寻找最优点的方法，它是单向寻优，后一阶段优化是在前一阶段优化的基础上进行的。通常情况下，序贯优化可以进行全域精确寻优。常用方法：0.618法、单纯形法、梯度法、渐进分式法、连贯设计法等。试验优化设计讲义7导论试验优化最常用的是试验设计与回归设计试验设计：试验设计是离散优化的基本方法，它是从正交性、均匀性出发，利用拉丁方、正交表、均匀表等作为工具来设计试验方案、实施广义试验，直接寻找最优点。常用的方法：拉丁方设计法、正交表设计法、稳健试验设计、马哈诺皮斯-田口（MTS）方法等。回归设计：回归设计主要是从正交性、旋转性和D-优良性出发，利用正交表、H阵、单纯形、中心组合法和正交多项式组以及计算机技术编制试验方案，直接求取各种线性和非线性回归方程。常用的回归设计方法：多元线性正交设计、二次组合设计、正交多项式设计、D-最优设计、混料设计等。试验优化设计讲义8导论参考书《试验优化设计与分析》，任露泉编著，吉林科学技术出版社，2001年联系方式

Email:ding_hai_tao@126.com试验优化设计讲义9第一章正交试验设计1.1基本概念【例1】通过试验考察用不同方式施用氮肥（N）和磷肥（P）对大豆亩产量（y）的影响。试验安排和试验结果如表1：PNP1=0P2=4N1=0200225N2=6215280表1：施肥对大豆亩产量y的影响试验试验优化设计讲义10第一章正交试验设计试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，也称试验结果，通常用y表示。它类似于数学中的因变量或目标函数。试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素，类似数学中的自变量。需要在试验中考察的因素，成为试验因素，也称因素，通常用大写字母A、B、C……来表示。因素水平：因素在试验中所处的各种状态或所取的不同值，称为该因素的水平，通常用下标1、2、3……来表示。若一个因素取K种状态或K个值，就称该因素为K水平因素。1.1基本概念试验优化设计讲义11第一章正交试验设计处理组合：所有试验因素的水平组合所形成的试验点称为处理组合。在三因素试验中，A1B2C3是一个组合处理，它表示A因素一水平、B因素二水平和C因素三水平组合而形成的一个试验点。全面试验：对全部处理组合都进行试验称为全面试验。显然全面试验的组合处理数L应等于各因素水平的乘积。设A、B、C对应的水平数为a、b、c，则全面试验数L=abc。1.1基本概念试验优化设计讲义12第一章正交试验设计部分试验：从全部处理组合中选择一部分处理组合进行试验称为部分试验。部分试验与全面试验之比称为“几分之几部分试验”。试验设计所追求的目标之一就是用尽量小的部分试验来实现全面试验所要达到的目的。因素试验：一般的试验多是因素试验，其目的在于研究因素及其间的交互作用的重要程度，即对试验指标的影响大小，并直接获得最优处理组合，或求得回归方程。1.1基本概念42×23表示2个四水平因素和3个二水平因素的五因素试验试验优化设计讲义13第一章正交试验设计1.2正交试验的基本原理

正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。试验优化设计讲义14第一章正交试验设计

例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验。

A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A33个水平；B因素是pH值，设B1、B2、B33个水平；C因素为杀菌温度，设C1、C2、C33个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。试验优化设计讲义15第一章正交试验设计1.2正交试验的基本原理试验优化设计讲义16第一章正交试验设计1.2正交试验的基本原理

正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：

(1)A1B1C1(2)A2B1C2(3)A3B1C3(4)A1B2C2(5)A2B2C3(6)A3B2C1(7)A1B3C3(8)A2B3C1(9)A3B3C2试验优化设计讲义17第一章正交试验设计1.2正交试验的基本原理

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。从图中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。

9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。

试验优化设计讲义18第一章正交试验设计1.2正交试验的基本原理

列号试验号1

234111112122231333421235223162312731328321393321L9(34)正交表：试验优化设计讲义19第一章正交试验设计1.3正交表及其性质正交表

常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。正交表的代号

正交表的列数

因素的水平数正交表的行数（需要做的试验次数）试验优化设计讲义20第一章正交试验设计1.3正交表及其性质列号实验号12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112L8(27)试验优化设计讲义21第一章正交试验设计1.3正交表及其性质正交表的基本性质：

1正交性

（1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等

例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次。（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等

例如L8(27)中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。试验优化设计讲义22第一章正交试验设计1.3正交表及其性质正交表的基本性质：

2均衡分散性（代表性）一方面：（1）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；（2）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。另一方面：由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。试验优化设计讲义23第一章正交试验设计1.3正交表及其性质正交表的基本性质：

3综合可比性

（1）任一列的各水平出现的次数相等；（2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。试验优化设计讲义24第一章正交试验设计1.3正交表及其性质

正交表的三个基本性质中，正交性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果。试验优化设计讲义25第一章正交试验设计1.4正交表的分类1标准表二水平：L4(23)、L8(27)、L16(215)、…

