高中数学苏教版1第1章常用逻辑用语 第1章单元检测（a卷）

第1章单元检测(A卷)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．有关命题的说法正确的有________．(写出所有正确命题的序号)①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0②“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件③若p且q为假命题，则p、q均为假命题；④对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1<0，则p：对x∈R，均有x2＋x＋1≥0.2．下列命题中，真命题是________．(写出符合要求的序号)①m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数．3．有四个关于三角函数的命题：p1：x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)；p2：x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：x∈[0，π],eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinx；p4：sinx＝cosyx＋y＝eq\f(π,2).其中的假命题是__________．(写出所有假命题的代号)4．已知命题p：“a＝1”是“x>0，x＋eq\f(a,x)≥2”的充分必要条件，命题q：x0∈R，x2＋x－1>0.则下列结论中正确的是________．①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是真命题；③命题“p∧q”是真命题；④命题“p∧q”是假命题．5．已知命题p：x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．6．已知p：|x＋1|>2，q：5x－6>x2，则p是q的______________条件．7．给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有________个．8．下列命题中的假命题是________．(写出所有假命题的序号)．①x∈R,2x－1>0；②x∈N*，(x－1)2>0；③x∈R，lgx<1；④x∈R，tanx＝2.9．已知命题p：x∈R，sinx<tanx，命题q：方程x2－x＋1＝0有实数根．给出下列四个命题：①“p或q”；②“p且q”；③“p”；④“q”．其中真命题的个数是________．10．“x2－4x<0”是“0<x<5”的____________条件11．命题“至少有一个正实数满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是12．在△ABC中，“A>30°”是“sinA>eq\f(1,2)”的______________条件．13．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___________________________________________________________．14．下列四个命题中，①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件③函数y＝eq\f(x2＋4,\r(x2＋3))的最小值为2.其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)正方形是矩形又是菱形；(2)同弧所对的圆周角不相等；(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．16．(14分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”17.(14分)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18．(16分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．19.(16分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．20．(16分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a单元检测卷答案解析第1章常用逻辑用语(A)1．①②④2.①3．p1，p4解析∵对∀x∈R，均有sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1而不是eq\f(1,2)，故p1为假命题．当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sinx－siny＝sin(x－y)成立，故p2是真命题．∵cos2x＝1－2sin2x，∴eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1－1＋2sin2x,2)＝sin2x.又∵x∈[0，π]时，sinx≥0，∴对∀x∈[0，π]，均有eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinx，因此p3是真命题．当sinx＝cosy，即sinx＝sin(eq\f(π,2)－y)时，x＝2kπ＋eq\f(π,2)－y，即x＋y＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故p4为假命题．4．③④解析a＝1⇒x＋eq\f(a,x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x×\f(1,x))＝2，显然a＝2时也能推出“∀x>0，x＋eq\f(a,x)≥2”成立，所以“a＝1”是“∀x>0，x＋eq\f(a,x)≥2”的充分不必要条件，故p是假命题，而q是真命题，故③④正确．5．0<a<1解析若p为假命题，则有綈p为真命题，即x2＋2ax＋a>0对∀x∈R恒成立，故有Δ＝4a2－4a<0，所以0<6．充分不必要解析|x＋1|>2⇒x>1或x<－3，∴綈p为：－3≤x≤1,5x－6>x2⇒2<x<3，∴綈q为：x≤2或x≥3，∴綈p⇒綈q，但綈q綈p.∴綈p是綈q的充分不必要条件．7．28.②9．2解析命题p真、q假，∴“p或q”真，“綈q”真．10．充分不必要11．所有的正数都不满足x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝12．必要不充分13．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形解析本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．14．①②③解析①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，即y＝cos2kx，T＝eq\f(2π,|2k|)＝π，k＝±1.②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝eq\f(2,5)；③函数y＝eq\f(x2＋4,\r(x2＋3))＝eq\f(x2＋3＋1,\r(x2＋3))＝eq\r(x2＋3)＋eq\f(1,\r(x2＋3))，令eq\r(x2＋3)＝t，t≥eq\r(3)，ymin＝eq\r(3)＋eq\f(1,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).15．解(1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．(3)若一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．16．解方法一(直接法)逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集判断如下：二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a∵a<1，∴4a－即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真方法二(先判断原命题的真假)∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4)，∵a≥eq\f(7,4)>1，∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．方法三(利用集合的包含关系求解)命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集命题q：a≥1.∴p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≥\f(7,4)))，q：B＝{a|a≥1}．∵A⊆B，∴“若p，则q”为真，∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．即原命题的逆否命题为真．17．解綈p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))>2，解得x<－2或x>10，A＝{x|x<－2或x>10}．綈q：x2－2x＋1－m2>0，解得x<1－m或x>1＋m，B＝{x|x<1－m或x>1＋m}．∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴BA，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m≥10))⇒m≥9，∴m≥9.18．解令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝2k－12－4k2≥0,－\f(2k－1,2)>1,f1>0))，即k<－2.所以其充要条件为k<－2.19．解对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))⇔0≤a<4；关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤eq\f(1,4)；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>eq\f(1,4)，∴eq\f(1,4)<a<4；如果q真，且p假，有a<0或a≥4，且a≤eq\f(1,4)，∴a<0.综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)).20．解假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0x2＋(a－1)