平稳时间序列模型的性质

第五章平稳时间序列模型的性质第一节自回归过程的性质第二节移动平均过程的性质第三节自回归移动平均过程的性质2/4/20231第四章时间序列模型的性质第一节自回归过程的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质2/4/20232第四章时间序列模型的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或2/4/20233第四章时间序列模型的性质1、平稳性和可逆性a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，即应有：2/4/20234第四章时间序列模型的性质2.ar(1)过程的自相关函数2/4/20235第四章时间序列模型的性质2/4/20236第四章时间序列模型的性质2/4/20237第四章时间序列模型的性质2/4/20238第四章时间序列模型的性质通过上述推导可看出，当过程平稳即时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈指数衰减。如果，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。如果，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。2/4/20239第四章时间序列模型的性质例1，下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图2/4/202310第四章时间序列模型的性质-6-4-202482848688909294969800例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图2/4/202311第四章时间序列模型的性质例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈指数衰减2/4/202312第四章时间序列模型的性质例2，下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图2/4/202313第四章时间序列模型的性质-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模拟生成的AR(1)过程趋势图2/4/202314第四章时间序列模型的性质例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图::呈正负交替指数衰减2/4/202315第四章时间序列模型的性质3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）A.偏自相关函数的一般公式2/4/202316第四章时间序列模型的性质2/4/202317第四章时间序列模型的性质2/4/202318第四章时间序列模型的性质2/4/202319第四章时间序列模型的性质2/4/202320第四章时间序列模型的性质B.AR(1)过程的偏自相关函数2/4/202321第四章时间序列模型的性质上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取决于。滞后一阶以后PACF截尾。2/4/202322第四章时间序列模型的性质另一种思路：根据定义：偏自相关函数是指扣除Xt和Xt-k之间的随机变量Xt-1,Xt-2,…Xt-k-1等影响之后的Xt和Xt-k之间的相关性。对于p阶自回归过程，当s≤p时，xt与xt-s有直接的相关性；而s>p时，两者没有直接的相关性。因此，对于AR(p)过程，在模型的滞后阶数以内，通常有非零的偏自相关系数；但在滞后阶数以外，偏自相关系数则为零。2/4/202323第四章时间序列模型的性质例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图::滞后一阶以后截尾2/4/202324第四章时间序列模型的性质例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图::滞后一阶以后截尾2/4/202325第四章时间序列模型的性质4.AR(1)过程的传递形式和格林函数2/4/202326第四章时间序列模型的性质二、二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或2/4/202327第四章时间序列模型的性质B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。2/4/202328第四章时间序列模型的性质2.AR(2)过程的自相关函数2/4/202329第四章时间序列模型的性质2/4/202330第四章时间序列模型的性质2/4/202331第四章时间序列模型的性质2/4/202332第四章时间序列模型的性质通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。2/4/202333第四章时间序列模型的性质3.AR(2)过程的偏自相关函数2/4/202334第四章时间序列模型的性质2/4/202335第四章时间序列模型的性质另一种思路：直接根据定义2/4/202336第四章时间序列模型的性质通过上述证明可以得出如下结论：2/4/202337第四章时间序列模型的性质例1，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图2/4/202338第四章时间序列模型的性质-4-202482848688909294969800例1.模拟生成的AR(2)过程趋势图2/4/202339第四章时间序列模型的性质例1.模拟生成的AR(2)过程自相关图呈混合指数衰滞后二阶以后截尾2/4/202340第四章时间序列模型的性质例2，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图2/4/202341第四章时间序列模型的性质-6-4-2024682848688909294969800例2.模拟生成的AR(2)过程趋势图2/4/202342第四章时间序列模型的性质例2.模拟生成的AR(2)过程自相关图呈混合指数衰减滞后二阶以后截尾2/4/202343第四章时间序列模型的性质例3，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图2/4/202344第四章时间序列模型的性质-4-202482848688909294969800模拟生成的AR(2)过程趋势图2/4/202345第四章时间序列模型的性质模拟生成的AR(2)过程自相关图呈阻尼正弦波衰减滞后二阶以后截尾2/4/202346第四章时间序列模型的性质4.AR(2)过程的传递形式和格林函数（1）传递形式（2）格林函数2/4/202347第四章时间序列模型的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质二阶自回归模型的形式为：或2/4/202348第四章时间序列模型的性质B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。2/4/202349第四章时间序列模型的性质对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。2/4/202350第四章时间序列模型的性质2.AR(p)的自相关函数ACF2/4/202351第四章时间序列模型的性质2/4/202352第四章时间序列模型的性质通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有|λi|<1，AR(p)过程的ACF是由差分方程的根确定的，呈混合指数衰减或出现复根时的阻尼正弦波衰减。2/4/202353第四章时间序列模型的性质3.AR(p)过程的偏自相关函数PACF2/4/202354第四章时间序列模型的性质可以很容易地看出，当k>p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当k>p时,有φkk=0。所以，AR(p)过程的偏自相关函数(PACF)滞后p阶截尾。2/4/202355第四章时间序列模型的性质4.AR(p)模型的传递形式和格林函数(1)传递形式(2)格林函数2/4/202356第四章时间序列模型的性质例:考察如下AR模型的自相关和偏自相关2/4/202357第四章时间序列模型的性质ACFPACF2/4/202358第四章时间序列模型的性质ACFPACF2/4/202359第四章时间序列模型的性质ACFPACF2/4/202360第四章时间序列模型的性质ACFPACF2/4/202361第四章时间序列模型的性质第二节移动平均过程的性质一、一阶移动平均过程MA(1)的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质三、q阶移动平均过程MA(q)的性质2/4/202362第四章时间序列模型的性质一、一阶移动平均过程MA(1)的性质一阶移动平均模型MA(1)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，εt为零均值的白噪声。2/4/202363第四章时间序列模型的性质1.MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0的根必须在单位圆外，即有：2/4/202364第四章时间序列模型的性质注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：|θ1|<1。2/4/202365第四章时间序列模型的性质2.MA(1)过程的自相关函数ACF2/4/202366第四章时间序列模型的性质2/4/202367第四章时间序列模型的性质2/4/202368第四章时间序列模型的性质3.MA(1)过程的自相关函数PACF这里不加证明的给出偏自相关函数的递推公式：2/4/202369第四章时间序列模型的性质2/4/202370第四章时间序列模型的性质由上推导可得出如下结论：在可逆性条件满足情况下,MA(1)过程的PACF呈指数拖尾。如果θ1>0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果θ1<0,那么PACF正负交替呈指数衰减。2/4/202371第四章时间序列模型的性质另一种证明思路：对于移动平均过程MA(q)，其偏自相关函数会是什么样的呢？为了考察yt与yt-k是否直接相关，可将MA模型转换成AR模型；事实上，只要MA(q)过程是可逆的，它就可以表示成AR(∞)。2/4/202372第四章时间序列模型的性质例1：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：2/4/202373第四章时间序列模型的性质2/4/202374第四章时间序列模型的性质Xt=εt－0.85εt-1