三水平：L9(34)、L27(313)、L81(340)、…

四水平：L16(45)、L64(421)、L256(485)、…

凡是标准表水平数都相等。利用标准表可以考察因素间的交互作用。试验优化设计讲义26第一章正交试验设计1.4正交表的分类2非标准表二水平：L12(211)、L20(219)、L24(223)、…

其它水平：L18(37)、L32(49)、L50(511)、…

非标准表是为缩小标准表的间隔而提出的，它虽然是等水平表，但却不能考察因素间的交互作用。试验优化设计讲义27第一章正交试验设计1.4正交表的分类3混合正交表

L8(4×24);L9(21×33)、L9(22×32);L12(3×24)、L12(6×22);……

混合正交表大致可分为两种情况：一是着重考察的因素需多取水平，例如：L8(4×24)和L24(3×4×24)；二是某一因素不能多取水平的情况，如：L18(2×37)。混合正交表也不能考察因素间的交互作用。试验优化设计讲义28第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法试验目的与要求试验指标选因素、定水平因素、水平确定选择合适正交表表头设计列试验方案试验方案设计试验结果分析试验结果极差分析计算yjm值计算极差R优水平因素主次顺序优组合结论计算yjm值进行试验，记录试验结果试验优化设计讲义29第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法【例2】某工厂为改革轴承座圈的退火工艺，提高产品硬度的合格率，拟做一项多因素试验。第一部分：试验方案的设计（1）确定试验指标：试验指标是由试验目的确定的。一个试验目的至少需要一个试验指标。有时一个试验目的不止需要一个试验指标。试验指标一经确定，就应当把衡量和评定试验指标的原则、标准、测定试验指标的方法以及所用的仪器等确定下来。试验优化设计讲义30第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法（2）确定试验因素并选取适当的水平：选试验因素时，首先要根据专业知识、以往研究的结论和试验的经验尽可能全面地考察影响试验指标的诸因素，然后根据试验要求和尽量少选因素的一般原则选定试验因素。试验因素的水平一般以2~4为宜，以尽量减少试验次数。

因素水平A加热温度（℃）B保温时间（h）C出炉温度（℃）1（A1）800（B1）6（C1）4002（A2）820（B2）8（C2）500试验优化设计讲义31第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法（3）选用合适的正交表：因素水平表是实现试验目的的基本前提，也是选用正交表的唯一依据。如果选用的正交表既能容得下所有试验因素，又使得试验号最小，就认为所选的正交表是合适的。对于本例，选择L4(23)是合适的，比L8(27)好。试验优化设计讲义32第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法（4）表头设计：正交表的每一列可以安排1个因素。表头设计就是将试验因素安排到所选正交表的各列中去的过程。如果因素间无交互作用，各因素可以任意安排到各列中去。（5）编制试验方案：在表头设计的基础上，将所选正交表中各列的不同数字换成对应因素的相应水平，便形成了试验方案。试验方案中的试验号并不意味着实际进行试验的顺序。试验优化设计讲义33第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法

列号实验号1231111212232124221列号A1bab2区号L4(23)注：任两列的交互列为另外一列。试验优化设计讲义34第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法

因素试验号

（1）A加热温度（℃）

（2）B

保温时间（h）

（3）C

出炉温度（℃）1（1）800（1）6（1）4002（1）800（2）8（2）5003（2）820（1）6（2）5004（2）820（2）8（1）400试验方案试验优化设计讲义35第一章正交试验设计1.5正交试验设计的基本方法第二部分：试验结果处理——极差分析法（R法）

处理试验结果的目的在于确定试验因素的主次、各试验因素的优水平及试验范围内的最优组合。yjk为第j因素k水平所对应的试验指标和，yjk为yjk的平均值。由yjk的大小可以判断j因素的优水平，各因素的优水平的组合即最优组合。第j因素的极差为：Rj=max[yj1,yj2,…]-min[yj1,yj2,…]依据极差Rj的大小可以判断因素的主次。试验优化设计讲义36

因素试验号（1）A加热温度（2）B保温时间（3）C出炉温度产品合格率（%）1（1）800（1）6（1）400932（1）800（2）8（2）500833（2）820（1）6（2）500444（2）820（2）8（1）40068yj1176137161yj2112151127yj188.068.580.5yj256.075.563.5Rj32.07.017.0优水平A1B2C1主次因素A，C，B最优组合A1B2C1试验优化设计讲义37第一章正交试验设计1.6有交互作用的正交试验设计

在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交互作用。因素之间的交互作用总是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程度不同而异。一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不存在交互作用。对于交互作用，设计时应引起高度重视。在试验设计中，表示A、B间的交互作用记作A×B，称为1级交互作用；表示因素A、B、C之间的交互作用记作A×B×C，称为2级交互作用；依此类推，还有3级、4级交互作用等。（1）交互作用试验优化设计讲义38第一章正交试验设计1.6有交互作用的正交试验设计（2）交互作用的处理原则

