北京交通大学高等岩石力学课件岩石的强度理论与弹塑性本构模型

2岩石的弹塑性本构模型与强度理论主要内容：岩石的非线性弹性本构岩石的弹塑性本构岩石的弹塑性耦合现象

岩石的强度理论弹性是指物体在外力作用下产生的变形，在外力卸除后，变形可以完全恢复的特性，具有这种特性的物体称为弹性体。按着Cauchy方法定义：弹性体内各点的应力状态和应变状态存在着一一对应关系。非线性弹性就是指应力状态和应变状态的一一对应关系是非线性的。严格来说，岩石类介质应力应变关系都是非线性的，只是在非线性关系不十分严重时，才简化为线性。2.1岩石的非线性弹性本构——应力空间表示——应变空间表示一一对应或用割线模量表示的非线性弹性本构方程：或用切线模量表示的增量非线性弹性本构方程：割线模量和割线泊松比是应力不变量的函数在岩土工程计算中使用比较多是Duncan-Zhang模型——破坏比（0.75～1.0）——试件破坏时的主应力差。则Duncan-Zhang模型可写为：则切线模量Et由得将ε1代入Et——应力水平或应力发挥度。若岩石的破坏符合M-C准则，则根据Janbu等人的研究：同理，将横向应变与轴向应变也看做双曲线关系或写为：将则：其中：有人建议：2.2岩石的弹塑性本构2.2.1岩石屈服条件与屈服面其中：屈服准则可统一表达为：初始屈服也可写作：等向硬化混合硬化随动硬化2.2.2塑性状态的加—卸载准则材料在塑性状态下，施加一应力增量：2对硬化材料1对理想塑性材料2.2.3塑性本构方程其中：根据一致性条件：由于：得其中简记为：而：将上述两式代入一致性条件：则岩石弹塑性本构方程

1）塑性全量理论

①体积应变与球应力成比例，是弹性的与胡克定律相同

②偏应变与偏应力成比例

胡克定律中：为材料常数塑性全量理论中

是应力和应变状态的函数其中：

——应变强度

——应力强度

③应力强度是应变强度的确定函数

④总的应变展开：用矩阵表达：其中：

2）增量理论

①Levy-Mises流动法则

②Pramdtl-Reuss流动法则由于故：整个应变偏量：③

基于Pramdtl-Reuss流动法则的增量本构塑性应变增量用塑性势函数表示若屈服函数为f，则f=g时为相关流动法则；f≠g为非相关流动法则④

增量型本构方程的矩阵表示其中：⑤

硬化规律：两边微分：则：⑥

弹塑性矩阵的详细推导记：（1）根据增量本构得：因为：所以：采用向量表示：（2）由于采用向量表示：又由于硬化规律：得：于是：（3）由及得：上式两边左乘(1),(2)式代入（4）式将（5）式代入（1）式将（6）式代入（3）式将上式写作：2.3岩石的弹塑性耦合现象2.3.1

Drucker公设处于平衡状态的单元体上，施加任一附加外力，然后再卸除该外力，在加卸附加外力循环过程中，附加外力所做余功为非正。σεt0t1t2t3整理，略去高阶小量得对任意的满足上式，则必定与屈服面外法线重合则有：即塑性应变增量与屈服面正交。岩石介质的弹性系数，在塑性变形发生之后不再保持常数，而是随塑性变形的发展而变化，这种特性称为弹塑性耦合性质。2.3.2

弹塑性耦合本构称之为广义塑性应变增量根据Drucker公设其中：可得：设内状态变量增量其中：称为耦合张量，在非耦合时弹塑性耦合情况下本构方程根据一致性条件得其中上式表明，在弹塑性耦合情况下，塑性应变增量与屈服面是非正交的。得加载时弹塑性耦合本构方程2.4岩石的强度准则岩石破坏时所需满足的条件叫强度准则，或称为破坏条件。对于简单的应力状态，通过试验很容易确定其破坏的条件；对于复杂应力状态由于存在无穷多受力组合，确定其破坏条件并不容易。在主应力空间，用一个统一的数学函数来表示强度准则，可以写成如下的形式。它是一个空间曲面。由于强度曲面与坐标轴无关，上式可表示为传统材料强度与静水应力状态无关，上式又可表示为对岩石来说，其强度与静水应力是有关的，故岩石材料的强度准则为：1莫尔准则（Mohr’sHypothesis,1900）该准则假定岩石内某一点的破坏主要决定于它的最大主应力和最小主应力，与中间主应力无关。岩石的破坏属于压剪破坏。莫尔强度准则的普遍形式。