=(1－0.85B)εt其中θ1=0.85>0εt为白噪声滞后一阶截尾呈负指数衰减2/4/202375第四章时间序列模型的性质例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：2/4/202376第四章时间序列模型的性质2/4/202377第四章时间序列模型的性质Xt=εt－(－0.85)εt-1

=(1－(－0.85)B)εt其中θ1=－0.85<0呈正负交替指数衰减滞后一阶截尾2/4/202378第四章时间序列模型的性质4.MA(1)过程的逆转形式2/4/202379第四章时间序列模型的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质二阶移动平均模型MA(2)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，εt为零均值的白噪声。2/4/202380第四章时间序列模型的性质1.MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：MA(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。2/4/202381第四章时间序列模型的性质2.MA(2)过程的自相关函数ACF2/4/202382第四章时间序列模型的性质2/4/202383第四章时间序列模型的性质2/4/202384第四章时间序列模型的性质2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)2/4/202385第四章时间序列模型的性质对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是实数，则φkk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则φkk是一衰减的正弦波。2/4/202386第四章时间序列模型的性质2/4/202387第四章时间序列模型的性质滞后二阶截尾指数衰减(拖尾)2/4/202388第四章时间序列模型的性质2/4/202389第四章时间序列模型的性质滞后二阶截尾阻尼正弦波衰减(拖尾)2/4/202390第四章时间序列模型的性质4.MA(2)过程的逆转形式2/4/202391第四章时间序列模型的性质三、q阶移动平均过程MA(q)性质2/4/202392第四章时间序列模型的性质1.平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外。2/4/202393第四章时间序列模型的性质对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一。2/4/202394第四章时间序列模型的性质2.MA(q)过程的自相关函数(ACF)2/4/202395第四章时间序列模型的性质因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。2/4/202396第四章时间序列模型的性质证明：2/4/202397第四章时间序列模型的性质2/4/202398第四章时间序列模型的性质3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。2/4/202399第四章时间序列模型的性质例:考察如下MA模型的相关性质2/4/2023100第四章时间序列模型的性质MA模型的自相关系数截尾

2/4/2023101第四章时间序列模型的性质MA模型的自相关系数截尾

2/4/2023102第四章时间序列模型的性质MA模型的偏自相关系数拖尾

2/4/2023103第四章时间序列模型的性质MA模型的偏自相关系数拖尾

2/4/2023104第四章时间序列模型的性质MA模型可逆性MA模型自相关系数的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数2/4/2023105第四章时间序列模型的性质可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。

2/4/2023106第四章时间序列模型的性质第三节自回归移动平均ARMA(p,q)过程一、ARMA(1,1)的性质二、ARMA(p,q)过程的性质2/4/2023107第四章时间序列模型的性质一、ARMA(1,1)的性质2/4/2023108第四章时间序列模型的性质1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性2/4/2023109第四章时间序列模型的性质2.ARMA(1,1)过程的ACF2/4/2023110第四章时间序列模型的性质2/4/2023111第四章时间序列模型的性质2/4/2023112第四章时间序列模型的性质通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数有一峰值，并且是由φ1和θ1共同决定，。当k≥2时，自相关系数仅取决于φ1即自回归部分对应的差分方程的根，呈指数衰减。2/4/2023113第四章时间序列模型的性质3.ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是滞后一阶有一峰值，一阶以后呈指数衰减，不过指数衰减的形态由φ1和θ1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多2/4/2023114第四章时间序列模型的性质例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：2/4/2023115第四章时间序列模型的性质例1.模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减2/4/2023116第四章时间序列模型的性质例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：2/4/2023117第四章时间序列模型的性质例2.模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF指数拖尾指数拖尾滞后一阶有峰值2/4/2023118第四章时间序列模型的性质4.ARMA(1,1)过程的传递形式和逆转形式（1）传递形式和格林函数：xt=φ-1(B)θ(B)at（2）逆转形式和逆函数θ-1(B)φ

(B)xt=at2/4/2023119第四章时间序列模型的性质二、ARMA(p,q)过程的性质2/4/2023120第四章时间序列模型的性质1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性2/4/2023121第四章时间序列模型的性质2/4/2023122