试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在：①用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；②一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1）p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m有关，与交互作用级数p有关。试验优化设计讲义39第一章正交试验设计1.6有交互作用的正交试验设计（2）交互作用的处理原则2水平因素的各级交互作用均占1列；对于3水平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见，m和p越大，交互作用所占列数越多。

例如，对一个25因素试验，表头设计时，如果考虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：

C51+C52+C53+C54+C55

＝5+10+10+5+1＝31，那么此试验必选L32（231）正交表进行设计。一般对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择地、合理地考察某些交互作用。试验优化设计讲义40第一章正交试验设计1.6有交互作用的正交试验设计（2）交互作用的处理原则

综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是：①忽略高级交互作用②有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。③试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。试验优化设计讲义41第一章正交试验设计1.6有交互作用的正交试验设计（3）有交互作用的试验表头设计

表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键的一步。

在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。

所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。试验优化设计讲义42第一章正交试验设计1.6有交互作用的正交试验设计【例3】考察拖拉机在不同挡位下某些部件对驾驶员耳旁噪声的影响。拟定的试验因素和水平如下，并要求考虑交互作用A×B和A×C的影响。试验指标为耳旁噪声，且指标值越小越好。

因素水平A挡位B驾驶室C轮胎D风扇1Ⅲ挡开式通用加宽改进型2Ⅱ挡闭式越野普通型因素水平表试验优化设计讲义43第一章正交试验设计1.6有交互作用的正交试验设计2）表头设计表头设计时各因素及交互作用不能任意安排，必须严格按照交互列表进行配列。这是有交互作用的正交设计的一个重要特点，也是试验方案设计的关键一步。1）选取合适的正交表选表时一定要把交互作用看成因素，同试验因素一并加以考虑。本例中，由于A×B和A×C需各占1列，连同4个试验因素，总共需占正交表6列。显然选择L8(27)的正交表最合适。试验优化设计讲义44第一章正交试验设计

列号列号()12345671(1)3254762(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7)因素ABA×BCA×C空D列号1234567L8(27)交互列表拖拉机噪声试验表头设计试验优化设计讲义45第一章正交试验设计3）编制试验方案

因素试验号（1）A挡位（2）B驾驶室（4）C轮胎（7）D风扇1（1）Ⅲ挡（1）开式（1）普通加宽（1）改进型2（1）Ⅲ挡（1）开式（2）越野（2）普通型3（1）Ⅲ挡（2）闭式（1）普通加宽（2）普通型4（1）Ⅲ挡（2）闭式（2）越野（1）改进型5（2）Ⅱ挡（1）开式（1）普通加宽（2）普通型6（2）Ⅱ挡（1）开式（2）越野（1）改进型7（2）Ⅱ挡（2）闭式（1）普通加宽（1）改进型8（2）Ⅱ挡（2）闭式（2）越野（2）普通型拖拉机噪声试验方案表试验优化设计讲义46第一章正交试验设计4）试验结果分析

因素试验号(1)A(2)B(3)A×B(4)C(5)A×C(6)(7)Dyi(dB)yi-90(dB)1111111192221112222988312211229444122221197752121212944621221219337221122186-482212112911yj121177610148∑=25yj2481819151117yj51.502.503.502.00yj21.002.004.504.753.752.754.25Rj52.25优水平A2B2C1D1主次因素A，C，A×B，B/D，A×C最优组合优搭配A2B2A2B2C1D1试验优化设计讲义47第一章正交试验设计4）试验结果分析BAB1B2A1(2+8)/2=5(4+7)/2=5.5A2(4+3)/2=3.5(-4+1)/2=-1.5二元表

注意：在交互作用较大的情况下决不可能只根据因素的单独作用效果确定优水平，而应考虑因素间的优搭配。试验优化设计讲义48第一章正交试验设计1.7混合正交表试验设计

试验因素中，有的因素的水平个数自然形成，只有确定的个数，不能任意选取；有的因素由于受某种条件的限制，不能多取水平；有的因素是试验重点考察的因素，需要多取水平；有的是非重点考察的因素，一般少取水平。这样使试验因素间水平数不相等。

如果因素间无交互作用，可直接选用混合型正交表进行正交设计。试验优化设计讲义49第一章正交试验设计1.7混合正交表试验设计【例4】为了减少玉米收获机械的收获损失，对其摘穗装置进行试验研究。选定的因素水平如下，交互作用均不考察。试验指标为玉米损失率，且指标值越小越好。

因素水平A摘辊速度(rpm)B辊倾角(deg)C喂送速度(m/s)D摘辊形式1700401.6甲2650351.8乙3600---4750---试验优化设计讲义50第一章正交试验设计

本例是4×23因素试验，A是重点考察的四水平因素，选用混合表L8(4×24)较合适。表头设计时，A因素必须安排在第1列上，其余因素可以安排在其它任意列上。由于因素水平不同，水平隐藏重复次数不等，水平取值范围也可能差异较大。因此对极差R有一定的影响。为了消除这种影响，用R’j来比较因素的主次。b2345678910db0.710.520.450.400.370.350.340.320.31R’j=db×Rj修正系数表试验优化设计讲义51第一章正交试验设计

