二项式定理的常考点

二项式定理的常考点二项展开式的通项公式Tk＋1＝an－kbk(k＝0,1,2，…，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用．使用时要注意：(1)通项公式表示的是第“k＋1”项，而不是第“k”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数，

数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，

一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防

出错．已知在()n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．利用通项公式可求,注意运算.【解】

(1)通项公式为因为第6项为常数项，所以k＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令得k＝(n－6)＝2，∴所求的系数为，(3)根据通项公式，由题意得令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－∵k∈Z，∴r应为偶数，∴r可取2、0、－2，即k可取2、5、8.所以第3项，第6项与第9项均为有理数，它们分别为1．对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，即“赋值法”整体解决.【解】

(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由得：a7＋a5＋a3＋a1＝[128－(－4)7]＝8256.(3)由得a6＋a4＋a2＋a0＝[128＋(－4)7]＝－8128.1．求二项式系数最大项：(1)如果n是偶数，则中间一项(第(＋1)项)的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项(第项与第(＋1)项)的二项式系数相等并最大．2．求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开

式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各

项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应

用从而解出k来，即得．已知()n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含

的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

（1）可利用“赋值法”求各项系数的和；（2）可利用展开式中的通项公式确定k的值；（3）可利用通项公式求出k的范围，再确定项.【解】由题意知，第五项系数为·(－2)4，第三项的系数为则有化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式令，则k＝1，故展开式中含的项为T2＝－16

.(3)设展开式中的第k项，第k＋1项，第k＋2项的系数绝对值分别为若第k＋1项的系数绝对值最大，则，解得5≤k≤6.又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1792x－11.由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1120x－6.(1)(

)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(

)A．360

B．180C．90D．45(2)已知(1－x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1－x)n的展开式中系数最小的项是________．课堂练习题解析：(1)依题意：只有第6项的二项式系数最大，可得到n＝10，所以展开式的通项为·2k·x－2k＝,令k＝2可得常数项T3＝＝180.(2)令x＝－1，得2n＝32，所以n＝5，故系数最小的项是＝－10x3.答案：(1)B

(2)－10x3二项式定理的考查是高考热点内容之一，主要考查通项公式的应用.利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等.多以选择、填空题的形式出现.前年的高考数学卷考查了利用赋值法研究系数的问题，形式新颖.(高考真题)若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则的值为(

)