选择的曲线应该是单调曲线。曲线应对称于σ轴，表示岩石破坏是共轭的。在确定包络线的形状时，应满足下列要求：

2.4.1经验性强度准则(3)σ在从0到∞的全部变化范围内，应满足根据试验结果，该导数还应随着σ的增加而减小。

（1）二次抛物线型由得代入上式，消去由单轴压缩试验得双曲线型2库仑准则(CoulombCriterion,1773)c——粘聚力；——内摩擦角。jcotC3s231ss+1s231ss-a2jCtsjcotC3s231ss+1s231ss-a2jCts整理得用主应力表示的库伦准则为：由几何关系可写出：

1883年Navier对库仑公式进行了补充，把公式中的剪应力和正应力分别用主应力表示。

其中令则：对求导得得的最大值当最大值等于c时，岩石破坏，得由得由于与联立得1）当岩石属单轴拉伸破坏2）当岩石属双轴拉伸破坏3）当岩石属单轴压缩破坏岩石属双轴压缩破坏4）当库仑准则的缺点和局限：

(1)

当围压较大时，与试验结果出入较大；(2)粘结力概念的物理意义不明确；(3)没有考虑中间主应力的影响；(4)实际岩石的破坏并非明显的剪切破坏；(5)岩石受拉时不能用。3

莫尔—库伦准则（M-C准则）当莫尔准则包络线为直线时，它与库仑准则完全相同，所以也把直线型的莫尔准则称为莫尔—库仑准则，这是目前岩石力学中使用最广的准则。若已知，M-C准则用主应力表示其中简记为：或最小二乘法求岩石的C、设通过常规多试件法或单试件法，得到以下n组试验结果：建立以下的目标函数：求以上目标函数的极小值，需满足以下条件：若未知的大小顺序，则M-C准则用主应力可表示为以下形式或写成以下形式：主应力空间上M-Cπ平面上M-C根据主应力与子午面坐标p、q的关系：代入用主应力表示M-C准则及得用不变量表示M-C准则或用p、q简记为：其中：子午面上M-CM-C准则的缺点：不能反映对屈服和破坏的影响；不能反映单纯静水压力引起的屈服；屈服面带棱角，不便于塑性应变增量的计算。4

Zienkiewice—Pande准则（Z-P准则）为了克服M-C准则的棱边或角尖，考虑到岩土屈服与静水压力的非线性关系和中间主应力对强度的影响。Zienkiewice—Pande于1975年提出了Z-P准则——π平面上屈服曲线形状函数——系数；n——指数，一般取0、1、2k——屈服参数。为了π平面上屈服曲线光滑，且在与M-C准则拟合，要求满足以下条件：满足上述条件的有多种选择，其中一种简单的形式为：

M-C准则的为：

Z-P准则在子午面上一般取曲线，即n=2，并以M-C准则作为渐近线，则有取双曲线时方程为或写成下式与Z-P准则对比可得因得代入上式得除上述双曲线外，还可以取为抛物线和椭圆线5霍克—布朗（Hoek-Brown）准则——破坏时的最大主应力；——作用在岩石上的最小主应力；——岩石的单轴抗压强度；——取决于岩石性质的材料常数。霍克—布朗准则是在大量试验结果统计分析的基础上提出的经验型强度准则，属于非线性强度准则。当时：当时：材料常数mi根据实验结果或查下表凝灰岩（15）角砾岩(18)集块岩（20）喷出火成碎屑物苏长岩22玄武岩（17）粗玄岩（19）辉长岩27暗色的安山岩19闪长岩（28）英安岩（17）花岗闪长岩（30）黑曜岩（19）流纹岩（16）花岗岩33浅色的火成岩板岩9千枚岩（10）片岩（10）片麻岩33层状的糜棱岩（6）闪岩31混合岩(30)石英岩24角页岩（19）大理岩9非层状的变质岩硬石膏13石膏石16化学的灰岩8灰岩（10）角砾岩（20）碳酸盐（8-21）有机的非碎屑状（18）粘土岩4粉砂岩9砂岩19砾岩（22）碎屑状沉积岩微粒细粒中粒粗粒岩

石

组

织组类岩石类型6德鲁克—普拉格（Drucker-Prager）准则该准则是在莫尔—库仑准则和VonMises准则的基础上提出。

③当为M-C外接圆②当为M-C内接圆①当为M-C内切圆如图所示为平面上的M-C准则和D-P准则，建立图示x-y直角坐标系，①试导出用x、y表达的D-P准则（D-P准则：，I1为应力第一不变量，J2为应力偏量第二不变量）②若M-C准则的内聚力为c，内摩擦角为，试求平面上D-P内接、外接、内切圆的半径。【课堂练习】2.4.2理论性强度准则1

一维格里菲斯(Griffith)准则——材料的表面比能；E——材料的弹性模量。

1921年Griffith根据单个裂隙开裂条