因素试验号（1）A摘辊速度（2）B辊倾角（3）C喂送速度（4）D摘辊型式yi(%)1(1)700(1)40(1)1.6(1)甲0.142(1)700(2)35(2)1.8(2)乙0.173(2)650(1)40(1)1.6(2)乙0.254(2)650(2)35(2)1.8(1)甲0.315(3)600(1)40(2)1.8(1)甲0.416(3)600(2)35(1)1.6(2)乙0.347(4)750(1)40(2)1.8(2)乙0.118(4)750(2)35(1)1.6(1)甲0.08yj10.1550.2280.2020.235∑=1.81yj20.2800.2250.2050.217yj30.375---yj40.095---Rj0.2800.030.0480.018R’j0.1260.020.0340.013优水平A4B2C1D2最优组合主次因素A，C，B，DA4B2C1D2试验优化设计讲义52第一章正交试验设计1.8多指标试验设计

需要2个或更多个指标来衡量效果的试验成为多指标试验。在这样的试验中，各个因素及其水平对各试验指标的影响往往是不同的，在某项指标得到改善的同时，可能使另一项指标恶化。因此，分析其结果时必须统筹兼顾，寻找使各项指标都尽可能好的条件。对于多指标试验的设计有很多种处理方法，其中最常用的是综合评分法和综合平衡法。综合评分法是根据各项指标的重要程度加权，将多指标转化为单一的综合指标。然后按照单指标试验进行设计与分析。

综合平衡法的方案设计和实施与单指标试验相同，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，分别记录。试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，然后综合平衡，确定出优条件。试验优化设计讲义53第一章正交试验设计1.8多指标试验设计【例5】油炸方便面生产中，主要原料质量和主要工艺参数对产品质量有影响。通过试验确定最佳生产条件。（1）试验方案设计

确定试验指标：本试验目的是探讨方便面生产的最佳工艺条件，以提高方便面的质量。试验以脂肪含量、水分含量和复水时间作为考察的指标。脂肪含量越低越好，水分含量越高越好，复水时间越短越好。试验优化设计讲义54第一章正交试验设计1.8多指标试验设计

挑因素，选水平，列因素水平表：根据专业知识和实践经验，确定试验因素和水平表如下：因素水平表

选正交表、设计表头、编制试验方案：本试验为四因素三水平试验，不考虑交互作用，选L9（34）安排试验。表头设计和试验方案以及试验结果记录见表。试验优化设计讲义55第一章正交试验设计试验优化设计讲义56第一章正交试验设计1.8多指标试验设计（2）试验结果分析

计算各因素各水平下每种试验指标的数据和以及平均值，并计算极差R。

根据极差大小列出各指标下的因素主次顺序：试验指标：主次顺序脂肪含量（％）：ACDB水分含量（％）：CDAB复水时间（s）：ADBC试验优化设计讲义57第一章正交试验设计

初选优化工艺条件：根据各指标不同水平平均值确定各因素的优化水平组合。脂肪含量（％）：A3B3C1D2水分含量（％）：A1B2C1D1复水时间（s）：A2B2C2D3

综合平衡确定最优工艺条件：以上三指标单独分析出的优化条件不一致，必须根据因素的影响主次，综合考虑，确定最佳工艺条件。

对于因素A，其对粗脂肪影响大小排第一位，此时取A3；其对复水时间影响也排第一位，取A2；而其对水分影响排次要第三位，为次要因素，因此A可取A2或A3，但取A2时，复水时间比取A3缩短了14%，而粗脂肪增加了11.3%，且由水分指标看，取A2比A3水分高，故A因素取A2。同理可分析B取B2，C取C1，D取D3。优组合为A2B2C1D3.试验优化设计讲义58第一章正交试验设计1.9正交试验设计的效应分析定义：因素不同水平对试验指标的影响称为因素的效应。【例】若用L4(23)正交表安排二因素试验，第1、2列安排因素A、B，其水平可以严格控制，第3列安排交互作用A╳B，则其试验指标yi（i=1,2,3,4）可用下式表达，即为正交试验数据的结构模型。试验优化设计讲义59第一章正交试验设计1.9正交试验设计的效应分析式中：μ为试验数据的数学期望，一般平均或工程平均；εi为第i号试验的随机误差，在系统误差消除的情况下服从正态分布；ak为A因素k水平的效应；bl为B因素l水平的效应；(ab)kl为A因素取k水平、B因素取l水平时交互作用A╳B的效应。

结构模型中因素效应满足关系式：这表明，在试验数据结构模型中，同一因素各水平的效应之和为零，含有某一因素同一水平的各交互作用的效应之和为零。试验优化设计讲义60第一章正交试验设计1.9正交试验设计的效应分析对上述L4(23)正交表二因素试验，利用最小二乘法可以求得一般平均μ、因素效应ak、bl，以及交互作用效应(ab)kl的估计值：其中：为A因素k水平所对应的试验指标平均值；为B因素l水平所对应的试验指标平均值；为A因素k水平和B因素l水平所对应的试验指标平均值。试验优化设计讲义61第一章正交试验设计1.9正交试验设计的效应分析试验指标的估计在【例4】中，最优组合A4B2C1D2不在已做的试验中，现估计其试验指标（最优值）：试验优化设计讲义62第一章正交试验设计1.9正交试验设计的效应分析计算表明，该试验最优组合的玉米损失率的估计值为0.061%。显然比做试验各指标值都好。试验优化设计讲义63第二章干扰控制试验设计2.1试验干扰

