《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数

控制工程基础2.物理系统的数学模型及传递函数2.1系统的数学模型2.2传递函数2.3典型环节的传递函数2.4系统的方框图及其化简*2.5物理系统传递函数的推导控制工程基础2.物理系统的数学模型及传递函数

基本要求

1.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及相关专业知识，列写机械系统、电网络的微分方程。

2.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。3.能够用分析法求系统的传递函数。4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。控制工程基础2.物理系统的数学模型及传递函数

基本要求

5.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。6.掌握闭环系统中向前通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。7.了解相似原理的概念。控制工程基础2.物理系统的数学模型及传递函数本章重点1.系统微分方程的列写。2.传递函数的概念，特点及求法；典型环节的传递函数。3.系统的方框图及其化简。本章难点1.系统微分方程的列写。2.系统的方框图及其化简。控制工程基础2.1系统的数学模型2.1.1数学模型微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础.

数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式，或图形表达式或数字表达式。描述系统特性，揭示变量间的关系。控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态数学模型和动态数学模型。（静态模型是t→∞时系统的动态模型。）建立数学模型的意义(1)可定性地了解系统的工作原理及其特性;(2)更能定量地描述系统的动态性能;(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。控制工程基础2.1系统的数学模型2.1.2建立数学模型的方法两种方法是相辅相成的。控制工程基础2.1系统的数学模型2.1.3非线性系统的线性化（1）线性系统如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。线性系统两个重要性质。齐次性(均匀性)

如果系统在输入x(t)作用下的输出为Y(t)，并记为：x(t)→y(t)

则

kx(t)→ky(t)

式中k为常数，称为齐次性。控制工程基础

线性系统两个重要性质叠加性若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t),而在另一个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)，并记为

x1(t)→y1(t)x2(t)→y2(t)

则以下关系

x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)称为叠加性或叠加原理。控制工程基础2.1.3非线性系统的线性化（2）非线性系统如果系统的数学模型是非线性的，这种系统称为非线性系统。工程上常见的非线性特性如下：饱和非线性死区非线性间隙非线性摩擦非线性……控制工程基础2.1.3非线性系统的线性化（3）举例下列微分方程描述的系统为线性系统：下列微分方程描述的系统为非线性系统：控制工程基础2.1.3非线性系统的线性化（4）系统运动微分方程的建立

电气系统

电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。基尔霍夫电流定律：基尔霍夫电压定律： 欧姆定律：

电感定律：

电容定律：

(Km为转矩常数)(ed为感应反电势,Kd为反电势常数)(ia为电枢电流)控制工程基础2.1.3非线性系统的线性化（5）非线性系统的线性化方法具有本质非线性特性的系统：

忽略非线性因素或用非线性理论去处理。非本质非线性特性的系统

切线法，或称微小偏差法处理。控制工程基础2.1.3非线性系统的线性化（5）非线性系统的线性化方法控制工程基础2.2传递函数2.2.1传递函数的定义线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时，输出量y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏变换X(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。表示为：

三要素：线性定常系统零初始条件输出与输入的拉氏变换之比

控制工程基础零初始条件：输入及其各阶导数在t=0-时刻均为0；输出及其各阶导数在t=0-时刻均为0。形式上记为：控制工程基础2.2.2传递函数的求法（1）解析法（根据定义求取）设线性定常系统输入为x(t)，输出为y(t)，描述系统的微分方程的一般形式为:

式中，n≥m;an，bm均为系统结构参数所决定的定常数。（n，m=0、1、2、3…）控制工程基础2.2.2传递函数的求法如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零），取等式两边拉氏变换后得

根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为传递函数列写大致步骤：方法一：列写系统的微分方程消去中间变量在零初始条件下取拉氏变换求输出与输入拉氏变换之比方法二：列写系统中各元件的微分方程在零初始条件下求拉氏变换整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量整理成传递函数的形式控制工程基础2.2.2传递函数的求法（2）实验法（3）例试写出具有下述微分方程式的传递函数。

