无穷级数习题及答案(二)

习题答案(二)(20)第十一章无穷级数机动目录上页下页返回结束第十一章总习题十一一般项趋于零是级数收敛的必要条件而不是充分则().收敛.解:一.判断下列命题的对错:1.若机动目录上页下页返回结束条件,例如满足但发散.应填:错.错2.若当n足够大以后则发散.().解:因为若当n足够大以后则有:所以发散.应填:对.对3.若发散,则有:().解:是级数发散的充分条件,而不是必要条件.错发散,收敛,发散,机动目录上页下页返回结束解:则2.收敛的充分必要条件为____________________.例如但其一般项满足4.若().发散.此命题可用反证法证明.应填:对.对二.填空题1.级数的和为_______.解:应填:应填:错.因为所以令则3.解:为级数当α____时收敛,由比较审敛法知当解:时,的部分和,时收敛,4.设机动目录上页下页返回结束则若则当α____时发散.当若收敛,因此收敛.应填:收敛.收敛一个级数若不发散就收敛,时取则发散.发散.因此当收敛.解:的敛散性是_____.发散.而二.选择题1.若5.已知即有则发散,解:则正项级数由比较审收敛,机动目录上页下页返回结束应填:发散.发散(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)敛散性不定.由于收敛,而由比较审敛法知收敛,从而绝对收敛.应选(C).C敛法的极限形式知2.设a为常数,则级数解:(A)发散;(D)敛散性与a有关.(B)条件收敛;(C)绝对收敛;故应选(C).收敛,机动目录上页下页返回结束由于从而由比较审敛法知收敛.C绝对收敛.3.设b是大于零的常数,则级数(A)发散;(B)当b≥1时发散,当b<1时收敛;(C)收敛;(D)当b≥1时收敛,当b<1时发散.为交错级数,由于解:机动目录上页下页返回结束而根据莱布尼兹审敛法知此交错级数四.若正项级数应选(C).证:收敛,也收敛.试证明因正项级数收敛,由级数收敛的必要条件有由数列极限的定义,对于给定的正数ε=1,存在正整数N,当n

>N时,有即有显然有已知收敛,根据比较审敛法知收敛.加上有限项仍收敛,收敛,所以这级数前面收敛.证毕.证明都收敛,且机动目录上页下页返回结束也收敛.五.设证:已知即有都收敛,由于故正项级数收敛.由正项级数的比较审敛法知也收敛.根据收敛级数的性质知收敛.证毕.六.证明证:收敛.由级数收敛的必要条件知七.确定常数a与b的值,使机动目录上页下页返回结束证毕.并利用所得结果求解:令比较系数得方程组:解得因此有于是八.用级数表示循环小数解:再将此级数之和表示级数的一般项,的前n项部分和为为分数.九.已知级数机动目录上页下页返回结束解:试写出该并求其和.解:的收敛域.

级数机动目录上页下页返回结束十.试确定级数时,发散.当收敛.当时,级数级数收敛域为级数收敛域同样为解:十一.试确定级数机动目录上页下页返回结束即的收敛域.所给级数的收敛域为十二.设的收敛域.求解:当当时,机动目录上页下页返回结束时,当当时,级数为时,级数为收敛.发散.收敛域为:发散.也发散.所以十三.求的收敛区间及和函数.解:设机动目录上页下页返回结束∴收敛区间为上式两边积分:上式两边求导:所以有:十四.不具体写出幂级数的展开式,直接确定展开成形如的幂级数的收敛区间.机动目录上页下页返回结束解:所展幂级数的收敛区间为:十五.设在并说明理由.试确定该幂级数令解:时,原幂级数变为处条件收敛,的收敛半径,当即条件收敛.由阿贝定理知:当时,绝对收敛;当时,发散.机动目录上页下页返回结束的收敛半径为十六.若当时收敛,证:当时试指出此幂级数的收敛半径R,发散,并证明之.的收敛半径也为令由于在处收敛,所以在处收敛.当时绝对收敛.发散.故又由于在处发散,所以在处发散.当时的收敛半径为因此的收敛半径也为十七.求解:机动目录上页下页返回结束的麦克劳林展开式.解:机动目录上页下页返回结束展开成x的幂级数十八.将十九.设写出f(x)以2π为周期的傅里叶级数的和函数S(x)在[-π,π]上的表达式.机动目录上页下页返回结束