试验过程中，由于各种条件因素的不同影响，使任何一个试验数据都会含有随机误差（称为“试验干扰”），它的大小决定了试验数据的精确程度，直接影响试验结果分析的可靠性。

正交试验设计中可以使用“空列”对试验干扰进行分析。空列各水平对应的试验指标平均值间的差异反映了试验误差、未考察的交互作用或未考察的因素的影响。空列各水平对应的试验指标平均值越接近，说明这种影响越小，试验精度越高。如果空列不只一个，把各空列同一水平对应的指标平均值相加后再进行比较。试验优化设计讲义64第二章干扰控制试验设计2.1试验干扰对第一章例4的试验数据进行试验干扰分析：【例4】为了减少玉米收获机械的收获损失，对其摘穗装置进行试验研究。选定的因素水平如下，交互作用均不考察。试验指标为玉米损失率，且指标值越小越好。

因素水平A摘辊速度(rpm)B辊倾角(deg)C喂送速度(m/s)D摘辊形式1700401.6甲2650351.8乙3600---4750---试验优化设计讲义65第二章干扰控制试验设计

因素试验号（1）A摘辊速度（2）B辊倾角（3）C喂送速度（4）D摘辊型式（5）空列yi(%)1(1)700(1)40(1)1.6(1)甲10.142(1)700(2)35(2)1.8(2)乙20.173(2)650(1)40(1)1.6(2)乙20.254(2)650(2)35(2)1.8(1)甲10.315(3)600(1)40(2)1.8(1)甲20.416(3)600(2)35(1)1.6(2)乙10.347(4)750(1)40(2)1.8(2)乙10.118(4)750(2)35(1)1.6(1)甲20.08yj10.1550.2280.2020.2350.225∑=1.81yj20.2800.2250.2050.2170.228yj30.375----yj40.095----Rj0.2800.030.0480.0180.003R’j0.1260.020.0340.0130.002优水平A4B2C1D2最优组合主次因素A，C，B，DA4B2C1D2试验优化设计讲义66第二章干扰控制试验设计

因素试验号空列y空iyi△i110.225（3）0.140（3）-0.085220.228（4）0.170（4）-0.058320.228（5）0.250（5）0.022410.225（6）0.310（6）0.085520.228（8）0.410（8）0.182610.225（7）0.340（7）0.115710.225（2）0.110（2）-0.115820.228（1）0.080（1）-0.148

当各间的差异大到一定程度时，与的序号不一致，表明试验数据中包含的随机误差较大，试验数据不够精确。本例的试验干扰较小。试验优化设计讲义67第二章干扰控制试验设计2.1试验干扰对第一章例7的试验数据进行试验干扰分析：【例7】无线电元件厂某车间对影响产品不合格的原因进行试验研究。选定的因素水平如下表，全部交互作用可忽略。试验指标为产品的不合格率，且越小越好。水平A操作方式B班组C产品种类1Ⅰ甲大2Ⅱ乙中3丙小试验优化设计讲义68第二章干扰控制试验设计试验号（1）A操作方式（2）B班组（3）空列（4）C产品种类产品不合格率（%）1(1)Ⅰ(1)甲1(1)大1.202(1)Ⅰ(2)乙2(2)中1.103(1)Ⅰ(3)丙3(3)小2.304(2)Ⅱ(1)甲2(3)小1.405(2)Ⅱ(2)乙3(1)大3.406(2)Ⅱ(3)丙1(2)中4.50(7)(1)Ⅰ(1)甲3(2)中1.20(8)(1)Ⅰ(2)乙1(3)小0.80(9)(1)Ⅰ(3)丙2(1)大3.10yj11.531.272.172.57∑=19yj23.101.771.872.27yj31.703.302.301.50Rj1.572.030.431.07试验优化设计讲义69第二章干扰控制试验设计

因素试验号空列y空iyi△i112.17（3）1.20（3）-0.97221.87（2）1.10（4）-0.77332.30（6）2.30（6）0.00421.87（5）1.40（5）-0.47532.30（8）3.40（7）1.10612.17（9）4.50（9）2.23732.30（4）1.20（2）-1.10812.17（1）0.80（1）-1.37921.87（7）3.10（8）1.23

当各间的差异大到一定程度时，与的序号不一致，表明试验数据中包含的随机误差较大，试验数据不够精确。本例试验的干扰较大。试验优化设计讲义70第二章干扰控制试验设计2.2试验设计的基本原则