1）2）解：取拉氏变换并求商得1）2）控制工程基础2.2.3传递函数的性质1）传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性的，而系统本身特性与输入量无关；2）传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相似系统。

控制工程基础2.2.3传递函数的性质3）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；4）传递函数是复变量s的有理分式。对于实际系统有m≤n。传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。控制工程基础2.3典型环节的传递函数环节与典型环节熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分析和研究2.3.1比例环节比例环节的微分方程式为则传递函数为式中k—比例系数控制工程基础常见的比例环节

3.微分环节

微分方程：传递函数：式中T为微分时间常数。特点：（1）一般不能单独存在（2）反映输入的变化趋势（3）增强系统的阻尼（4）强化噪声

4.积分环节微分方程：传递函数：式中T为积分时间常数。特点：（1）输出叠加（2）输出的滞后作用（3）记忆功能例如：其传递函数为：写成标准形式其中：其运动方程为： 取拉氏变换得：

质量-阻尼-弹簧系统例如：实际上，任何线性系统都可由8种（或其中若干种）典型环节构成，这8种典型环节的传递函数如下：1、放大环节（或比例环节）2、理想微分环节3、一阶微分环节4、二阶微分环节5、积分环节6、惯性环节7、振荡环节8、延迟环节控制工程基础2.4系统的方框图及其化简结构框图是将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主要用来说明系统构成和工作原理。控制工程基础2.4系统的方框图及其化简函数框图是把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连接起来，主要用来说明环节特性、信号流向及变量关系，便于分析系统。本节主要讲述函数框图的绘制。(1)框图单元控制工程基础2.4系统的方框图及其化简(2)相加点（比较点）

控制工程基础2.4系统的方框图及其化简(3)分支点（引出点）

控制工程基础2.4.1环节的基本连接方式

（1）串联上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传递函数为：控制工程基础（2）并联

推广到n个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即

控制工程基础（3）反馈联接由图可见：经整理后，可得传递函数为：控制工程基础常用的几个术语前向通路（道）信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径不要重复的通道。前向通路（道）传递函数在前向通路中，所有经过的环节的乘积。可由下式计算：反馈回路传递函数

H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即：控制工程基础开环传递函数

G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为通道。注意：开环传递函数和开环系统传递函数是不一样的。闭环传递函数当H(s)=1时，我们将系统称为单位反馈系统或全反馈系统。控制工程基础干扰作用下的闭环系统

系统除了有输入量外，有时还要研究存在干扰时，输出量对于干扰也存在传递函数。控制工程基础干扰作用下的闭环系统(1)在输入量X(s)的作用下可把干扰量N(s)看作为零，系统的输出为YR(s)，则

(2)在干扰量N(s)作用下[可把输入量X(s)看作为零]，系统的输出为YN(s)，则控制工程基础干扰作用下的闭环系统称GR(s)为输出量对输入量的传递函数，即称GN(s)为输出量对干扰量的传递函数，即(3)

系统总的输出量：控制工程基础2.4.2系统的方框图的绘制列出描述系统各个环节的运动方程式求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来将这些方块单元结合在一起，以组成系统完整的框图控制工程基础例：绘制图2-21所示的二阶RC回路的框图控制工程基础解：首先列出系统原始方程（2-21）

（2-22）（2-23）（2-24）

控制工程基础求出与上述方程式相对应的拉氏变换式

（2-25）

（2-26）

（2-27）

（2-28）

控制工程基础根据方程中间变量间的关系画出与拉氏变换式（2-25）至（2-28）相对应的框图。并表示于图2-22（a）至2-22（d）中。

控制工程基础2.4.3系统的方框图的化简表2-3框图变换法则控制工程基础2.4.3系统的方框图的化简控制工程基础2.4.3系统的方框图的化简注意：比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。由方框图求系统传递函数的基本思路