为了有效控制试验干扰，在试验设计时需要遵循试验设计的三个基本原则：

设置区组

重复试验随机化试验优化设计讲义71第二章干扰控制试验设计2.2试验设计的基本原则(1)设置区组区组：人为划分的试验时间和空间的范围一项试验，如果能在由时间坐标和空间坐标确定的一点上进行时最理想的，但事实上根本做不到。在实际试验时，可以通过划分组，缩小试验的时空范围，创造尽可能均匀一致的试验条件来有效控制试验干扰。区组划分应该根据试验的具体情况确定。如果时间的变动影响试验结果，就依据时间划分区组；如果空间的变动影响试验结果，就依据空间划分区组；当然也可以依据试验仪器或者操作人员划分区组等等。试验优化设计讲义72第二章干扰控制试验设计2.2试验设计的基本原则(1)设置区组区组设计：利用区组合理安排试验方案的设计方法区组设计时，区组之间的试验条件差异可以大些，而区组内各个组合处理间的试验条件则要求相对均匀些。对区组内一些不可控制或不能觉察和预料的差异，可以通过随机化措施予以控制。区组设计可以局部控制干扰，使各个组合处理在相对均匀的试验条件下进行试验，以提高试验数据的精度和可比性。试验优化设计讲义73第二章干扰控制试验设计ABCABCABC2.2试验设计的基本原则区组设计的关键是如何按照均衡分布的思想安排试验的时间顺序和空间位置，以保证试验条件的均匀一致。ABCBCACAB贫瘠肥沃贫瘠肥沃试验优化设计讲义74第二章干扰控制试验设计2.2试验设计的基本原则(2)重复试验重复试验：同一试验单元的若干次重复试验单元是指一种处理组合自始自终的完整试验过程。重复试验的目的是估计试验误差，提高试验的精度，扩大试验的适应性和代表性。通常试验误差大的，应多做重复试验；试验误差小的，可以少做重复试验。重复试验至少2次，一般为4~6次。试验优化设计讲义75第二章干扰控制试验设计2.2试验设计的基本原则(3)随机化随机化：在区组设计和重复试验中，对未能控制与未发现的随机干扰做进一步控制的措施。随机化是通过排列上的机会均等，以消除某些处理组合可能占有的“优势”或“劣势”，尽量保证试验条件的均匀，正确估计试验误差；它也可以保证试验数据的独立性和随机性，以满足统计分析的基本要求。随机化是试验设计使用数理统计方法的基石。试验优化设计讲义76第二章干扰控制试验设计2.2试验设计的基本原则(3)随机化随机化主要是对区组空间位置、区组实施的时间顺序、各个处理组合的试验序号和因素水平的排列次序的随机安排。随机化方法有两种：1)完全随机化：不靠主观意识而完全由机会决定。可以由抓阄、投骰子或查随机数字表确定试验的顺序和区组的时空位置。2)部分随机化：在完全随机化的基础上再进行某些人为调整的一种随机化。试验优化设计讲义77第二章干扰控制试验设计2.2试验设计的基本原则

试验设计的三个基本原则，以区组设计为核心，重复试验和随机化多贯穿于区组设计之中。三者相辅相成，互相补充，融为一体，从而能控制干扰，保证试验条件基本均匀一致，提高试验精度，降低试验误差，使试验设计的成果更科学、更可靠。试验优化设计讲义78第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计(1)完全区组设计一个区组能容纳正交表所列的全部处理组合的区组设计即为完全区组设计。其特点为：1)只能安排试验号数较少的试验，试验号数一般为4，最多不超过8~9，否则会使同一区组的时空范围过大，造成试验条件的差异较大；2)区组个数等于全部处理组合的重复次数，即每多一个区组，就使每个序号的试验多一次重复；3)控制干扰不占正交表的列，不影响部分实施的大小。试验优化设计讲义79第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计(1)完全区组设计【例8】东方红-40拖拉机与IL2-30悬挂犁机组的最大耕深试验。试验方案如下表。表中h为悬挂点高度，H为立柱高。

因素试验号B犁铧Ah（mm）Ch+H（mm）yi最大耕深1（1）甲（1）575（1）1075-2（2）乙（1）575（2）1145-3（1）甲（2）605（2）1145-4（2）乙（2）605（1）1075-试验优化设计讲义80第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计123412341342321413422431++++++++++++++松软坚硬区组Ⅰ区组Ⅱ试验优化设计讲义81第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计(1)完全区组设计

完全区组设计进行结果分析时，只需将重复试验的指标值都列上，取其平均值作为试验指标，按照极差分析法计算分析即可。

完全区组设计由于限制了试验号数的大小，在很多情况下无法实施，应用具有局限性。试验优化设计讲义82第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计(2)不完全区组设计

一个区组只能容纳正交表所列的部分处理组合的区组设计，称为不完全区组设计。

不完全区组设计是把“区组”作为特殊的因素，利用正交表的正交性和均衡性，考虑干扰因素而进行的正交试验设计。试验优化设计讲义83第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计(2)不完全区组设计不完全区组设计的特点：1)能安排较多的试验，试验号数通常可不受限制；2)区组内试验号数受限，一般为2~4个，且各区组的试验号数相等；3)重复试验1次即为全区组的1次重复；4)控制单向干扰需占正交表的1列，称为区组列或干扰列。试验优化设计讲义84第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计(2)不完全区组设计【例8】东方红-40拖拉机与IL2-30悬挂犁机组的最大耕深试验。h为悬挂点高度，H为立柱高。将完全区组设计的3个二水平因素都扩大为三水平因素，并选取3种区组，在同样的试验条件下进一步做试验。可见，需要选择L9(34)的标准正交表进行试验设计。如果是进行完全区组设计，每个区组都需要9个试验，共需要27个试验。如果进行不完全区组设计，由于把区组列入第4个因素中，只需要9个试验。试验优化设计讲义85第二章干扰控制试验设计2.3单向干扰控制区组设计(2)不完全区组设计

列号试验号1

234111112122231333421235223162312731328321393321L9(34)区组列试验优化设计讲义86第二章干扰控制试验设计区组试验号Ⅰ1，5，9Ⅱ2，6，7Ⅲ3，4，8(2)不完全区组设计ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ(1)1,5,92,6,73,4,81,5,92,6,73,4,8ⅠⅢⅡⅡⅢⅠ(2)5,1,93,4,82,6,77,6,28,4,39,1,5各区组试验号试验顺序松软坚硬试验优化设计讲义87第二章干扰控制试验设计(2)不完全区组设计试验结果分析：1)求试验指标的总平均值2)计算区组列各区组对应的试验指标平均值试验优化设计讲义88第二章干扰控制试验设计(2)不完全区组设计试验结果分析：3)计算各区组效应4)计算试验指标矫正值试验优化设计讲义89

因素试验号(1)Ah(mm)(2)B犁铧(3)Ch+H(mm)(4)区组yi实测值（cm）yi’矫正值1(1)645(1)甲(1)1220(1)21.320.12(1)645(2)乙(2)1145(2)22.522.03(1)645(3)丙(3)1075(3)23.925.64(2)605(1)甲(2)1145(3)17.319.05(2)605(2)乙(3)1075(1)24.423.26(2)605(3)丙(1)1220(2)23.623.17(3)575(1)甲(3)1075(2)24.223.78(3)575(2)乙(1)1220(3)19.521.29(3)575(3)丙(2)1145(1)23.722.5yj167.759.864.469.4yj265.366.463.567.3yj364.471.269.560.7yj122.5719.9321.4723.13γⅠ=23.13-21.93=1.20yj221.7722.1321.1722.43γⅡ=22.43-21.93=0.50yj321.4722.7323.1720.23Rj2.9γⅢ=20.23-21.93=-1.70优水平A1B3C3主次因素

B,C,A试验优化设计讲义90第三章正交试验设计的方差分析3.1极差分析

极差分析法直观形象、简单易懂。通过非常简便的计算和判断就可以求得试验的优化成果——主次因素、优水平、优搭配及最优组合。它在试验误差不大、精度要求不高的场合，在筛选因素的初步试验中，在寻求最优生产条件、最佳工艺、最好配方的科研生产实际中都能得到广泛的应用。

极差分析法不能估计试验误差。它无法区分某因素各水平所对应的试验平均值间的差异究竟有多少是由因素水平不同引起的，又有多少是由试验误差引起的。对于误差较大或精度要求较高的试验，若用极差法分析试验结果而不考虑试验误差的影响，就会给精确分析带来困难，影响获得正确的结论。

极差法无法确定试验的优化成果的可信度，也不能应用于回归分析与回归设计。试验优化设计讲义91第三章正交试验设计的方差分析3.2方差分析的基本概念设随机变量y的一组样本数据为：定义样本均值：设有一个随机变量y，其方差定义为：定义样本方差：其中：S为偏差平方和，f为S的自由度试验优化设计讲义92第三章正交试验设计的方差分析3.2方差分析的基本概念

方差是某偏差的平方和的均值。它的大小反映了数据的离散程度，是衡量试验条件稳定性的一个重要尺度。

如果我们能从条件因素和试验因素的影响所形成的总的方差中，将属于试验误差范畴的方差与试验因素及其交互作用引起的方差分离开来，并将两类方差在一定条件下进行比较，就可以了解每个试验因素及试验考察的交互作用对试验指标的影响大小，从而为有针对性地控制各种试验因素与进一步改善试验条件指明方向。

根据Fisher偏差平方和和加和性原理，在偏差平方和分解的基础上借助于F检验法，对影响总偏差平方和的各因素效应及其交互效应进行分析，这种分析方法就称为方差分析。试验优化设计讲义93第三章正交试验设计的方差分析3.2方差分析的基本概念将方差分析用于正交设计，主要解决如下问题：①估计试验误差并分析其影响；②判断试验因素及其交互作用的主次与显著性；③给出所做结论的置信度；④确定最优组合和置信区间；⑤给出因素的贡献率和试验水平。正交设计方差分析的数据简化方法：①将每个数据减（加）去同一个数a，偏差平方和S仍不变；②将每一个数据除（乘）以同一个不为零的数b，相应的偏差平方和S缩小（扩大）b2倍。试验优化设计讲义94第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论

选用正交表La(bc)进行正交试验，应用方差分析法处理其试验结果时，主要方法归纳为：①计算偏差平方和及其自由度；②显著性检验；③确定最优组合和置信区间。试验优化设计讲义95第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论①计算偏差平方和及其自由度无重复试验时，总偏差平方和S为：其中：试验优化设计讲义96第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论①计算偏差平方和及其自由度无重复试验时，列偏差平方和Sj：其中：当b=2时，列偏差平方和可简化为：试验优化设计讲义97第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论①计算偏差平方和及其自由度总偏差平方和的自由度等于正交表的试验号减1：第j列偏差平方和的自由度等于该列水平数减1，此即该列安排的因素或相互作用的自由度：L4(23)L8(27)L12(211)L16(215)L9(34)L27(313)L16(45)a-1=(b-1)c试验优化设计讲义98第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论①计算偏差平方和及其自由度总偏差平方和及其自由度还满足下列关系式：试验优化设计讲义99第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论

因素试验号A(1)B(2)A×B(3)C(4)A×C(5)(6)D(7)yi(dB)yi-90(yi-90)211111111922421112222988643122112294416412222119774952121212944166212212193397221122186-416822121129111SASA×BS空SBSCSA×CSD①计算偏差平方和及其自由度试验优化设计讲义100第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论②显著性检验数理统计基础知识：分布：设X1，X2，…，Xn是来自总体N(0,1)的样本，则统计量服从自由度为n的分布。试验优化设计讲义101第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论②显著性检验【定理】设X1，X2，…，Xn是来自总体的样本，S2为样本方差，则有：试验优化设计讲义102第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论②显著性检验F分布：设，，且U、V独立，则称随机变量：服从自由度为（n1,n2）的F分布，记为F~F(n1,n2)。试验优化设计讲义103第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论②显著性检验作原假设：为因素A相应水平下的效应。如果原假设成立，因素A对试验指标无影响。SA只受试验误差的影响，SA/fA是总体方差的无偏估计。误差的偏差平方和为Se，自由度为fe。可以证明：试验优化设计讲义104第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论②显著性检验选取显著性水平，由F分布表查得临界值如果，就可以拒绝接受原假设，并认为在显著水平下，因素A的水平变动对试验指标有显著的影响，而作这一结论的置信度为1-，犯错误的几率为。试验优化设计讲义105f1f2123456789102030∞f1f2139.149.553.655.857.258.258.959.459.960.261.762.363.3128.539.0099.339.359.379.389.399.449.469.49235.545.465.395.345.315.285.23344.544.354.013.983.953.943.923.843.823.76454.063.783.623.523.453.403.373.343.323.21563.783.463.253.018.982.962.942.842.802.72673.593.263.072.962.882.832.782.752.722.702.592.562.47783.463.112.922.812.732.672.622.592.562.542.422.382.29893.363.012.812.692.612.552.512.472.442.422.302.252.169103.292.922.732.612.522.462.412.382.352.3610113.232.862.662.542.452.392.342.302.281.9711123.172.812.612.482.392.332.292.062.011.9012133.142.762.562.432.352.262.142.011.961.8513143.102.732.522.392.361.911.8014153.072.702.492.362.222.092.061.921.871.7615163.052.672.462.332.092.062.031.891.841.7216173.032.642.442.302.062.032.001.861.811.6917183.012.622.422.282.042.001.981.841.781.6618192.992.612.402.262.021.981.961.811.671.6319202.972.592.392.042.001961.941.791.741.6120302.882.492.282.142.051.981.931.881.851.821.671.611.4630402.842.442.232.091.971.931.871.831.791.761.611.541.3840602.792.392.182.041.951.871.821.771.741.711.541.481.2960∞2.712.302.081.941.851.771.721.671.631.601.421.341.00∞F(f1,f2)表(α=0.10)试验优化设计讲义106第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论②显著性检验说明：a)正交表应该留有空列。无空列时，也可预先确定总体方差，并认为其自由度为无穷大进行显著性检验。时可认为因素显著。也可进行重复试验以求得。试验优化设计讲义107第三章正交试验设计的方差分析3.3正交设计方差分析基本理论②显著性检验说明：b)试验误差的自由度fe一般不应该小于2。fe很小时，F检验的灵敏度很低。为了提高检验的灵敏度，可以将数值较小的Sj归入Se；或者选用较大的正交表留出足够的空列；或者进行重复试验，以增大fe。试验优化设计讲义108第三章正交试验设计的方差分析3.4正交设计方差分析实例【例3】考察拖拉机在不同挡位下某些部件对驾驶员耳旁噪声的影响。拟定的试验因素和水平如下，并要求考虑交互作用A×B和A×C的影响。试验指标为耳旁噪声，且指标值越小越好。

因素水平A挡位B驾驶室C轮胎D风扇1Ⅲ挡开式通用加宽改进型2Ⅱ挡闭式越野普通型因素水平表试验优化设计讲义109

因素试验